求微分方程的解最新課件

1、求微分方程的解最新求微分方程的解主講教師: 聯(lián)系方式:電話: 61095178QQ: 78378528E-mail: 求微分方程的解最新q 自牛頓發(fā)明微積分以來，微分方程在描述事物運自牛頓發(fā)明微積分以來，微分方程在描述事物運動規(guī)律上已發(fā)揮了重要的作用。實際應(yīng)用問題通過動規(guī)律上已發(fā)揮了重要的作用。實際應(yīng)用問題通過數(shù)學(xué)建模所得到的方程，絕大多數(shù)是微分方程。數(shù)學(xué)建模所得到的方程，絕大多數(shù)是微分方程。q 由于實際應(yīng)用的需要，人們必須求解微分方程。由于實際應(yīng)用的需要，人們必須求解微分方程。然而能夠求得解析解的微分方程十分有限，絕大多然而能夠求得解析解的微分方程十分有限，絕大多數(shù)微分方程需要利用數(shù)值方法來

2、近似求解。數(shù)微分方程需要利用數(shù)值方法來近似求解。q 本本實驗實驗主要研究如何用主要研究如何用 Matlab 來計算微分方程來計算微分方程（組）的數(shù)值解，并重點介紹一個求解微分方程的（組）的數(shù)值解，并重點介紹一個求解微分方程的基本數(shù)值解法基本數(shù)值解法Euler折線法折線法。問題背景和實驗?zāi)康膯栴}背景和實驗?zāi)康那笪⒎址匠痰慕庾钚聁 考慮一維經(jīng)典考慮一維經(jīng)典初值問題初值問題00 , , ( ,)() , dyf x yy xyxa bdx u 基本思想：基本思想：用差商代替微商用差商代替微商根據(jù)根據(jù) Talyor 公式，公式，y(x) 在點在點 xk 處有處有2()()() ()()kkky xy

3、xxxyxOx 1kkhxx 11()()()()( )kkkkky xy xy xy xdyO hdxhhx 21()()()()kkky xy xhyxO h Euler 折線法折線法求微分方程的解最新初值問題的初值問題的Euler折線法折線法q 具體步驟：具體步驟：等距剖分：等距剖分：0121nnaxxxxxb 步長：步長：1 0 1 21()/, , ,kkhxxknnba u 分割求解區(qū)間分割求解區(qū)間u 差商代替微商差商代替微商1()()kkky xy xdydxhx 1 ()()()kkky xy xh yx 得方程組：得方程組：0011 ()(,)kkkkkkyy xyyh f

4、xyxxh 分割求解區(qū)間，差商代替微商，解代數(shù)方程分割求解區(qū)間，差商代替微商，解代數(shù)方程 為分割點為分割點 0nkkx k = 0, 1, 2, ., n-1yk 是是 y (xk) 的近似的近似求微分方程的解最新Euler 折線法舉例折線法舉例例：例：用用 Euler 法解初值問題法解初值問題22 0 201 , ( )dyxydxyxy 取步長取步長 h = (2 - 0)/n = 2/n，得差分方程得差分方程00110 1 2 ,(,)(/)kkkkkkkkkkxyyyh f xyyh yxyxxh 當(dāng)當(dāng) h=0.4，即即 n=5 時，時，Matlab 源程序見下一頁源程序見下一頁解：解

5、：求微分方程的解最新Euler 折線法源程序折線法源程序clearf=sym(y+2*x/y2);a=0; b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1;szj=x,y;for i=1:n-1 % i=1:n y=y+h*subs(f,x,y,x,y); x=x+h; szj=szj;x,y;endszjplot(szj(:,1),szj(:,2), )求微分方程的解最新 Euler折線法舉例（續(xù)）折線法舉例（續(xù)）解析解：解析解：1 3352233/xyex 解析解解析解近似解近似解1 3352233/xyex 求微分方程的解最新Runge-Kutta

6、 方法方法q 為了減小誤差，可采用以下方法：為了減小誤差，可采用以下方法：u 讓步長讓步長 h 取得更小一些；取得更小一些；u 改用具有較高精度的數(shù)值方法：改用具有較高精度的數(shù)值方法：q 龍格龍格-庫塔方法庫塔方法Runge-Kutta (龍格龍格-庫塔庫塔) 方法方法u 是是一類一類求解常微分方程的數(shù)值方法求解常微分方程的數(shù)值方法u 有多種不同的迭代格式有多種不同的迭代格式求微分方程的解最新Runge-Kutta 方法方法q 用得較多的是用得較多的是 四階四階R-K方法方法00111234 (22)/6(),kkkkyy xxxhyyh LLLL 12132432222(,)(/ ,/ )(

