高等代數(shù)集合與映射PPT課件

1、16.1 集合 映射26.1 集合 映射3把一些事物匯集到一起組成的一個(gè)整體就叫做把一些事物匯集到一起組成的一個(gè)整體就叫做集合集合；常用大寫(xiě)字母常用大寫(xiě)字母a、b、c 等表示集合；等表示集合；當(dāng)當(dāng)a是集合是集合a的元素時(shí)，就說(shuō)的元素時(shí)，就說(shuō)a 屬于屬于a，記作，記作 ； aa 當(dāng)當(dāng)a不是集合不是集合a的元素時(shí)，就說(shuō)的元素時(shí)，就說(shuō)a不屬于不屬于a，記作，記作 .aa 組成集合的這些事物稱(chēng)為集合的組成集合的這些事物稱(chēng)為集合的元素（元素（element） 用小寫(xiě)字母用小寫(xiě)字母a、b、c 等表示集合的元素等表示集合的元素 6.1 集合 映射4 關(guān)于集合沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義，只是有一關(guān)于集合沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)

2、謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義，只是有一個(gè)描述性的說(shuō)明集合論的創(chuàng)始人是個(gè)描述性的說(shuō)明集合論的創(chuàng)始人是19世紀(jì)中期德世紀(jì)中期德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（gcantor），他把集合描述為：），他把集合描述為：所謂集合是指我們直覺(jué)中或思維中確定的，彼此有所謂集合是指我們直覺(jué)中或思維中確定的，彼此有明確區(qū)別的那些事物作為一個(gè)整體來(lái)考慮的結(jié)果；明確區(qū)別的那些事物作為一個(gè)整體來(lái)考慮的結(jié)果；集合中的那些事物就稱(chēng)為集合的元素即，集合中集合中的那些事物就稱(chēng)為集合的元素即，集合中的元素具有：確定性、互異性、無(wú)序性的元素具有：確定性、互異性、無(wú)序性. 6.1 集合 映射5集合的表示方法一般有兩種：集合的表示方法一般有兩種：描述

3、法描述法、列舉法列舉法 mx | x具有性質(zhì)具有性質(zhì)p ma1，a2，an把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來(lái)把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來(lái).給出這個(gè)集合的元素所具有的特征性質(zhì)給出這個(gè)集合的元素所具有的特征性質(zhì).6.1 集合 映射6例例1 122( , )4, ,mx y xyx yr 例例2 2 n ，0,1,2,3,0, 2, 4, 6, 2z 例例3 3210, 1,1mx xxr 空集：空集：不含任何元素的集合，記為不含任何元素的集合，記為 約定：約定： 空集是任意集合空集是任意集合的子集合的子集合. 6.1 集合 映射7 如果如果b中的每一個(gè)元素都是中的每一個(gè)元素都是a中的元素，則稱(chēng)中

4、的元素，則稱(chēng)b是是 a的的子集（子集（subset），記作，記作 ，（讀作，（讀作b包含包含 于于a）.baba當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) xbxa 如果如果a、b兩集合含有完全相同的元素，則稱(chēng)兩集合含有完全相同的元素，則稱(chēng) a與與 b相等相等，記作，記作ab .ab當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 且且 abba6.1 集合 映射8交：交： ； abx xaxb 且且并：并： ； abx xaxb 或或顯然有，顯然有，;abaaab 6.1 集合 映射9設(shè)設(shè)m、m 是給定的非空集合，如果有是給定的非空集合，如果有 一個(gè)對(duì)一個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)法則，通過(guò)這個(gè)法則，通過(guò)這個(gè)法則對(duì)于對(duì)于m的每一個(gè)元素的每一個(gè)元素a，都有都有m 中

