啟杰教育高中數(shù)學三角函數(shù)專題

1、啟杰教育三角函數(shù)專題啟杰教育三角函數(shù)專題一、三角函數(shù)的概念一、三角函數(shù)的概念(1) 角的概念：終邊相同角的集合：所有與終邊相同的角,連同在內(nèi),可構成集合或0|360,kkz |2,kkz (2) 象限角：第一象限角的集合|22,2xkxkkz第二象限角的集合|22,2xkxkkz第三象限角的集合|22,2xkxkkz第四象限角的集合|22,2xkxkkz(3) 角度、弧度的換算關系：（1）,3602 rad1180rad1801rad（4）扇形的弧長、面積公式：設扇形的弧長為 ,圓心角為,半徑為,則,扇形的面積l()radrlr 21122slrr(5)、三角函數(shù)定義： 若是角終邊上任意異于的

2、一點,為坐標原點,則,p x yoooprsin,cos,tan,cotyxyxrrxy(6)、三角函數(shù)在各象限的符號規(guī)律：口訣口訣“一全正一全正, 二正弦二正弦,三正切三正切,四余弦四余弦. （）sincostancot二、同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式二、同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式1、同角三角函數(shù)的基本關系式（1）倒數(shù)關系： ，tancot1cos1sec ， sin1costan1cot（2）商的關系： （3）平方關系：sincostan,cot.cossin22sin1cos2、誘導公式函數(shù)+xsin xcosxtan xcot xsincostancot2cossincott

3、ansincostancot32cossincottan2sincostancot 例例 1已知_cot051cossin），則，（，解：解： ），（，051cossin 兩邊同時平方，有聯(lián)立，與51cossin02512cossin 求出，53cos54sin43cot例例 2若，則=（ ）316sin232cosa b c d97313197解解：=232cos)23(cos=1+2=.故選 a.)23cos()6(sin297例例 3已知.51cossin, 02xxx （1）求 sinxcos x 的值； （2）求的值.xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322

4、解法一解法一：（1）由,251coscossin2sin,51cossin22xxxxxx平方得 即 .2549cossin21)cos(sin.2524cossin22xxxxxx 又 故 , 0cossin, 0cos, 0sin, 02xxxxx.57cossinxx （2）xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin2sin3222 125108)512()2512()sincos2(cossinxxxx 解法二解法二：（1）聯(lián)立方程. 1cossin,51cossin22xxx 由得將其代入，整理得,cos51sinxx, 0

5、12cos5cos252xx 故 .54cos,53sin, 02.54cos53cosxxxxx或.57cossinxx （2）xxxxxxcottan2cos2cos2sin2sin322xxxxxxsincoscossin1sin2sin22125108)53542(54)53()sincos2(cossinxxxx三、兩角和與差的三角函數(shù)三、兩角和與差的三角函數(shù)1、兩角和與差的三角函數(shù)公式：,。sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantan2,二倍角公式 ；22tansin22sincos1tan；2222221tancos2c

6、ossin2cos11 2sin1tan 22tantan21tan注意：熟悉以下公式變形（1）（2）tantantan1tantan221 cos21cos2sin;cos22（3） （4）221cos2cos,1 cos2sin2221 sinsincos22 例例 11 在abc 中，2sina+cosb=2，sinb+2cosa=，則c 的大小應為( )3abc或d或63665332解解：a 例例 22 abc 中，已知 cosa=，sinb=，則 cosc 的值為（ ）13553 a. b. c.或 d.65166556651665566516解解：a 例例 33 已知是第三象限的角

7、，若等于（ ）sincossin44592，則a. b. c. d. 2 232 234323解解：選 a.解析：解析：sincos44 (sincos)sincos222222 1122592sin sin2289 2232422432022 23kkkkkz（）sinsin四、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)四、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)函數(shù)sinyxcosyxtanyx圖象o322yoo232定義域rr|,2x xkkzyx22x32xy2值域 1,1 1,1r奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)有界性sin1x cos1x 無界函數(shù)最小正周期222,222()32,222()kkkzkkkz增區(qū)間減區(qū)間2,2()2

8、,2()kkkzkkkz增區(qū)間減區(qū)間,22()kkkz增區(qū)間對稱軸()2xkkz()xkkz無對稱軸對稱中心,0kkz,02kkz,02kkzmaxmin221;221xkkzyxkkzy 時，時， maxmin21;211xkkzyxkkzy 時，時， (0,0)a函數(shù)sinyaxcosyaxtanyax定義域rr22|,2kx xkz值域,a a,a ar奇偶性時是奇函數(shù),kkz時是偶2kkz函數(shù)。時是2kkz奇函數(shù),時kkz是偶函數(shù)。時是奇函數(shù)kkz有界性sinaxacosaxa無界函數(shù)無最值最值單調(diào)區(qū)間最小正周期224242,22()42432,()22kkkzkkkz增區(qū)間減區(qū)間22

