矩陣的初等行變換與初等矩陣

1、矩陣的初等行變換矩陣的初等行變換與與初等矩陣初等矩陣學習目標學習目標目標目標一一目標目標二二目標目標三三首頁首頁上頁上頁下頁下頁理解什么是初等行變換理解什么是初等行變換知道什么是初等矩陣知道什么是初等矩陣掌握初等行變換的應用掌握初等行變換的應用初等行變換的背景初等行變換的背景1801年德國數(shù)學家高斯把線性方程組的全部系數(shù)年德國數(shù)學家高斯把線性方程組的全部系數(shù)作為一個整體作為一個整體首頁首頁上頁上頁下頁下頁xyxy23425 234 25 收獲：線性方程組可以用矩陣來表示收獲：線性方程組可以用矩陣來表示初等行變換的引入初等行變換的引入將矩陣的兩行對調(diào)將矩陣的兩行對調(diào)首頁首頁上頁上頁下頁下頁 23

2、4 125 第第1行行第第2行行 234xy 25xy 第第1個方程個方程第第2個方程個方程兩個方程對應也發(fā)生對調(diào)兩個方程對應也發(fā)生對調(diào)對調(diào)矩陣兩行的變換對調(diào)矩陣兩行的變換稱為稱為對換變換對換變換初等行變換的引入初等行變換的引入將矩陣的第一行乘以將矩陣的第一行乘以2首頁首頁上頁上頁下頁下頁 234 125 第第1行行第第2行行 234xy 25xy 第第1個方程個方程第第2個方程個方程第一個方程對應也在等號兩邊同乘以第一個方程對應也在等號兩邊同乘以2矩陣某一行乘以一個常數(shù)的矩陣某一行乘以一個常數(shù)的變換稱為變換稱為倍乘變換倍乘變換 1 2 2 2 5 2 24xy 24注意：倍乘變換與注意：倍乘

3、變換與矩陣數(shù)乘矩陣數(shù)乘的區(qū)別的區(qū)別初等行變換的引入初等行變換的引入矩陣的第矩陣的第2行加上第行加上第1行乘以（行乘以（-2）首頁首頁上頁上頁下頁下頁 234 125 第第1行行第第2行行 234xy 25xy 第第1個方程個方程第第2個方程個方程第二個方程對應也在等號兩邊第二個方程對應也在等號兩邊同時加上第一個方程的（同時加上第一個方程的（-2）倍）倍矩陣某一行的倍數(shù)加到另一矩陣某一行的倍數(shù)加到另一行上的變換稱為行上的變換稱為倍加變換倍加變換() 212() () 322() 4 52y 7 07初等行變換初等行變換對換變換對換變換倍乘變換倍乘變換倍加變換倍加變換首頁首頁上頁上頁下頁下頁定義定

4、義2.13 矩陣的初等行變換是指對矩陣進行下列三種變換：矩陣的初等行變換是指對矩陣進行下列三種變換：將矩陣的某兩行對換位置將矩陣的某兩行對換位置將矩陣的某一行遍乘一個非零常數(shù)將矩陣的某一行遍乘一個非零常數(shù)k將矩陣的某一行遍乘一個常數(shù)將矩陣的某一行遍乘一個常數(shù)k加至加至另一行另一行定理定理2.7 設方陣設方陣a經(jīng)過若干次初等行變換后得到方陣經(jīng)過若干次初等行變換后得到方陣b，如果如果a是非奇異的，則是非奇異的，則b也是非奇異的。反之亦然。也是非奇異的。反之亦然。什么是非奇異什么是非奇異例題講解例題講解例例1運用初等行變換將矩陣運用初等行變換將矩陣轉(zhuǎn)化成單位矩陣轉(zhuǎn)化成單位矩陣解：解：首頁首頁上頁上頁

5、下頁下頁a 020100301i 100010001020100301( )( )12100020301( ) 122100010301( )( ) 331100010001對換變換對換變換倍乘變換倍乘變換倍加變換倍加變換初等行變換的練習初等行變換的練習練習運用初等行變換將矩陣練習運用初等行變換將矩陣首頁首頁上頁上頁下頁下頁a 012114210轉(zhuǎn)化成單位矩陣轉(zhuǎn)化成單位矩陣1、把主對角線上第一個元素變?yōu)?、把主對角線上第一個元素變?yōu)?2、把主對角線上第一個元素下方的所有元素變?yōu)?、把主對角線上第一個元素下方的所有元素變?yōu)?3、把主對角線上第二個元素變?yōu)椤阎鲗蔷€上第二個元素變?yōu)?4、把主對角線上

