數字波束形成遞推最小二乘算法研究+源代碼

1、數字波束形成遞推最小二乘算法研究摘要：數字波束形成(DBF)是一門新興的陣列天線技術，自適應波束形成(ADBF)針對復雜信號環(huán)境對波束形成的一個很好的補充。自適應技術的核心思想是優(yōu)化理論，常用的最佳準則有最小均方誤差(MMSE)，最大信噪比(MaxSNR)，線性約束最小方差(LCMv)，最大似然(ML)，最小二乘法(LS)等；本問主要對遞推最小二乘算法(RLS)進行了包括了流程設計、性能分析和仿真評價。關鍵字：DBF、ADBF、RLS、一 數字波束形成簡介數字波束形成 (DBF)1是隨著數字信號處理方法的發(fā)展而建立起來的一門新 技術，這種技術不僅能充分保留陣列天線上收集的信息，而且能利用復雜的

2、數字 信號信號處理方法對信息進行處理，因此它具有一般雷達不具有的超低分辨率和 低副瓣的性能，波束掃描，自適應波束控制等。由于采用了先進的數字信號處理 方法和自適應技術，DBF雷達不僅性能優(yōu)越，而且非常靈活，被認為是下代雷達 系統(tǒng)中廣泛使用的一項新技術。相對于一般模擬波束形成技術，數字波束形成技術具有非常多的優(yōu)點，比如 超低分辨率，超低副瓣，抗電子干擾，掃描迅速，多目標處理，高性能并行數字 處理等。自適應波束形成(ADBF)針對復雜信號環(huán)境對波束形成的一個很好的補充。 它的核心思想是采用各種優(yōu)化算法和自適應算法，根據陣列對不同環(huán)境的響應， 產生不同的加權系數，己取得最好的信號特征。自適應波束形成

3、可以實現自適應 的空一時處理，進行各種非線性處等，波束靈活，抗干擾強，具有較好的自校正和 自適應能力。陣列信號處理是現代信號處理2的一個分支，其本質是利用空間分散排列的傳 感器陣列和多通道接收機來獲取信號的時域和空域等多維信息，以達到檢測信號 和提取其參數的目的。陣列信號處理的主要內容可分為波束形成技術，空間譜估計等方面技術，他們都是基于對信號進行空間采樣的的數據進行處理，因此這些技術是相互滲透和相互關聯的。二 數字波束形成原理和典型波束形成準則2.1 數字波束形成原理假設接收天線為N陣元均勻直線陣3，目標的來波方向為，第k個波束指向為k，相鄰陣元間距為d，信號波長為，且各陣元都是各向同性的，

4、對K陣元的加權分別為w1k，w2k,wNK，信號是窄帶信號。簡單地講，數字多波束形成器就是一個乘加器，如圖2-1所示。i表示第i陣的接收信號經過A/D變換和數字正交后的復數字信號。加權系數wik=aiexp(-jk)，其中k=2dsink表示提供的陣內相位補償值，ai表示降低天線副瓣所需的幅度加權。進行相位和幅度補償后，并對各陣列的輸出信號相加，即可得：Fk=i=0N-1wikxi (2-1)對式(2-1)進行求模，就可以得到第K個波束的天線方向圖函數。天線的方向圖不是唯一的，根據要求，相同的數據可以用不同方法加權(改變權因子)，以便形成不同形式的波束和任意多的波束。通過數字波束合成后輸出的信

5、號(如信號確實投射在該波束內)可以大幅度的提高信號的SNR。最后得到的復輸出信號再直接送入后續(xù)處理單元。圖2-1 自適應數字波束形成原理圖表示成矩陣形式如下：Fk=wkTXk(其中wk為權矢量，Xk為數據矢量，T表示轉置，它們都為列矢量。2.2 自適應數字波束形成的原理DBF技術是當代雷達的熱點技術之一，對于陣列信號處理來說，它往往和自 適應技術相互聯系。因為面對非常復雜的環(huán)境時候，惡化的工作環(huán)境將會使不具 備自我適應，自我調整能力的DBF雷達的性能急劇下降。因此，為了提高DBF系 統(tǒng)的抗干擾能力，必須求助于自適應數字波束形成(ADBF)技術，自適應陣列是實現ADBF的基礎。自適應陣列的結構框

