函數(shù)的極限連續(xù)函數(shù)無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的階PPT課件

1、1. 數(shù)列的極限和無(wú)窮大量一、數(shù)列極限的定義二、數(shù)列極限的性質(zhì)三、數(shù)列極限的運(yùn)算四、單調(diào)有界數(shù)列五、無(wú)窮大量的定義六、無(wú)窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算七、小結(jié) 思考題第1頁(yè)/共84頁(yè)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” 劉徽1 1、割圓求周、割圓求周播放播放 極限思想：三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ 第2頁(yè)/共84頁(yè)R討論圓內(nèi)接正多邊形與該圓周的關(guān)系nl已知圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)未知的圓周長(zhǎng) l（1）在任何有限的過(guò)程中，即對(duì)任何確定的n， 皆為 的近似值；（2）在無(wú)限的過(guò)程中，即當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限接近于常數(shù) 的精確值。nllnll 是

2、 當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)的極限nll第3頁(yè)/共84頁(yè) 圓面積亦如此。啟示： 已知與未知 有限與無(wú)限 近似與精確 直線與曲線R第4頁(yè)/共84頁(yè)2 2、截丈問(wèn)題、截丈問(wèn)題“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”;211 X第一天截下后的杖長(zhǎng)為第一天截下后的杖長(zhǎng)為;2122 X第二天截下后的杖長(zhǎng)為第二天截下后的杖長(zhǎng)為;21nnXn 天天截截下下后后的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)為為第第nnX21 0第5頁(yè)/共84頁(yè)一、數(shù)列極限的定義1.1.數(shù)列數(shù)列: : 是是按次序排列的一列無(wú)窮多個(gè)數(shù) ,21nxxx 數(shù)列是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)。即以N為定義域由小到大取值所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。對(duì) ，設(shè) ，則 Nnnxnf)(函數(shù)值：,200621

3、nxxxx自變量：,2006,2,1nnx，表示為數(shù)列nx為第n項(xiàng)或通項(xiàng)。第6頁(yè)/共84頁(yè)例如：,)1(,51,41,31,21, 1:)1(nnnn ,25,16,9,4,1:22nn,) 1(1 ,511 ,411 ,311 ,211 , 2:) 1(111nnnn ,0,2,0,2:)1(11n01擺動(dòng)！無(wú)限增大!考慮數(shù)列 nn 1)1(1第7頁(yè)/共84頁(yè)播放播放定性分析：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限趨近于1，數(shù)1即所謂 的“極限”。 nn 1)1(1 nn 1)1(1第8頁(yè)/共84頁(yè)定量分析： 無(wú)限趨近于1是指：當(dāng) n 充分大時(shí), 能任意小，并保持任意小。1)1(11 nn nn1)1(1例

4、如：,101對(duì)對(duì).10 n只只須須,1011)1(11 nn要要使使即 自然數(shù)10，當(dāng)n10時(shí)，有.1011)1(11 nn ,10001對(duì)對(duì).1000 n只只須須,100011)1(11 nn要要使使,10000001對(duì)對(duì).1000000 n只只須須,100000011)1(11 nn要要使使 第9頁(yè)/共84頁(yè)由不等式有 ，故只須 即可。 以上還不能說(shuō)明 任意小，并保持任意小，畢竟它們都還是確定的數(shù)。1)1(11 nn,0 對(duì)對(duì).1)1(11才才行行要要使使 nn n1 1 n 自然數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，便有 , 0 即即對(duì)對(duì)1 1 n.1)1(11 nn 定量定義：則稱數(shù)1是 的極限。有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

5、總總?cè)羧魧?duì)對(duì)，Nn，N 1, 0 .1)1(11 nn nn1)1(1第10頁(yè)/共84頁(yè)2數(shù)列極限定義：數(shù)列極限定義： 設(shè)數(shù)設(shè)數(shù)列列nx，a是實(shí)數(shù)。若對(duì)是實(shí)數(shù)。若對(duì)0 , , 總總 正 整 數(shù)正 整 數(shù)N, , 當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí) , , 便 有便 有 axn，則稱則稱nx存在極限存在極限a，或者收斂于或者收斂于a 記為記為 ,limaxnn 或或 ).( naxn 法法”“N 若數(shù)列不存在極限, 則稱數(shù)列是發(fā)散的.如 是發(fā)散數(shù)列.) 1(11 n第11頁(yè)/共84頁(yè)x1x2x2 Nx1 Nx3x、數(shù)列極限的幾何解釋: a aa.)(;, ),(),(,21落在其外落在其外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有