6、第一個元素下方的所有元素變?yōu)?、把主對角線上第一個元素下方的所有元素變?yōu)?5、如此類推，直至將主對角線最后一個元素變?yōu)?、如此類推，直至將主對角線最后一個元素變?yōu)?6、從最后一列開始往第一列，把主對角線上方的、從最后一列開始往第一列，把主對角線上方的 元素變?yōu)樵刈優(yōu)?初等矩陣的引入初等矩陣的引入為什么在初等行變換的過程中，為什么在初等行變換的過程中，矩陣之間是用箭頭連接呢？矩陣之間是用箭頭連接呢？首頁首頁上頁上頁下頁下頁 010020100100001301 1001001000202301001 100100010010301301 100020301 100010301100010001請三

7、位同學說出結(jié)果請三位同學說出結(jié)果100010001紅色框的三紅色框的三個矩陣與單個矩陣與單位矩陣有何位矩陣有何聯(lián)系？聯(lián)系？初等矩陣初等矩陣首頁首頁上頁上頁下頁下頁 010100001 1001002001 10 001 03 0 1三個矩陣的特點：單位矩陣經(jīng)過一次初等行變換而得到三個矩陣的特點：單位矩陣經(jīng)過一次初等行變換而得到定義定義2.14 將單位矩陣作一次初等行變換得到的矩陣，稱將單位矩陣作一次初等行變換得到的矩陣，稱為為初等矩陣初等矩陣初等對換矩陣初等對換矩陣由單位矩陣第由單位矩陣第i,j行對換得到，記作行對換得到，記作eij初等倍乘矩陣初等倍乘矩陣由單位矩陣第由單位矩陣第i行乘行乘k得

8、到，記作得到，記作ei(k)初等倍加矩陣初等倍加矩陣由單位矩陣第由單位矩陣第i行乘行乘k加到第加到第j行得到，記作行得到，記作eij(k)課堂中段小結(jié)課堂中段小結(jié) 初等行變換初等行變換 初等矩陣初等矩陣 對換變換對換變換 初等對換矩陣初等對換矩陣 倍乘對換倍乘對換 初等倍乘矩陣初等倍乘矩陣 倍加變換倍加變換 初等倍加矩陣初等倍加矩陣首頁首頁上頁上頁下頁下頁初等行變換中，兩個矩陣之間之所以用箭頭連初等行變換中，兩個矩陣之間之所以用箭頭連接，是因為兩個矩陣之間相差了初等矩陣接，是因為兩個矩陣之間相差了初等矩陣矩陣的初等行變換可以解決什么問題呢？矩陣的初等行變換可以解決什么問題呢？初等行變換的應用初

9、等行變換的應用求逆矩陣求逆矩陣首頁首頁上頁上頁下頁下頁回顧：回顧：,abbaia b 滿足的兩個矩陣互為逆矩陣ba 1其中a a i 1因此有：因此有：假設假設ttp ppp 121,都是初等矩陣，根據(jù)初等行變換的原理都是初等矩陣，根據(jù)初等行變換的原理ap1p2tp 1tpi a 1結(jié)論：結(jié)論：初等行變換中省略的初等初等行變換中省略的初等矩陣的乘積就是逆矩陣矩陣的乘積就是逆矩陣用初等行變換法求逆矩陣用初等行變換法求逆矩陣解：解：首頁首頁上頁上頁下頁下頁 a ii a 1初初等等行行變變換換例例1（續(xù)）：用初等行變換求矩陣（續(xù)）：用初等行變換求矩陣a 020100301的逆的逆初等行變換法（軟件顯示）初等行變換法（軟件顯示）檢驗：檢驗： 1001000101010001002301001001 0101002031練習練習練習練習 用初等行變化求矩陣用初等行變化求矩陣首頁首頁上頁上頁下頁下頁a 012114210的逆的逆答案：答案： 012 1 0 01 0 0 211114 0 1 00 1 0 42121 0 0 0 10 0 131122初 等 行 變 換a