5、一個(gè)確定的元素中一個(gè)確定的元素a 與它對(duì)應(yīng)與它對(duì)應(yīng), 則稱(chēng)則稱(chēng) 為為稱(chēng)稱(chēng) a 為為 a 在映射在映射下的下的象（象（image），而，而 a稱(chēng)稱(chēng)a 在在映射映射下的下的原象（原象（inverse image），記作，記作(a)a 或或m到到m 的的映射（映射（mapping），記作，記作 . :mm :.aa 6.1 集合 映射101.1.設(shè)映射設(shè)映射 , 集合集合:mm 稱(chēng)之為稱(chēng)之為m在映射在映射下的下的象象，通常記作，通常記作 im2. 集合集合m 到到m 自身的映射稱(chēng)為自身的映射稱(chēng)為m 的一個(gè)的一個(gè)變換變換 imm 顯然，顯然， () ( )ma am 6.1 集合 映射11例例4 4m

6、是一個(gè)集合，定義是一個(gè)集合，定義i： i(a)a ，am 即即 i 把把 m 上的元素映到它自身，上的元素映到它自身，i 是一個(gè)映射，是一個(gè)映射，例例5 5 任意一個(gè)在實(shí)數(shù)集任意一個(gè)在實(shí)數(shù)集r上的函數(shù)上的函數(shù) yf(x) 都是實(shí)數(shù)集都是實(shí)數(shù)集r到自身的映射，到自身的映射，稱(chēng)稱(chēng) i 為為 m 上的上的恒等映射（恒等映射（identity mapping）或或即，函數(shù)可以看成是映射的一個(gè)特殊情形即，函數(shù)可以看成是映射的一個(gè)特殊情形 單位映射單位映射 6.1 集合 映射12設(shè)映射設(shè)映射 ， :,:mmmm (a)(a) am 即相繼施行即相繼施行和和的結(jié)果，的結(jié)果， 是是 m 到到 m 的一個(gè)的一個(gè)

7、 映射映射 乘積乘積 定義為：定義為： 6.1 集合 映射131. 對(duì)于任意映射對(duì)于任意映射 ，有，有 :mm mmii 2. 設(shè)映射設(shè)映射:,:,:mmmmmm ， 有有()(). 6.1 集合 映射14設(shè)映射設(shè)映射:mm （1）若）若imm，即對(duì)于任意，即對(duì)于任意ym ，均存在，均存在 （surjection）或稱(chēng)或稱(chēng) 為為映上（映上（onto）的；的； xm ，使，使 ，則稱(chēng)，則稱(chēng) 是是m到到m 的一個(gè)的一個(gè)滿(mǎn)射滿(mǎn)射( )yx 6.1 集合 映射15（3）若）若既是單射，又是滿(mǎn)射，則稱(chēng)既是單射，又是滿(mǎn)射，則稱(chēng)為為雙射雙射（bijection）, （或稱(chēng)（或稱(chēng)為為 1-1對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)）.則稱(chēng)則

8、稱(chēng)是是m到到m 的一個(gè)的一個(gè)單射（單射（injection）或稱(chēng)或稱(chēng)121212,()()a amaaaa 若若則則（或（或），）， （2）若）若m中不同元素的象也不同，即中不同元素的象也不同，即 212121),()(,aaaamaa則則若若 為為1-1（one to one）； 6.1 集合 映射16例例6 6 判斷下列映射的性質(zhì)判斷下列映射的性質(zhì)（1）ma，b，c、m 1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2 （既不單射，也不是滿(mǎn)射既不單射，也不是滿(mǎn)射） ：(a)3，(b)2，(c)1（2）m=z，m z，：(n)|n|1,nz （是滿(mǎn)射，但不是單射是滿(mǎn)射，但不是單射） （3）mn np

