函數(shù)的連續(xù)性132PPT課件

1、圖 (1)-(4) 在 x0 處曲線出現(xiàn)間斷;圖 (5)曲線在 x0 處連續(xù).圖形 (5)的特征：f(x0)f(x)在 x0 處連續(xù)xy0 x0y=f(x)(5)f(x)x, xxfxf)()()( 0其中 即, xxx00)(lim )()(lim00 xfxfxx 定義：設(shè) 在某鄰域 上有定義 ,如果 )(xf),(r xN0)()(lim00 xfxfxx 則稱 在 x0 處連續(xù) )(xf第1頁/共32頁f(x) 在 x0 處連續(xù)的 語言描述： )(xf有有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)存在存在給的給的 xx , 000設(shè) 在某鄰域 內(nèi)有定義 ,如果對任 )(0 xN.)()( 0 xfxff (x) 在

2、 x0 處連續(xù)的三要素：)(xf（1） 在某鄰域 內(nèi)有定義 ； )(0 xN)(limxfxx0（2） 存在 (設(shè)為A );(3).)(Axf 0f(x) 在 x0 處左連續(xù)：)()(lim)(0000 xfxfxfxx f(x) 在 x0 處右連續(xù)：)()(lim)(0000 xfxfxfxx 第2頁/共32頁f(x) 在 (a , b) 內(nèi)連續(xù)：若 f (x) 在 (a , b) 內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù) ( 稱 f (x)為 (a , b) 內(nèi)的連續(xù)函數(shù) )f(x) 在 a , b 上連續(xù)：若 f (x) 在 (a , b) 內(nèi)連續(xù) , 在 x = a 處右連續(xù) , 在 x = b 出左連續(xù) ,

3、 則稱 f(x) 在 a , b 上連續(xù) (稱為 a , b 上的連續(xù)函數(shù))00 xxfxxf 在在函數(shù)函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù))()(定理)()()(00000 xfxfxf 即即有有處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù) ,第3頁/共32頁20 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)定理 ( 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì))設(shè) f(x) , g(x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù) , 則(1) f(x) g(x) 在點(diǎn) x0 處也連續(xù) ;(2) f(x) g(x) 在點(diǎn) x0 處也連續(xù) ;(3) 若 在點(diǎn) x0 處也連續(xù) ;)()()(xgxf , xg00 連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算后 , 在其定義域上連續(xù)第4頁/共32頁基本初等

4、函數(shù)的連續(xù)性(1) 基本三角函數(shù)在定義域上連續(xù),sinsinlim xxxx00,coscoslim xxxx00由可知：sinx ，cosx 在其定義域上連續(xù) 再根據(jù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)知：tanx ，cotx ，secx ，cscx 在其定義域上連續(xù) 所以, 基本三角函數(shù)在定義域上連續(xù)第5頁/共32頁證明對任意的 x0 R , xxxxxaxf00 lim)(lim)(lim000 xxxxxaaa )()(lim0000001xfaaaaxxxxxxx 證明對任意的 x0 0 , 利用結(jié)論 00 lim lnlnxxxx (2) 指數(shù)函數(shù) f (x) = ax ( a0 , a 1 )

5、 在其定義域上連續(xù) (3) 對數(shù)函數(shù) f(x) = logax ( a0 , a 1 ) 在其定義域 上連續(xù)第6頁/共32頁xxfaxxxxloglim)(lim00 axxxlnlnlim0 000 lnlog()lnaxxf xa(4) 冪函數(shù) f (x) = x ( 0 ) 在其定義域上連續(xù) 證明對任意的 x0 0 , xxfxxxx00 lim)(limxxxelnlim 0 xtln txte0lnlim 0 xeln )(00 xfx 第7頁/共32頁定理 ( 反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè) y=f (x)在 a , b 上連續(xù),并且嚴(yán)格單調(diào)增 ( 或嚴(yán)格單調(diào)減 ) , f (a) =,在 (

6、或 )f (b) = ,則反函數(shù) )(yfx1 , , 上連續(xù) , 并且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少).證明 略(5) 反三角函數(shù)在其定義域上連續(xù) 從而有以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在定義域上是連續(xù)的第8頁/共32頁定理 (復(fù)合函數(shù)的極限)若, uxgxx00 )(limf (u) 在 u0 處連續(xù) , 則有, ufufxgfuuxx)()(lim)(lim000 即)(lim()(limxgfxgfxxxx00 說明：當(dāng) 函數(shù) f 連續(xù)時(shí), 極限符號與函數(shù)符號 f 可以交換次序 證明 , 0 故故存存在在有有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng), uu 0 )()(0ufuf對任意的 因?yàn)?y =f (u) 在 u0