6、圖如圖2-1示。從圖中可以看出自適應陣列是由按一定空間排列的多個陣單元構成，是一種在實際環(huán)境下自行控制其方向圖的天線系統(tǒng)。它能實時地對外界未知的干擾環(huán)境作出反應，在干擾的到達方向形成零點或降低此方向的副瓣電平，這樣便可以保證 接收所需信號與干擾噪聲的信噪比有一個最佳值。自適應陣列正是利用這種空間 特性，改善了陣列輸出SNR，抑制了強干擾。自適應技術的核心思想是優(yōu)化理論4，我們熟悉的優(yōu)化理論有拉格朗日求極值函數的變分法，最陡下降法，最小二乘法等。 目前常用的最佳準則有最小均方誤差(MMSE)，最大信噪比(MaxSNR)，線性約束最小方差(LCMv)，最大似然(ML)，最小二乘法(LS)等，下面簡

7、單介紹幾種較常使用的準則。2.3 最小均方誤差準則(MMSE)最小均方誤差準則就是使陣列輸出Fk=wkTXk(K代表K時刻)與參考信號d(k)的均方誤差最小，均方誤差為：E2k=Edk2-2wrTr+WkTRWk (2-2)其中r=E(d(k)Xk),R=E(XXH),一般地將R稱為互相關矩陣5。將式（2-4）對于權向量求梯度，得到梯度算子：WE2k=-2r+2RWk 令梯度算子為零，得到最小均方誤差準則下的最佳權向量：woptR-1r2.4 最大信噪比原則（MaxSNR）最大信噪比原則是基于期望信號的功率與噪聲功率之比的最大的準則，假設期望信號為S，且Rt=E（ssH），RW=E(uuH),

8、其中u表示噪聲，則有：s2=EWHs2=WHRsW u2=EWHu2=WHRuW這時，輸出的信噪比SNR為：SNR=s2u2=WHRsWWHRuW經計算，使得輸出信噪比最大的最佳權向量是對應于矩陣Ru-1Rs的最大特征值的特征值的特征向量，得到的最佳權系數滿足：Ru-1RsWopt=maxWopt2.5 線性約束最小方差準則（LCMV）在已知期待信號的來波方向和參考信號的條件下，最小方差準則是通過最小化陣列輸出的噪聲方差，來取得對信號S的較好的增益。經權重后的波束形成器的輸出為:yt=WTXt=WTs+WTu 為保證波束形成對信號S增益，必須對波束形成器的權向量加以限制，使其在信號S的方向產生

9、一定的增益，即：WHa=g其中，a為期望信號的方向矢量，則最佳權重可以表示為：Wopt=gRu-1aaHRu-1a三 遞推最小二乘算法（RLS）3.1 自適應算法簡介自適應算法所采用的最優(yōu)準則有最小均方誤差(LMS)準則6，最小二乘(LS)準則、最大信嗓比準則和統(tǒng)計檢測準則等，其中最小均方誤差(LMS)準則和遞推最小二乘法(LS)準則是目前最為流行的自適應算法準則。LMS算法和RLS算法由于采用的最優(yōu)準則不同，因此這兩種算法在性能，復雜度等方面均有許多差別。對于某個自適應算法，衡量其算法性能的指標主要為以下幾個：（1）算法的收斂速度。用算法達到穩(wěn)定狀態(tài) (即與最優(yōu)值的接近程度達到一定值) 需要

10、迭代的次數表示。（2）算法的跟蹤性能。它指信道發(fā)生變化時，算法自適應跟蹤信道的能力。（3）算法的穩(wěn)健性。只當輸入病態(tài)的情況下算法能否正常工作。（4）算法計算的復雜程度。自適應波束形成算法可有多種分類方式，一般的分類方法根據算法是否需要顯式的訓練序列，可分為非盲算法和盲算法兩類，另外，根據權值作用于陣元或波束，還可分為陣元空間和波束空間兩類。盲算法一般利用調制信號本身固有的、與具體承載的信息比特無關的一些特征，如恒模 、子空間、有限符號集和高階統(tǒng)計量等。與非盲算法相比，它無需發(fā)送已知符號，故可節(jié)省系統(tǒng)頻譜資源。其缺點是一般收斂速度較慢，且存在相位模糊問題。非盲算法相對盲算法而言，通常誤差較小，收