9、，m p，（，（p為數(shù)域）為數(shù)域） ：(a)|a|，n nap （是滿(mǎn)射，但不是單射是滿(mǎn)射，但不是單射） （雙射雙射）6.1 集合 映射17（4）mp，m ,n np p為數(shù)域?yàn)閿?shù)域, e為為n級(jí)單位矩陣級(jí)單位矩陣：(a)ae，ap （是單射，但不是滿(mǎn)射是單射，但不是滿(mǎn)射） ：(a)a0，am （既不單射，也不是滿(mǎn)射既不單射，也不是滿(mǎn)射） （6）mm px，p為數(shù)域?yàn)閿?shù)域：(f (x)f (x)，( ) f xp x（是滿(mǎn)射，但不是單射是滿(mǎn)射，但不是單射） （5）m、m 為任意非空集合，為固定元素為任意非空集合，為固定元素 0am 6.1 集合 映射18（7）m是一個(gè)集合，定義是一個(gè)集合，定義

10、i：i(a)a，am （8）m=z，m 2z，：(n)2n,nz （雙射雙射） （雙射雙射） 6.1 集合 映射19設(shè)映射設(shè)映射:,mm 若有映射若有映射:,mm 使得使得,mmii 則稱(chēng)則稱(chēng)為為可逆映射（可逆映射（invertible mapping），為為的的的逆映射是由的逆映射是由唯一確定的唯一確定的記作記作1逆映射逆映射，6.1 集合 映射20 1. 若若為可逆映射，則為可逆映射，則1也為可逆映射，且也為可逆映射，且 （1）12.2.:mm 為可逆映射，為可逆映射，am ，若，若( ),aa .1aa 則有則有3. 3. 為可逆映射的充要條件是為可逆映射的充要條件是 為為1-1對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)

11、6.1 集合 映射21證：證：若映射若映射:mm為為1-1對(duì)應(yīng)，則對(duì)對(duì)應(yīng)，則對(duì)ym 均存在唯一的均存在唯一的x m，使，使(x)y，作對(duì)應(yīng)，作對(duì)應(yīng) :mm( ),( )yxxy這里( )( ( )( )( ),mxxyxix 則即即mi ； ( )( ( )( )( ),myyxyiy 則即即mi 為可逆映射為可逆映射 則則是一個(gè)是一個(gè)m 到到m的映射的映射, 且對(duì)且對(duì) ,( ),xmxy 若,( ),ymxx 若若y y= =有有 ( (y y) )= =6.1 集合 映射2211,( )( )ymyyy 對(duì)對(duì)有有即即, 1( ),( ).xymyx 使使所以所以為滿(mǎn)射為滿(mǎn)射. 其次，對(duì)其次

12、，對(duì)1212,()()x xmxx若，則，則 11111112( )( )( ( )( ( )mxixxxx 即即為單射為單射.所以所以為為1-1對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)1222()()mxixx 反之，設(shè)反之，設(shè) 為可逆映射，則為可逆映射，則 : mm 6.1 集合 映射23:,:fabg bchgf,令例例7 7 設(shè)映射設(shè)映射，證明：，證明：（1）如果）如果 h 是單射，那么是單射，那么 f 也是單射；也是單射；12()(),f af a但1112( )( )( ( )( ()h agf ag f ag f a這與這與h是單射矛盾，是單射矛盾， f 是單射是單射1212,a aaaa且證：證：若若 f 不

13、是單射，則存在不是單射，則存在22()()gf ah a 于是有于是有6.1 集合 映射24（2）如果）如果 h 是滿(mǎn)射，那么是滿(mǎn)射，那么 g 也是滿(mǎn)射；也是滿(mǎn)射；證：證：,( )ccaah ac 使 h 是滿(mǎn)射，是滿(mǎn)射，即，即( )( )( ( )ch agf ag f a( )f ab， g 是滿(mǎn)射是滿(mǎn)射又又6.1 集合 映射251111()hgffg （3）如果）如果 f、g 都是雙射，那么都是雙射，那么 h 也是雙射，并且也是雙射，并且證：證： 因?yàn)橐驗(yàn)?g 是滿(mǎn)射，存在是滿(mǎn)射，存在,使使cc bb( ).g bc又因?yàn)橛忠驗(yàn)?f 是滿(mǎn)射，存在，使是滿(mǎn)射，存在，使aa( )f ab( )( )( ( )( ),h agf ag f ag bch是滿(mǎn)射