6、限個(gè)只有有限個(gè)全位于這個(gè)鄰域內(nèi)全位于這個(gè)鄰域內(nèi)項(xiàng)以后的所有項(xiàng)項(xiàng)以后的所有項(xiàng)第第總存在項(xiàng)總存在項(xiàng)鄰域鄰域?qū)θ我饨o定的對(duì)任意給定的NxxN，xaaaONNN . axa，axnn得得由由定定義義3 Nx第12頁(yè)/共84頁(yè).),(, 0).,(,),(lim之之外外位位于于鄰鄰域域只只有有有有限限項(xiàng)項(xiàng)對(duì)對(duì)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)總總鄰鄰域域?qū)?duì) aOxaOxNnNaOaxnnnn 鄰域法 可見(jiàn)：數(shù)列是否有極限，只與它從某一項(xiàng)以后有關(guān)，而與它前面的有限個(gè)項(xiàng)無(wú)關(guān)。因之，在討論數(shù)列極限時(shí)，可添加、去掉或改變其有限個(gè)項(xiàng)的數(shù)值，對(duì)收斂性和極限都無(wú)影響。.),(, 0lim之之內(nèi)內(nèi)位位于于鄰鄰域域總總有有無(wú)無(wú)限限多多項(xiàng)項(xiàng)對(duì)

7、對(duì) aOxaxnnn ？第13頁(yè)/共84頁(yè)（2）N的存在性與非唯一性，且N僅與 有關(guān)而 與n無(wú)關(guān)。（1）正數(shù) 的任意性和相對(duì)固定性。 是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量有有時(shí)時(shí)使使對(duì)對(duì)是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量0)(limlim., 0axaxaxxNnNxnnnnnnn 4、關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點(diǎn)理解 （3）當(dāng) 時(shí)，即以零為極限的數(shù)列稱為無(wú)窮小量。0 a無(wú)窮小量不是很小的量。無(wú)窮小量不是很小的量。第14頁(yè)/共84頁(yè).,)(,2 , 0)4(2起著同樣的作用起著同樣的作用但在本質(zhì)上都與但在本質(zhì)上都與形式上有差異形式上有差異在在雖與雖與等等正常數(shù)正常數(shù)對(duì)對(duì) ，MM ., 0lim MaxNnNaxnnn 有有時(shí)時(shí)當(dāng)

8、當(dāng)?shù)谋容^的比較與與axaxnnnn limlim)5(., 0lim axNnNaxnnn有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)., 0lim0000axNnNaxnnn有有某某個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)某某個(gè)個(gè)., 0,0000axNnNRaxnn有有對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)發(fā)發(fā)散散第15頁(yè)/共84頁(yè)例例1).1( ,0lim qqnn證證明明證證:, 0 對(duì)對(duì), nq由由,lnln qn即即.lnlnqN 取取, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 方法1：直接解不等式 ，求N. axn.為為無(wú)無(wú)窮窮小小量量即即nq數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：注意：(不妨設(shè) )q 第16頁(yè)/共84頁(yè)例例2.318

9、232lim22 nnnnn證明證明證：證：. 0145 , 0823, 42 nnnn有有先先限限定定!)823(3145318232:222相相當(dāng)當(dāng)困困難難直直接接解解分分析析 nnnnnnn)823(3145318232, 0222 nnnnnnn由由對(duì)對(duì) ,32962 nnn.32 , 4max.32 Nn取取得得第17頁(yè)/共84頁(yè)小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N., 0 方法2：若 不易求解，可設(shè)法先把 適當(dāng)?shù)胤糯?，再由 求解N. axnaxn nnax n第18頁(yè)/共84頁(yè))0(1lim.3aann例例證明：分三種情況證明.由由對(duì)對(duì)則則時(shí)時(shí)