11、斂速度也較快，但需要占用一定的系統(tǒng)資源用于傳送參考信號、訓練序列等。即使非盲算法收斂速度快，但仍然跟不上快衰落變化的速率要求。對于通信而言，算法的收斂速度是很重要的一個性質。所以本文主要介紹非盲算法中的RLS算法。非盲算法主要包括最小均方誤差算法LMS、采樣矩陣求逆法SMI和迭代最小二乘算法RLS。LMS 算法由于其收斂速度很慢，因此在信號環(huán)境變化很快時其性能不是很好，且算法性能對陣列信號協方差矩陣的特征值散布度很敏感，當散布度很大時，很難收斂。 SMI算法收斂速度比LMS快，但是算法復雜了不少，而且在硬件實現中的有限字長效應會給求逆運算帶來數值上的不穩(wěn)定。RLS算法是基于使每一快拍的陣列輸出

12、平方和最小的準則，即最小二乘（LS）準則。它利用了從算法初始化后得到的所有陣列數據信息，用遞推方法來完成矩陣的求逆運算，因而收斂速度快，對特征值的散布度不敏感，且能實現收斂速度與計算復雜性之間的折衷。一般在大信噪比的情況下，RLS 比LMS的收斂速度快一個數量級。3.2遞推最小二乘算法(RLS)RLS算法是SMI算法的迭代過程，該算法的性能準則是使參考信號和陣列輸出信號之間的加權均方誤差最小。與LMS不同的是，RLS算法的性能量度準則是使信號的加權平方誤差和最小化。RLS算法在權值迭代調整過程中用一個與信號相關的附加矩陣代替LMS算法中的步長，從而提高了收斂速度。RLS算法的權向量迭代式為：

13、（3-17） （3-18）其中表示參考信號，為迭代過程中的過渡矩陣，其中稱為遺忘因子()。引入遺忘因子的作用是讓離n時刻較近的誤差有較大的權重，距離較遠的擁有降低的權重，確保以前觀測到的數據被漸漸“遺忘”，從而使濾波器工作在一個平穩(wěn)狀態(tài)下。下面是算法推導：設：則：令：則：其中 為增益向量，又： 所以式中：先驗誤差3.3 總結RLS算法的步驟1、初始化：w(0)=0, R(0)=I,2、更新：對于n=1、2計算：希望相關矩陣初始值R(0)在R(n)中占很小的比重，因此設R(0)=I。一般取0.001。對RLS算法的總體評價：1、RLS算法對非平穩(wěn)信號的適應性好。2、RLS算法收斂速度快，估計精度

14、高穩(wěn)定性好。3、遺忘因子越大，越不易遺忘，效果越好。4、RLS算法計算復雜度高，不利于實時性處理。四 遞推最小二乘法(RLS)仿真結果及分析仿真實驗使用的是的Matlab軟件，MATLAB是由美國Math Works公司推出的用于數值計算和圖形處理的科學計算系統(tǒng)環(huán)境。MATLAB是英文MATrix LABoratory(矩陣實驗室)的縮寫，它集中了日常數學處理中的各種功能，包括高效的數值計算、矩陣運算、信號處理和圖形生成功能。MATLAB是一個功能強大的系統(tǒng)，它集數值計算、矩陣運算、信號處理和圖形生成功能為一體，另外，MATLAB還具有很強的功能擴展能力，可以配置各種各樣的工具箱，以完成一些特

