函數(shù)的單調(diào)性與極值3理PPT課件

1、一、單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在那末函數(shù)那末函數(shù)，內(nèi)內(nèi)如果在如果在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在）（導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)可內(nèi)可上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA第1頁/共35頁證證),(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理,得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12

2、xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 第2頁/共35頁例例1 1解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加注意注意: :函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性).,(:D又又第3頁/共35頁二、單調(diào)區(qū)間求法問題問題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間

3、上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)方法方法: :.,)()(0)(數(shù)的符號數(shù)的符號然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)間的定義區(qū)間來劃分函數(shù)來劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)的根及的根及用方程用方程xfxfxf 第4頁/共35頁例例2 2解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx時，時，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增

4、加加；在在1 ,( 時，時，當(dāng)當(dāng)21 x, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 時，時，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2第5頁/共35頁例例3 3解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時時當(dāng)當(dāng) x時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時，時，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為，0 ,( )., 0 32xy 第6頁/共35頁例例4 4證證.)1ln(,

5、0成立成立試證試證時時當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可導(dǎo)，可導(dǎo)，且且上連續(xù)上連續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,3xy , 00 xy.),(上單調(diào)增加上單調(diào)增加但在但在第7頁/共35頁 三、函數(shù)極值的定義oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x第8頁/共35頁.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一

6、個極小值的一個極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個極大值的一個極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)內(nèi)的一個點(diǎn)內(nèi)的一個點(diǎn)是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).第9頁/共35頁 四、函數(shù)極值的求法 設(shè)設(shè))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), ,且且在在

7、0 x處取得極值處取得極值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 注意:.,)(是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定點(diǎn)點(diǎn)的極值點(diǎn)必定是它的駐的極值點(diǎn)必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x第10頁/共35頁(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2

8、)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .(3)(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, , )(xf符號相同符號相同, ,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值. .定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形)第11頁/共35頁xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點(diǎn)，即方程求駐點(diǎn)，即方程 xf;,)()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)在駐點(diǎn)左右的正

9、負(fù)號在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號檢查檢查xf .)4(求極值求極值(不是極值點(diǎn)情形)第12頁/共35頁例例1 1解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx第13頁/共35頁593)(23 xxxxfMm圖形如下第14頁/共35頁 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù), ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)

10、(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時時, , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ;(2)(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時時, , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異號，異號，與與故故xxfxxf )()(00時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值第15頁/共35頁例例2 2解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) x

11、xxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下第16頁/共35頁Mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點(diǎn)在點(diǎn)時時xxfxf 第17頁/共35頁例例3 3解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時時當(dāng)當(dāng)xfx 時，時，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時，時，當(dāng)

12、當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf注意注意: :函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).M第18頁/共35頁五、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個數(shù)和證明不等式.第19頁/共35頁極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn). .函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)取得.判別法判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條

13、件)第20頁/共35頁思考題思考題2、下述命題正確嗎？ 如如果果0 x為為)(xf的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)，那那么么必必存存在在0 x的的某某鄰鄰域域，在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，)(xf在在0 x的的左左側(cè)側(cè)下下降降，而而在在0 x的的右右側(cè)側(cè)上上升升.第21頁/共35頁思考題思考題1解答解答不能斷定.例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但0,1cos21sin41)( xxxxxf第22頁/共35頁 )212(1kx當(dāng) 時，0)212(41)( kxf kx21當(dāng) 時，01)( xf注意 可以任意大，故在 點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增k0

14、0 x)(xf第23頁/共35頁思考題思考題2解答解答不正確例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf當(dāng)當(dāng)0 x時，時， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x為為)(xf的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn)第24頁/共35頁當(dāng)當(dāng)0 x時，時，當(dāng)當(dāng)0 x時時，, 0)1sin2(2 xxx1cos在1和1之間振蕩因因而而)(xf在在0 x的的兩兩側(cè)側(cè)都都不不單單調(diào)調(diào).故命題不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 第25頁/共35頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù)7186223 xxxy單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為_ _. _.2 2、 函數(shù)函數(shù)212xxy 在區(qū)間在區(qū)間 -