10、當(dāng)當(dāng),0.1,1)1( naa 111nnaaor,11 na),1ln(ln1 an即即.)1ln(ln an解解得得.)1ln(ln aN取取此法一。第19頁(yè)/共84頁(yè)（法二）則則令令),0(1 nnna.1,1)1 (nanannnn 得得由由, 0 ,11 naann.1 an解解得得.11 aN取取第20頁(yè)/共84頁(yè)有有令令時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（, 11,102 baa）得得證證。由由（已已知知1, 1 nb. 11111 nnnnnbbbba故故對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（, 1,13 nana1lim nna.1）（ a有一般地，cxn.limcxnn第21頁(yè)/共84頁(yè).1lim.4nnn例例即即則則

11、令令證證明明,1,1:nnnnhnhn nnnnnnhhnnnhhn 2! 2) 1(1)1 ()2( ,2) 1(12 nhnnn)2( ,20 nnhn，解得，解得由由 nhnnn21, 0.2, 2max.222 Nn取取第22頁(yè)/共84頁(yè).1lim.522nann例例nnannan 22221, 0:由由證明證明,2222 nananna）（.2an 解解得得.2 aN取取.)2.(,. 1例例有有時(shí)時(shí)先先采采取取部部分分放放大大”為為辦辦法法將將其其“適適當(dāng)當(dāng)?shù)氐胤欧糯蟠蠓址肿幼臃欧糯蟠?，分分母母縮縮小小的的是是一一個(gè)個(gè)有有理理式式，則則采采取取若若注注nnax第23頁(yè)/共84頁(yè).)

12、5.(. 2例例將將其其“適適當(dāng)當(dāng)?shù)氐胤欧糯蟠蟆睘闉槟改富蚧蚍址肿幼佑杏欣砝砘牡姆椒椒ǚㄖ兄谐龀霈F(xiàn)現(xiàn)根根號(hào)號(hào)，則則采采取取分分若若注注nnax.)4 , 3 , 1.(. 3例例為為法法將將其其“適適當(dāng)當(dāng)?shù)氐胤欧糯蟠蟆比∪《?xiàng)項(xiàng)式式定定理理展展開(kāi)開(kāi)的的辦辦中中出出現(xiàn)現(xiàn)指指數(shù)數(shù)形形式式，則則采采若若注注nnax)35 ,6max(22.163153lim.1Nnnnnnex. 11lim. 2nnnexn).1(0lim. 3aanexnkn第24頁(yè)/共84頁(yè).1.6發(fā)發(fā)散散）（數(shù)數(shù)列列例例n .1的的極極限限）（都都不不是是證證明明：只只須須證證，任任何何數(shù)數(shù)na .1,0 Ra有有偶偶

13、數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，對(duì)對(duì)當(dāng)當(dāng),00NnNa .11110即即證證）（ aaan有有奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，對(duì)對(duì)當(dāng)當(dāng),00NnNa ; 11110 aaan）（第25頁(yè)/共84頁(yè).11:發(fā)發(fā)散散）（數(shù)數(shù)列列nnexn.,0證明：證明： Ra有有奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，對(duì)對(duì)當(dāng)當(dāng),00NnNa ;21)1(21111000akannn）（有有偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，對(duì)對(duì)當(dāng)當(dāng),00NnNa .21121111000即證）（akannn.2,2321!; !:2 nnnnnnnn注注第26頁(yè)/共84頁(yè)，則則且且若若NbabyaxThnnnn,lim,lim. 1.,nnyxNn 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)，則則由由證證明明：取取定定正正數(shù)數(shù),21Nax

14、ban 當(dāng)當(dāng)由由時(shí)時(shí)，有有,21,;232NbybaxbaNnnn .223bayabNnn 時(shí)時(shí)，有有.,max21得證得證時(shí)時(shí)取取NNN()23ab2ba2babax2ba23ba( )二、列極限的性質(zhì)第27頁(yè)/共84頁(yè)，當(dāng)且若NbyaxCorollarynnnn,lim,lim.1.,bayxNnnn ，則則有有時(shí)時(shí)bxNnNaxnnn有時(shí)，當(dāng)且特別,lim,).(.，取則nbyban矛盾！由設(shè)證明：反證法nnyxThba1,如，可能有中在注.,1:bayxCorollarrynn)(nnnnn與，與第28頁(yè)/共84頁(yè)，當(dāng)則或且若NbabaaxCorollarynn),(,lim.,）（