7、 處連續(xù) , 0 第9頁/共32頁, uxg xx00 )(lim又又 , 0 故故對對上上 , 0 存在存在有有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng), xx 00, uxg 0)()(,xgu xx 就就有有時(shí)時(shí)所所以以當(dāng)當(dāng) 00, uxguu 00)(從而得, ufufufxgf )()()()(00定理證畢第10頁/共32頁推論設(shè) u= g ( x )在 x0 處連續(xù) , u0= g ( x0 ) , y=f (u)在 u0 處連續(xù) , 則復(fù)合函數(shù) y=f ( g ( x ) 在點(diǎn) x0 處連續(xù) , 即 xgfxgfxgfxxxx)()(lim()(lim000 可知：兩個(gè)(有限個(gè)) 連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)在一

8、定的區(qū)間內(nèi)也是連續(xù)函數(shù)定理 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的例如;()arcsin(上連續(xù)上連續(xù)在在 , yx02 ;)(上上連連續(xù)續(xù)在在 , xy 12第11頁/共32頁30 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類如果f (x) 在 x0 處不連續(xù) , 則稱點(diǎn) x0 為函數(shù) f (x)的間斷點(diǎn) (或不連續(xù)點(diǎn)) .f (x) 在 x0 處連續(xù)的三要素：)(limxfxx0（2） 存在 (設(shè)為A );(3)Axf )(0（1）f (x) 在某鄰域 內(nèi)有定義 ； )(0 xN第12頁/共32頁X0 xy0Ay=f(x)(1)f(x)在 x0 處無定義X0y=f(x)xy0(3)f(x)在 x0 處出現(xiàn)跳躍(4)

9、xy0X0y=f(x)f(x)在 x0 附近無界xy1sin f(x)在x=0附近無限震蕩(5)Ay=f(x)xy0(2)X0f(x)在 x0 處有定義第13頁/共32頁間斷點(diǎn)的分類：1、第一類間斷點(diǎn)：2、第二類間斷點(diǎn)： (2) 若 , 又稱 x0為函數(shù) f (x) 的 )()(0000 xfxf可去間斷點(diǎn) （1）若 , 又稱 x0 為函數(shù) f (x) 的)()(0000 xfxf跳躍間斷點(diǎn)的的為函數(shù)為函數(shù)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)則稱則稱右極限都存在右極限都存在處左、處左、在間斷點(diǎn)在間斷點(diǎn)如果如果)(,)(xfxxxf 00第一類間斷點(diǎn)的的為函數(shù)為函數(shù)則稱間斷點(diǎn)則稱間斷點(diǎn)至少有一不存在至少有一不存在右極限

10、右極限處，其左、處，其左、在間斷點(diǎn)在間斷點(diǎn)如果如果)(,)(xfxxxf 00第二類間斷點(diǎn)第14頁/共32頁說明： 00 xx , Axx , xfxF)()(則可構(gòu)造則可構(gòu)造，的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)如果如果 xfx )(0函數(shù)：所以 ，F(xiàn)(x) 在 x0 處連續(xù) 由于此時(shí)有)(lim)(limxfxFxxxx00 )(0 xFA 第15頁/共32頁例 討論下列函數(shù)的連續(xù)性： xxf exf xxxf x13211arctan)()(;)()(;sin)()( 解(1) 當(dāng) x0 時(shí), x 屬于初等函數(shù) xxxf sin)( 的定義區(qū)間 , 于是 f (x) 在 x 處連續(xù)當(dāng) x

11、 = 0 時(shí), f (x) 無定義 , 可知 x = 0 是間斷點(diǎn)由于 xxxf xx100 sinlim)(lim所以, x = 0 是可去間斷點(diǎn)(2) 當(dāng) x0 時(shí),x 屬于初等函數(shù) 的定義區(qū) exf x1 )(間，可知 x 0 是函數(shù) f (x) 的連續(xù)點(diǎn)第16頁/共32頁當(dāng) x = 0 時(shí),f (x) 無定義 , 可知 x = 0 是間斷點(diǎn)由于不存在）不存在）(lim)(lim)( exffxxx 10000所以, x = 0 是函數(shù) 的第二類間斷點(diǎn). exf x1 )(3) 當(dāng) x0 時(shí),x 屬于初等函數(shù) xxf 1arctan)( 的定義區(qū)間 ,于是 f (x) 在 x 處連續(xù)當(dāng)

12、x = 0 時(shí),f (x) 無定義 , 可知 x = 0 是間斷點(diǎn)因?yàn)?arctanlim)(lim)( xxffxx210000 ;arctanlim)(lim)( xxffxx210000 所以, x = 0 是函數(shù) 的跳躍間斷點(diǎn)xxf 1arctan)( 第17頁/共32頁例 討論函數(shù) 的連續(xù)性 0120212x , xxx , xxxxfcossin)()( 解在分段點(diǎn) x = 0 處 , f 20 )(xxxxffxx210000 sin)(lim)(lim)( )()(lim02210fxxxx 1200200 xxxffxxcoslim)(lim)( )(02f 第18頁/共32