7、/ ,/ )(,)kkkkkkkkLf xyLf xhyhLLf xhyhLLf xh yhL 其中其中求微分方程的解最新四階四階 R-K 方法方法源程序源程序clear;f=sym(y+2*x/y2);a=0; b=2; h=0.4;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1; szj=x,y;for i=1:n-1 % i=1:n l1=subs(f,x,y,x,y); l2=subs(f,x,y,x+h/2,y+l1*h/2); l3=subs(f,x,y,x+h/2,y+l2*h/2); l4=subs(f,x,y,x+h,y+l3*h); y=y+h*(l1+

8、2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=szj;x,y;endplot(szj(:,1),szj(:,2), dg-)求微分方程的解最新Runge-Kutta 方法方法求微分方程的解最新Euler 法與法與 R-K法誤差比較法誤差比較求微分方程的解最新Matlab 解初值問題解初值問題q 用用 Maltab自帶函數(shù)自帶函數(shù) 解初值問題解初值問題u 求解析解：求解析解：dsolve （Wang p59）u 求數(shù)值解：求數(shù)值解： ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、 ode23s、ode23tb求微分方程的解最新dsolve 求解析解求解析解q ds

9、olve 的使用的使用y=dsolve(eq1,eq2, . ,cond1,cond2, . ,v)其中其中 y 為輸出，為輸出， eq1、eq2、.為微分方程，為微分方程，cond1、cond2、.為初值條件，為初值條件，v 為自變量。為自變量。例例 1：求微分方程求微分方程 的通解，并驗證。的通解，并驗證。22xdyxyxedx y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x) syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x2)求微分方程的解最新dsolve 的使用的使用q 幾點說明幾點說明l 如果省略初值條件，則表示求通解；如果省略初值條件，則表示求通解；

10、l 如果省略自變量，則默認(rèn)自變量為如果省略自變量，則默認(rèn)自變量為 t dsolve(Dy=2*x,x); dy/dx = 2xdsolve(Dy=2*x); dy/dt = 2xl 若找不到解析解，則返回其積分形式。若找不到解析解，則返回其積分形式。l 微分方程中用微分方程中用 D 表示對表示對 自變量自變量 的導(dǎo)數(shù)，如：的導(dǎo)數(shù)，如：Dy y； D2y y； D3y y求微分方程的解最新dsolve 舉例舉例例例 2：求微分方程求微分方程 在初值條件在初值條件 下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。0 xxyye y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)

11、=2*exp(1),x) ezplot(y);12( )ye 求微分方程的解最新dsolve 舉例舉例例例3：求微分方程組求微分方程組 在初值條件在初值條件 下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。530tdxxyedtdyxydt x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=0, t)ezplot(x,y,0,1.3);0010|ttxy 注：解微分方程組時，如果所給的輸出個數(shù)與方程個數(shù)相同，注：解微分方程組時，如果所給的輸出個數(shù)與方程個數(shù)相同，則方程組的解則方程組的解按詞典順序按詞典順序輸出；如果只給一個輸

12、出，則輸出輸出；如果只給一個輸出，則輸出的是一個包含解的的是一個包含解的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（structure）類型的數(shù)據(jù)。類型的數(shù)據(jù)。求微分方程的解最新v dsolve 舉例舉例例：例：x,y=dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=1,t) r = dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=1,t)這里返回的這里返回的 r 是一個是一個 結(jié)構(gòu)類型結(jié)構(gòu)類型 的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)r.x %查看解函數(shù)查看解函數(shù) x(t)r.y %查看解函數(shù)查看解函數(shù) y(t)只有很少一部分微分方程（組）能求出解析解。只有很少一部分微分方程（組）能求