15、或（或有有時(shí)時(shí)bxbxNnnn .lim), 2 , 1(,1:bynbyThnnn有取中在證明).(類證類證ba ),0(0lim0,aaxbnn或或時(shí)時(shí)，即即若若當(dāng)當(dāng)特特別別地地.).0(0,稱稱為為極極限限保保號(hào)號(hào)性性或或有有充充分分大大時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)nnxxn.,:nNnNn時(shí)的一切當(dāng)充分大的注第29頁(yè)/共84頁(yè)Th2.（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。 .,baxn 妨設(shè)妨設(shè)有兩個(gè)相異的極限，不有兩個(gè)相異的極限，不設(shè)設(shè)證明：反證法證明：反證法nTharbrba，當(dāng)，當(dāng)之推論之推論則由則由即即之間一數(shù)之間一數(shù)令任取令任取21, 矛盾！矛盾！及及同時(shí)有同時(shí)有充分大時(shí)充分大時(shí).,rxrxnn

16、 時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)則則與與另證：設(shè)另證：設(shè)NnNbxaxnn , 0,.2 baaabann.2ba 的的任任意意性性，有有由由第30頁(yè)/共84頁(yè)且時(shí)，有當(dāng)若,. 3nnnzyxNnNTh.lim,limlimayazxnnnnnn則則時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)證證明明：NnNNNN,max, 021.)()()(21NnNnnNazyxa 稱“兩邊夾”法則第31頁(yè)/共84頁(yè)),(,:ayzzyaNnNCorollarynnnn 或或時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)若若.lim,limayaznnnn 則則且且 而且可用極限存在的一種方法，不僅是判斷注nyTh3:此方法求極限。第32頁(yè)/共84頁(yè), ),max(lim.

17、7212121aaaaaaaaAknnknnn設(shè)設(shè)例例個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)。是是 kak且且證明：證明：,1nnnnnknnnkAkAaaAA ).( 1 nkn).10(0) 1(lim. 8nnn例例 1)11 (1)11 () 1(0nnnnnn證證明明：.01lim,111 nnn且且第33頁(yè)/共84頁(yè). 2) 1(12111(lim. 9222nnnn例例, 2112) 1(12112222nnxnnnnn解：解：.12項(xiàng)項(xiàng)）共共有有（nxn第34頁(yè)/共84頁(yè)Def:Def: 有有對(duì)對(duì)設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)為為有有界界數(shù)數(shù)列列稱稱nBABAxn ),(,.,.上上界界分分別別為為其其下下界界BABxAnB

18、BBB, 2, 1,. 1如如上上界界上上、下下界界不不是是唯唯一一的的。注注).0(, 1,);0( AAA下下界界第35頁(yè)/共84頁(yè) ), 3 , 2 , 1(.0. 3nMxtsMxnn是有界數(shù)列是有界數(shù)列注注), 0(MO鄰域鄰域 0, 0nMxn 無(wú)界無(wú)界ts.0Mxn )., 0(MOxnn 有有ts. 則稱則稱時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)若若對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列注注,. 2BxANnNxnn 項(xiàng)之前只有有項(xiàng)之前只有有有界，故在有界，故在往后有界。往后有界必往后有界。往后有界必Nxn設(shè)設(shè)限限,21Nxxx,max,min11NNxxxx , 3 , 2 , 1),max(),min(nBxAn則則

19、第36頁(yè)/共84頁(yè) Th4. 有極限的數(shù)列是有界的。當(dāng)，則據(jù)定義，取證明：設(shè),1.lim0Naxnn.2, 111得證得證由注由注，即，即時(shí)，有時(shí)，有axaaxNnnn）得得證證注注由由注注或或.3, 2, 11(axaxaxnnn1,max21axxxMN令令反反之之有有界界數(shù)數(shù)列列不不表表明明收收斂斂數(shù)數(shù)列列必必有有界界，注注：4Th.2011.1）是是發(fā)發(fā)散散的的（如如一一定定收收斂斂nnx第37頁(yè)/共84頁(yè)三、數(shù)列極限的運(yùn)算 且且有有也也收收斂斂則則都都收收斂斂若若,. 1nnnnyxyx.limlimlimnnnnnnnyxyx ）（.代代數(shù)數(shù)和和仍仍是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量特特別別，兩