13、頁當(dāng) x 0 時(shí),f (x)在 x = 2n 處無定義 , 可知 x =2n是間斷點(diǎn) 于是 f (x) 在 x = 0 處連續(xù)又因 xxxxfnfnxnx210222 sin)(lim)(lim)(所以, x = 2n 是 f (x) 的第二類間斷點(diǎn) , 而在其余的 x 0 的點(diǎn)處 f (x) 連續(xù) 第19頁/共32頁當(dāng) x 0 時(shí),f (x)在 x = -1 處無定義 , 可知 x = -1是f (x) 間斷點(diǎn) .又1201211 xxxffxxcoslim)(lim)( 不存在 ,所以 , x = -1 是 f (x) 的第二類間斷點(diǎn) 而在其余的 x 0 的點(diǎn)處 f (x) 連續(xù) 第20頁

14、/共32頁40 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理(基本原理)若 f (x) C a ,b , 則 f ( a ,b )= m , M 其中 C a ,b 表示 a ,b 上連續(xù)函數(shù)的全體 注意：定理中的兩個(gè)重要條件：閉區(qū)間 ；連續(xù)性不可少 ，否則結(jié)論未必成立定理(最值定理)若 f (x) C a ,b , 則 f (x) 必能在 a ,b 上取得最大值 M , 最小值 m , 即存在兩數(shù). Mf mf b a , )(,)(,2121 使使第21頁/共32頁證明由基本原理知：f ( a ,b )= m , M . Mf mf b a , )(,)(,2121 使使存存在在又因?qū)θ我?x a ,b 有

15、m f (x) M所以 , f (x) 在 處取得最小值 , 在 處取得最大值 1 2 注意：定理中的兩個(gè)重要條件：閉區(qū)間 ；連續(xù)性不可少 ，否則結(jié)論未必成立.違反閉區(qū)間條件反例：)()(112 , x , xxf 違反連續(xù)性條件反例： x , , x , xxf 00101()(第22頁/共32頁定理（有界定理）若 f (x) C a ,b , 則 f (x) 在 a , b 上有界 證明由基本原理知：對任意 x a ,b 有m f (x) M所以 f (x) 在 a ,b 上有界 注意：定理中的兩個(gè)重要條件：閉區(qū)間 ；連續(xù)性一般不可減弱 ，否則結(jié)論未必成立第23頁/共32頁定理 (介值定理

16、)若 f (x) C a ,b , 則對任意 介于 f (a) , f (b) 之間的值 c , 存在 使 b , a cf )( 證明如果 f (a) = f (b)=c ,則可取 b a 或或 下設(shè) f (a)f (b) , 不妨設(shè) f (a) f (b) , 則對 則據(jù)基本原理知 mc M， cf b a )(, 使使存存在在注意：此定理的條件一般不可減弱 x , , x , xxf 00101()(反例：xy0y=f(x)f(a)f(b)cab幾何意義：任意 f (a)c f (b) ,第24頁/共32頁定理 (零值定理)若 f (x) C a ,b , f (a) f (b)0 ,則

17、存在, b , a )( 使0 )( f證明因?yàn)?f (a) 與 f (b) 異號 ,則f (a) 0 f (b) 或 f (b) 0 f (a)取 c = 0 ,利用介值定理知 , 存在 使 b , a )( 0 )( f幾何意義：xy0y=f(x)ab第25頁/共32頁例證明：方程 在( 1 , 2 )中有實(shí)根 0133 xx證明設(shè), xxxf133 )(則 f (x)C 1 , 2 .又 f (1)= -1 , f (2)= 3 ,根據(jù)零值定理 ,存在, , )(21 使, f0 )( 即方程 在 ( 1 , 2 ) 中有實(shí)根 0133 xx第26頁/共32頁例證明因?yàn)? )()(f f

18、如果 f (x) 在 a , b 上連續(xù) , 且 f (a) b ,證明：在 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使 )(f(轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題)令 F (x)=f (x)-x , 此時(shí) F (x) C a , b , 且有00bbfbF , aafaF)()()()(根據(jù)零值定理 ,存在 使, b , a )( , F0 )( 即 )(f第27頁/共32頁例求證方程)( , xaxaxa3213322110 在 及 中有根 , 其中 是正數(shù) ),(21 ),(32 a a a 321,證明當(dāng) 時(shí) ,321 , x xaxaxa0332211 )()( xxx 321 兩兩邊邊同同乘乘 xxaxxaxxa0213312321 )()()( 構(gòu)造輔助函數(shù) xxaxxaxxaxF)()()()(213312321 此時(shí) F(x) 在 R 上連續(xù) , 而且第28頁/共32頁0312111 )()( aF aF0321222 )()( aF0231333)()( 根據(jù)零值定理 ,存在 使, , , ),()(322211 0021 )()( F , F即 , aaa0313212111 , aaa032