15、定的任務，同時，用戶還可以根據自己的工作任務，開發(fā)自己的工具箱。在MATLAB環(huán)境下，可以集成地進行程序設計、數值計算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項操作。4.1 遞推最小二乘法(RLS)算法性能仿真分析圖4.1 圖4.2圖4.1和圖4.2所示為RLS在不同的遺忘因子取值下的收斂速度曲線。圖4.1為=0.4時的收斂速度，圖4.2所示的是=0.98時的收斂速度。從曲線中可以看出遺忘因子的取值越大，收斂速度越慢。圖 4.3圖 4.4圖4.3和圖4.4所示為RLS在不同的遺忘因子取值下誤差的估計值。圖4.3為=0.4時的誤差估計值，圖4.4所示的是=0.98時的誤差估計值。圖片顯示遺忘因子越大，

16、誤差越大，穩(wěn)定性越差。如果遺忘因子很小，則信號對期望信號的依賴性就會很大，所以，輸出信號就很接近期望信號，這就導致了如果期望信號是錯誤的，那么輸出信號也是錯誤的。所以綜合考慮，遺忘因子應該取在0.95和0995之間。4.2 遞推最小二乘法(RLS)應用于數字波束形成的仿真分析按照給定要求，天線陣元數16個，輻射源5個，在遺傳因子為0.95，預設有用信號角度為30度，干擾信號角度分別為-80，0，60，80.預子圖誤差的對比101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

17、010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010首先是單次運算均方誤差和100次均方誤差的仿真對比圖圖 4.4由圖4.4可見，在單次和100次運算下的均方誤差相差不大。圖 4.5由圖4.5可見，該算法生成的方向圖滿足要求，在覆蓋180度的方位面內，產生了一個波束，波束指向為30度，為有用信號角度；同時對干擾方向-80，0 ，60，80都有一

18、定程度的置零；另外對雜波信號進行了壓制，主瓣波束變窄。圖 4.6圖4.6表示的是輸入輸出信號的對比圖，可以見到通過該算法有效的還原了有用信號，并且對噪聲和干擾信號都有了較好的抑制。五 總結自適應數字波束形成算法在陣列天線技術中起著至關重要的做用，本文通過先介紹了數字波束形成簡介及其原理，后比較了幾個常用的數字波束形成準則，然后引入了遞推最小二乘算法(RLS)，對其進行算法描述和推導，最后對算法性能和應用于算法的性能進行了仿真分析。六 參考文獻 1吳偉陵.移動通信中的關鍵技術M.北京郵電大學出版社，2000:256-268.2石新智,王高峰.修正MUSCI算法對非線性陣列適用性的討論.電子學報J

19、,2004,32(1) :15-18.3龔耀寰編著.自適應濾波時域自適應濾波和智能天線M.北京電子工業(yè)出版社，2003:217-307.4劉君,廖桂生.信源數目過估計和欠估計下MUSIC算法分析J.2004,26(2)：123-137.5 Harry LVan Trees.Optimum array processing.Publication by John Wiley and sons LtdM.2002:710-916.6S Bellofiore,J F Balanis.Smart-Antenna Systems for mobile Comm Networks Park Beamfor

20、ming andNetwork Throughput. IEEE antennas and Propagation MagazineJ.2002,44(4):106-114. 附錄1算法性能測試代碼：M=15;%均衡濾波器階數為2*M+1Lb=10;%信道b長度為L+1%Lb=2;%信道c長度為L+1%hb=0.4070.8150.407;%離散時間信道chb=0.04-0.050.07-0.210.500.720.360.000.210.030.07;%離散時間信道bHb=zeros(2*M+1,2*M+Lb+1);fork=1:2*M+1;%信道b的信道矩陣 Hb(k,k:1:k+Lb)=

21、hb;end%產生伯努利序列和加性白噪聲，構建均衡濾波器的輸入數據矩陣sigma=1e-3;%加性白高斯噪聲的方差N=2000;%迭代次數s=randsrc(2*M+Lb+N,1);%伯努利序列vn=sqrt(sigma)*randsrc(2*M+Lb+N,1);S=zeros(2*M+Lb+1,N);%發(fā)射信號矩陣SV=zeros(2*M+1,N);%加性白高斯噪聲矩陣Vfork=1:NS(:,k)=s(2*M+Lb+k:-1:k);V(:,k)=vn(2*M+k:-1:k);endUb=Hb*S+V;%均衡濾波器輸入數據矩陣Ub%RLS迭代算法dn=S(M+Lb+1,:);%期望信號lam