20、兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小量量的的 且且有有也也收收斂斂則則都都收收斂斂若若,.2nnnnyxyx.limlimlimnnnnnnnyxyx .,limlimconstcxccxnnnn 特特別別，與與積積仍仍是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量。兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小量量的的代代數(shù)數(shù)和和第38頁(yè)/共84頁(yè) .,. 3是無(wú)窮小量是無(wú)窮小量為無(wú)窮小量，則為無(wú)窮小量，則有界有界若若nnnnyxyx 也收斂，且也收斂，且則則都收斂，且都收斂，且若若nnnnnnyxyyx, 0lim,. 4.limlimlimnnnnnnnyxyx.lim11lim1:nnnnnyyy收斂且有收斂且有先證先證證明證明證證法法！比比較較40P時(shí)

21、時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)設(shè)設(shè)11, 0. 0limNnNbynn .2,2.220bbyNnNbbynn 時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)又取又取第39頁(yè)/共84頁(yè)時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)由由2,Nnbybbbyynnn .212bybbynn或時(shí)，有時(shí)，有則當(dāng)則當(dāng)取取NnNNN ),max(21.2112bybbybynnn .lim111limnnnnyby 故故.1limlim1limlim2得證得證，有，有于是，據(jù)于是，據(jù)nnnnnnnnnnyxyxyx 第40頁(yè)/共84頁(yè)收收斂斂。都都發(fā)發(fā)散散，但但它它們們的的和和與與 nnnnn2) 1(1) 1(1注1. 兩數(shù)列收斂?jī)H是極限運(yùn)算成立的充分條件，而非必要條件。例如：

22、 收收）（都都發(fā)發(fā)散散，但但它它們們的的積積與與nnn211) 1(1) 1(1 收收斂斂。斂斂于于零零，它它們們的的和和2 都都收收斂斂或或都都發(fā)發(fā)散散。收收斂斂nnnnyxyx, 不不一一定定。與與收收斂斂，則則結(jié)結(jié)論論如如何何？,1nnyxnn第41頁(yè)/共84頁(yè) 注注2. 極限運(yùn)算可推廣到有限多個(gè)數(shù)列的情形，但對(duì)無(wú)極限運(yùn)算可推廣到有限多個(gè)數(shù)列的情形，但對(duì)無(wú)窮多個(gè)卻不成立。窮多個(gè)卻不成立。, 01limnn例例：.01lim1lim1lim111limnnnnnnnnnnn 個(gè)個(gè).)11lim1lim(nnnn0lim knnp., ）自自然然數(shù)數(shù)（kp 第42頁(yè)/共84頁(yè)是是正正整整數(shù)數(shù)

23、，這這里里求求例例lkbnbnbananalllkkkn,lim. 9110110.0, 0,00banbaii無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的數(shù)數(shù)且且都都是是與與llkklknnbnbbnanaan 1010lim解：原式解：原式 .,000時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)，lkbalk. 04265lim,21827154lim42322nnnnnnnnnnn如如：第43頁(yè)/共84頁(yè))121sin1(lim.1022nnnnn例例 )(0sin1sin1nnnnn有有界界是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量，.21210第44頁(yè)/共84頁(yè))1(limlim.11nnnxnnn求求例例.11111 nnnnxn解解：111111 nn而而).( n于

24、于是是）（故故.111 nn.211111limlim nxnnn第45頁(yè)/共84頁(yè)322221lim.12nnn例例.312616) 12)(1(lim3 nnnnn解：原式解：原式第46頁(yè)/共84頁(yè)四. 單調(diào)有界數(shù)列DefDef : 的的是是單單調(diào)調(diào)增增加加（或或減減少少）稱稱nx.121 nnxxxx.121）（或（或 nnxxxx若等號(hào)都不成立，則稱它是嚴(yán)格單調(diào)增加（或減少）的。 n1例例如如：Th（實(shí)數(shù)連續(xù)性） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。第47頁(yè)/共84頁(yè),.1321aaaayaayayn例例收收斂斂并并求求其其極極限限。證證明明nya).0( .) 1 (是單調(diào)增加的證明：ny . 1