13、出解析解。大部分微分方程（組）只能利用大部分微分方程（組）只能利用數(shù)值方法數(shù)值方法求數(shù)值解。求數(shù)值解。dsolve的輸出個數(shù)只能為一個的輸出個數(shù)只能為一個 或或 與方程個數(shù)相等。與方程個數(shù)相等。求微分方程的解最新Matlab函數(shù)數(shù)值求解函數(shù)數(shù)值求解T,Y = solver(odefun,tspan,y0)其中其中 y0 為初值條件，為初值條件，tspan為求解區(qū)間；為求解區(qū)間；Matlab在數(shù)值求解在數(shù)值求解時時自動對求解區(qū)間進(jìn)行分割自動對求解區(qū)間進(jìn)行分割，T (向量向量) 中返回的是分割點的中返回的是分割點的值值(自變量自變量)，Y (向量向量) 中返回的是解函數(shù)在這些分割點上的中返回的是解

14、函數(shù)在這些分割點上的函數(shù)值。函數(shù)值。solver 為為Matlab的的ODE求解器求解器（可以是（可以是 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb）沒有一種算法可以有效地解決所有的沒有一種算法可以有效地解決所有的 ODE 問題，因此問題，因此MATLAB 提供了多種提供了多種ODE求解器求解器，對于不同的對于不同的ODE，可以調(diào)用不同的可以調(diào)用不同的求解器求解器。求微分方程的解最新Matlab提供的提供的ODE求解器求解器求解器求解器 ODE類型類型特點特點說明說明ode45非剛性非剛性單步法；單步法；4，5 階階 R-K 方法；方法；累計

15、截斷誤差為累計截斷誤差為 (x)3大部分場合的大部分場合的首選方法首選方法ode23非剛性非剛性單步法；單步法；2，3 階階 R-K 方法；方法；累計截斷誤差為累計截斷誤差為 (x)3使用于精度較低的情形使用于精度較低的情形ode113非剛性非剛性多步法；多步法；Adams算法；高低精算法；高低精度均可到度均可到 10-310-6計算時間比計算時間比 ode45 短短ode23t適度剛性適度剛性 采用梯形算法采用梯形算法適度剛性情形適度剛性情形ode15s剛性剛性多步法；多步法；Gears 反向數(shù)值微反向數(shù)值微分；精度中等分；精度中等若若 ode45 失效時，可失效時，可嘗試使用嘗試使用ode

16、23s剛性剛性單步法；單步法；2 階階Rosebrock 算算法；低精度法；低精度當(dāng)精度較低時，計算時當(dāng)精度較低時，計算時間比間比 ode15s 短短ode23tb剛性剛性梯形算法；低精度梯形算法；低精度當(dāng)精度較低時，計算時當(dāng)精度較低時，計算時間比間比ode15s短短求微分方程的解最新參數(shù)說明參數(shù)說明odefun 為為顯式常微分方程顯式常微分方程，可以用命令，可以用命令 inline 定義，或定義，或在在函數(shù)文件函數(shù)文件中定義，然后通過函數(shù)句柄調(diào)用。中定義，然后通過函數(shù)句柄調(diào)用。fun=inline(-2*y+2*x2+2*x,x,y);x,y=ode23(fun,0,0.5,1);注：注：也

17、可以在也可以在 tspan 中指定對求解區(qū)間的分割，如：中指定對求解區(qū)間的分割，如：x,y=ode23(fun,0:0.1:0.5,1); %此時此時 x=0:0.1:0.5T,Y = solver(odefun,tspan,y0) 求初值問題求初值問題 的數(shù)值解，求解范的數(shù)值解，求解范圍為圍為 0,0.5222201( )dyyxxdxy 例例 4：求微分方程的解最新數(shù)值求解舉例數(shù)值求解舉例如果需求解的問題是如果需求解的問題是高階高階常微分方程，則需將其化為常微分方程，則需將其化為一階常一階常微分方程組微分方程組，此時需用，此時需用函數(shù)文件函數(shù)文件來定義該常微分方程組。來定義該常微分方程組。122212112101 00 7/()( ),( ),dxdtxdxdtxxxxx 令令 ，則原方程可化為，則原方程可化為12,dyxy xdt 求解求解 Ver der Pol 初值問題初值問題2221001 00 7()( ),( ),d ydyyydtdtyy 例例 5：求微分方程的解最新數(shù)值求解舉例數(shù)值求解舉例l 先編寫函數(shù)文件先編寫函數(shù)文件 verderpol.mfunction xprime=verderpol(t,x)global mu;xprime=x(2); mu*(1-x(1)2)*x(2) - x(1);l 再編寫腳本