22、bda=0.990;%RLS遺忘因子delta=0.004;%RLS調整參數wb_RLS=zeros(2*M+1,N+1);wb_RLS(M+1,1)=1;%權向量初始值epsilon=zeros(N,1);%先驗估計誤差P1=eye(2*M+1)/delta;%相關矩陣逆的初始值fork=1:N%RLS算法迭代過程 PIn=P1*Ub(:,k);deno=lambda+Ub(:,k)*PInkn=PIn/deno;epsilon(k)=dn(k)-wb_RLS(:,k)*Ub(:,k);wb_RLS(:,k+1)=wb_RLS(:,k)+kn*conj(epsilon(k);P1=P1/la

23、mbda-kn*Ub(:,k)*P1/lambda;endMSEB_RLS=abs(epsilon).2;%單次實驗均方誤差MSEB_RLSn=1:2000;plot(n,MSEB_RLS)title(RLS算法學習曲線)xlabel(迭代次數n)ylabel(MSEB_RLS)axis(020001e-31e+2);附錄2波束形成算法代碼：Clc,clear all,close all;M=16;%陣元數%d=bochang/2;%陣元間距為信號波長的一半N=1000;%快拍數theta_signal=30;%有用信號的方向theta_interfere1=0;%干擾信號1的方向theta_

24、interfere2=80;%干擾信號2的方向theta_interfere3=-80;%干擾信號3的方向theta_interfere4=60;%干擾信號4的方向snr=10;%所有信號的信噪比均為此值linear_snr=10(snr/10);%線性信噪比值t=1:N; f0=2e7;%參考信號的頻率s0=5*cos(2*pi*f0*t/(N*f0);%目標信號for i=1:M fai0(i,1)=exp(j*(i-1)*pi*sin(pi*theta_signal/180);%有用信號的相位 fai1(i,1)=exp(j*(i-1)*pi*sin(pi*theta_interfere

25、1/180);%干擾信號1的相位 fai2(i,1)=exp(j*(i-1)*pi*sin(pi*theta_interfere2/180);%干擾信號2的相位 fai3(i,1)=exp(j*(i-1)*pi*sin(pi*theta_interfere3/180);%干擾信號3的相位 fai4(i,1)=exp(j*(i-1)*pi*sin(pi*theta_interfere4/180);%干擾信號2的相位endpower=0;for t=1:N power=power+s0(t)2;endpower_signal=power/N;%有用信號功率power_noise=power_sig

26、nal/linear_snr;%噪聲功率power_interfere1=power_noise*linear_snr;%干擾信號1的功率power_interfere2=power_noise*linear_snr;%干擾信號2的功率power_interfere3=power_noise*linear_snr;%干擾信號2的功率power_interfere4=power_noise*linear_snr;%干擾信號2的功率s1=normrnd(0,sqrt(power_interfere1/2),1,N)+j*normrnd(0,sqrt(power_interfere1/2),1,N)

27、;%干擾信號1的隨機包絡s2=normrnd(0,sqrt(power_interfere2/2),1,N)+j*normrnd(0,sqrt(power_interfere2/2),1,N);%干擾信號2的隨機包絡s3=normrnd(0,sqrt(power_interfere3/2),1,N)+j*normrnd(0,sqrt(power_interfere3/2),1,N);%干擾信號3的隨機包絡s4=normrnd(0,sqrt(power_interfere4/2),1,N)+j*normrnd(0,sqrt(power_interfere4/2),1,N);%干擾信號4的隨機包絡X0=; noise=tco_wgn(M,N,0.2,2);for t=1:N x=s0(t)*fai0+s1(t)*fai1+s2(t)*fai2+s3(t)*fai3+s4(t)*fai4+noise(:,t); %陣列對信號的完整響應,x為M*1 X0=X0;x;%X0為N*Mend%*RLS算法*%w=zeros(M,1);%權矢量初始化lamda=1;%遺忘因子lamdadelta=10;c=delta*eye(M,M);%接收信號樣本自相關矩陣的逆矩陣初始化pingjunzhi=zeros(1,N); mse1=;f