25、21.(2)nnnnnyayyayy有由有界. 12 nnnnyayyay即即有有，于是，于是則則又對(duì)又對(duì)nayaaynnn ,. 1 ayan!之之歸歸納納法法證證可可用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) .收斂故ny12lim) 3(nnnnyayly，則則由由設(shè)設(shè))0.(2141,2lallal得得兩兩邊邊取取極極限限，有有第48頁(yè)/共84頁(yè).11.14收收斂斂求求證證：例例nn .) 1 (:1（二二項(xiàng)項(xiàng)式式定定理理）是是單單調(diào)調(diào)增增加加：證證明明nnnyyy!1! 31! 21110)2(nyn有有界界性性nn）（1132121111 . 31111 n.11lim)3(ennn第49頁(yè)/共84頁(yè)五. 無(wú)窮

26、大量的定義 能能任任意意大大，并并保保充充分分大大時(shí)時(shí)，無(wú)無(wú)限限地地增增大大：當(dāng)當(dāng)nnn持持任任意意大大，即即,., 022GNGnGnG取取得得由由.,GnNn有有時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng) , 0NGxn是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量稱稱數(shù)數(shù)列列記為記為時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng).GxNnn nnxlimor. ）（ nxnDefDef :第50頁(yè)/共84頁(yè)事事。，與與很很大大的的量量不不是是一一回回）無(wú)無(wú)窮窮大大量量是是一一個(gè)個(gè)變變量量（2：）無(wú)無(wú)窮窮大大量量的的幾幾何何解解釋釋（3Gxn 由由定定義義，Gxn 得得.Gxn or ，與與上上一一節(jié)節(jié)中中的的的的極極限限是是，）注注意意記記號(hào)號(hào)（nnnxxlim1極限含義

27、的差別。注 在在及及個(gè)個(gè)開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間即即：對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的兩兩),(,(GG 全全位位項(xiàng)項(xiàng)以以后后的的一一切切項(xiàng)項(xiàng)第第一一項(xiàng)項(xiàng)中中總總,21 NNnnxxNxx).3(Fig于于這這兩兩個(gè)個(gè)開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)).O-GGx2Nx1Nx第51頁(yè)/共84頁(yè)不不唯唯一一，對(duì)對(duì)固固定定性性。既既具具有有任任意意性性，又又有有相相正正數(shù)數(shù)NG)4(無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)。有有關(guān)關(guān)而而與與僅僅與與且且nGN無(wú)窮大量包含)5( 當(dāng)是無(wú)窮大量，且正無(wú)窮大量：,lim)(Nxxinnn. 0 nxNn時(shí)時(shí)，有有., 0GxNnNGn 時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)有時(shí)當(dāng)負(fù)無(wú)窮大量：, 0lim)(NnNGxiinn.Gxn第52頁(yè)

28、/共84頁(yè) .1.15為為無(wú)無(wú)窮窮大大量量證證例例qqn,lnln, 0GqnGqGn ，即即由由證證明明：.lnln.lnln qGNqGqGn取?。ú徊环练猎O(shè)設(shè)得得) 1.(lim qqnn故故. 1NGxn，求求直直接接解解不不等等式式方方法法 第53頁(yè)/共84頁(yè).445152lim.1623nnnnn證證例例由由，證證明明：先先限限定定, 0100 Gn,664451522323Gnnnnnnn ).6,100max(.6GNGn 取取得得適適當(dāng)當(dāng)縮縮小?。翰徊灰滓浊笄蠼饨猓煽上认葘⑷羧舴椒椒ǚ╪nxGx. 2要要求求適適當(dāng)當(dāng)縮縮小小的的求求再再由由.,NGxnnn 必必須須仍仍