15、1,1-1,1上單調(diào)上單調(diào)_， 在在_上單調(diào)減上單調(diào)減. .3 3、函數(shù)、函數(shù)22ln xxy 的單調(diào)區(qū)間為的單調(diào)區(qū)間為_， 單減區(qū)間為單減區(qū)間為_._.二二、 確確定定下下列列函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2sin . .練練 習(xí)習(xí) 題題1第26頁/共35頁三、三、 證明下列不等式：證明下列不等式：1 1、 當(dāng)當(dāng)0 x時，時，221)1ln(1xxxx ；2 2、 當(dāng)當(dāng)4 x時，時，22xx ；3 3、 若若0 x，則，則361sinxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx有

16、幾個實(shí)根有幾個實(shí)根. .五、五、 設(shè)設(shè))(xf在在 ba, 上連續(xù)，在上連續(xù)，在( (ba,) )內(nèi)內(nèi))(xf , ,試證試證 明：對于明：對于 ba, 上任意兩上任意兩1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 單增；方法單增；方法（2 2）0)( xf， 利用泰勒公式利用泰勒公式 第27頁/共35頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 極值反映的是函數(shù)的極值反映的是函數(shù)的 _性質(zhì)性質(zhì). .2 2、 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在0 xx 可導(dǎo)，則它在點(diǎn)可導(dǎo)，則它在點(diǎn)0 x處到處到 得極值的必要條件中為得極值的必要條件中為_._

17、.3 3、 函 數(shù)函 數(shù)32)1(2 xy的 極 值 點(diǎn) 為的 極 值 點(diǎn) 為 _ ；31)1(23 xy的極值為的極值為_._.4 4、 已知函數(shù)已知函數(shù) 0, 10,)(3xxxxxfx當(dāng)當(dāng)_ x時，時，為極為極_ y小值 ； 當(dāng)小值 ； 當(dāng)時時_ x，為極為極_ y大值大值. .練練 習(xí)習(xí) 題題2第28頁/共35頁二、求下列函數(shù)的極值：二、求下列函數(shù)的極值：1 1、 xeyxcos ；2 2、 xxy1 ；3 3、 方程方程02 yeyx所確定的函數(shù)所確定的函數(shù))(xfy ；4 4、 0, 00,21xxeyx. .三、三、 證明題：證明題：1 1、 如果如果dcxbxaxy 23滿足條

18、滿足條032 acb，則函數(shù)無極值則函數(shù)無極值. . 2 2、設(shè)設(shè))(xf是是有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的偶偶函函數(shù)數(shù)0)( xf， 則則0 x為為)(xf的的極極值值點(diǎn)點(diǎn). .第29頁/共35頁一、一、1 1、), 3,1,( 單調(diào)增加單調(diào)增加, ,3 , 1 單調(diào)減少；單調(diào)減少；2 2、增加、增加, ,), 1 ,1,( 3 3、1,( , ,), 1 ；1 , 0(,1,(;1 , 0(),0 , 1 . .二、二、1 1、在、在), 1,21, 0(),0 ,(內(nèi)單調(diào)減少內(nèi)單調(diào)減少, , 在在1 ,21上單調(diào)增加；上單調(diào)增加； 2 2、在、在),32,( aa內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加, , 在在,32aa上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；練習(xí)題練習(xí)題1答案答案第30頁/共35頁 3 3、在、在32,2 kk上單調(diào)增加上單調(diào)增加, , 在在22,32 kk上單調(diào)減少上單調(diào)減少, ,), 2, 1, 0( k. .四、四、(1)(1)ea1 時沒有實(shí)根；時沒有實(shí)根；(2)(2)ea10 時有兩個實(shí)根；時有兩個實(shí)根；(3)(3)ea1 時只有時只有ex 一個實(shí)根一個實(shí)根. .第31頁/共35頁一、一、1 1、局部；、局部； 2 2、0)(0 xf； 3 3、(1,2)