29、是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量。n第54頁(yè)/共84頁(yè)六、無(wú)窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算關(guān)關(guān)系系無(wú)無(wú)窮窮大大量量和和無(wú)無(wú)窮窮小小量量的的. 1 .1為為無(wú)無(wú)窮窮小小量量為為無(wú)無(wú)窮窮大大量量 nnxx ), 2 , 1(0nxxnn為為無(wú)無(wú)窮窮小小量量，且且反反之之，.1為為無(wú)無(wú)窮窮大大量量 nxTh.第55頁(yè)/共84頁(yè)無(wú)無(wú)窮窮大大量量的的運(yùn)運(yùn)算算法法則則. 2 也也量量都都是是正正（或或負(fù)負(fù)）無(wú)無(wú)窮窮大大和和nnnnyxyx) 1 (.是是正正（或或負(fù)負(fù)）無(wú)無(wú)窮窮大大量量與與差差的的極極限限如如何何？注注：兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮大大量量的的和和大大量量，大大量量之之和和可可能能不不是是無(wú)無(wú)窮窮任任何何兩兩個(gè)個(gè)非非同同號(hào)號(hào)

30、的的無(wú)無(wú)窮窮 .大大量量，但但它它們們的的差差必必是是無(wú)無(wú)窮窮和和如如nn. 0111nnnn第56頁(yè)/共84頁(yè) 是無(wú)窮大量。是有界的是無(wú)窮大量nnnnyxyx,)2(., 0GxNnNGn 時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)證證明明：,., 0時(shí)時(shí)于于是是當(dāng)當(dāng)，有有對(duì)對(duì)又又NnMynMn . ）（不不妨妨設(shè)設(shè)有有MGMGyxyxnnnn .1sinlim23nnnn如如：.limarctgnnn NnNyxnn當(dāng)當(dāng)具具有有如如下下特特性性是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量，,:)3( .0是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量時(shí)時(shí)，有有nnnyxy 第57頁(yè)/共84頁(yè) 0lim,lim:ayxCorollarynnnn.lim nnnyx時(shí)時(shí)

31、，有有，當(dāng)當(dāng)故故由由證證明明11,lim, 0:NnNxGnn 知知又又由由, 0lim. ayGxnnn. 02lim aaynn）知知：之之）（據(jù)據(jù)極極限限的的保保號(hào)號(hào)性性（推推廣廣21CorollaryTh),max(. 02,2122NNNayNnNn 取取有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).2GayxyxNnnnnn 時(shí)時(shí)，有有則則當(dāng)當(dāng)?shù)?8頁(yè)/共84頁(yè)極極限限量量的的和和、差差、積積、商商的的注注：無(wú)無(wú)窮窮大大量量和和無(wú)無(wú)窮窮小小和和、差差無(wú)無(wú)窮窮大大量量和和無(wú)無(wú)窮窮小小量量的的）如如何何？由由（,2.仍仍是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量 ;12 nnn之之積積和和. 0112 nnn之積之積和和.11122nnn

32、n和和，之之商商之之積積和和第59頁(yè)/共84頁(yè)., 0, 0,lim.1700110110lkbabnbnbananalllkkkn求求例例001010limballlkklknnbbnbbnanaan解解：原原式式. 可可見(jiàn)見(jiàn) .,0lim00110110klklbaklbnbnbananalllkkkn，)0, 0(00 ba第60頁(yè)/共84頁(yè)七、小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :保號(hào)性、唯一性、“兩邊夾法則”、有界性;數(shù)列極限的運(yùn)算數(shù)列極限的運(yùn)算: :代數(shù)和、積與商;單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單調(diào)有界數(shù)列必有極

33、限。無(wú)窮大量、定義、性質(zhì)和運(yùn)算無(wú)窮大量、定義、性質(zhì)和運(yùn)算第61頁(yè)/共84頁(yè)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” 劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ 極限思想：第62頁(yè)/共84頁(yè)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” 劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ 極限思想：第63頁(yè)/共84頁(yè)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” 劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ 極限思想：第64頁(yè)/共84頁(yè)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” 劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ 極限思想：第65頁(yè)/共84頁(yè)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” 劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ 極限思想：第66頁(yè)/共84頁(yè)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” 劉徽1 1、割圓求周、割圓求周三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