9、,()22,kkkzkkkz增區(qū)間減區(qū)間2222,22()kkkz增區(qū)間對稱軸22()2kxkz()kxkz無對稱軸對稱中心,0kkz22,02kkz2,02kkzmaxmin422;422kxkzyakxkza 時，時，ymaxmin2;(2)kxkzyakxkza 時，時，y 注：（1）注意會解三角函數(shù)在區(qū)間上的值域（或范圍）如：求上的取值范圍。sin,0,42（2）注意求單調(diào)區(qū)間時的整體意識。如：求的單調(diào)增區(qū)間,在上的單調(diào)增區(qū)間。sin 26yx0,2而求單調(diào)增區(qū)間時,先化成的形式,再求的單調(diào)遞減sin26yxsin 26yx sin 26yx區(qū)間。（3）求對稱軸、對稱中心時,注意整體意

10、識,同時在對稱軸處取最值。sincosyxyx、五、圖象變換：五、圖象變換：函數(shù)的圖象可由的圖象做如下變換得到sin0,0yaxasinyx1、先相位變換 周期變換 振幅變換 ：把圖象上所有的點向左（） 或向右（）sinyxsinyxsinyx00平移個單位。 ：把圖象上各點的橫坐標伸長（）或縮sinyxsinyx01無最值最值單調(diào)區(qū)間短（）到原來的 倍,縱坐標不變。11 ：把圖象上各點的縱坐標伸長（）或縮短sinyaxsinyx1a （）到原來的 a 倍,橫坐標不變。01a2、先周期變換 相位變換 振幅變換：把圖象上各點的橫坐標伸長（）或縮短（sinyxsinyxsinyx01）到原來的 倍

11、,縱坐標不變。11：把圖象上所有的點向左（）或向右（）平移sinyxsinyx00個單位. ：把圖象上各點的縱坐標伸長（）或縮短（sinyaxsinyx1a ）到原來的 a 倍,橫坐標不變。01a3、 注意：（1）要會畫在一個周期的圖象：（用“五點法”作sinyax)sin(xay圖時，將看作整體，取，來求相應的值及對應的值，再描)0, 0(ax2, 02 ,23,xy點作圖). 例例 11 為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（ ）62sinxyxy2cos a 向右平移 b 向右平移 c 向左平移 d 向左平移6363解解：b 例例 2 2函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是 ( ), 0)(26sin(

12、2xxya. b. c. d. 3, 0127,1265,3,65解解： c 例例 33函數(shù)的最大值為_.f xxxx( )sin coscos342解解：f xxxx( )sincossin()32241225222 當時，取最大值sin()( )2152212xf x 例例 44 函數(shù)的部分圖像是（ ）yxx cos y y y y o o x o x x o x a b c d 解：解：選 d.提示：提示：顯然caxxy、為奇函數(shù)，故排除cos bdyxxyxx選，故棄時，縱坐標且即當橫坐標，判斷出相應的且令000000 例例 55 當223xyxx時，函數(shù)的（）sincos a. 最大

13、值為 1，最小值為-1 b. 最大值為 1，最小值為12 c. 最大值為 2，最小值為 d. 最大值為 2，最小值為21解解：選 d解析：解析：，而yxxxsincossin()32322x xx36563121，故，sin() yymaxmin21，高考試卷數(shù)學三角試題匯集高考試卷數(shù)學三角試題匯集選擇題選擇題1.（北京卷）（北京卷）對任意的銳角 ，下列不等關系中正確的是 （a）sin(+)sin+sin （b）sin(+)cos+cos （c）cos(+)sinsin （d）cos(+)coscos2.（北京卷）（北京卷）函數(shù) f(x)= 1 cos2cosxx（a）在上遞增，在上遞減0,)

14、,(, 2233 ,),(,2 22 （b）在上遞增，在上遞減30,), ,)223(, ,(,2 22 （c）在上遞增，在上遞減3(, ,(,2 2230,), ,)22 （d）在上遞增，在上遞減33 ,),(,2 220,),(, 223.（全國卷（全國卷）當時，函數(shù)的最小值為 20 xxxxxf2sinsin82cos1)(2（a）2（b）（c）4（d）32344.（全國卷（全國卷）在中，已知，給出以下四個論斷： abccbasin2tan 1cottanba2sinsin0ba1cossin22ba 其中正確的是cba222sincoscos（a）（b）（c）（d）5.（全國卷（全國卷

15、）函數(shù) f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是 (a) (b) （c） （d）2426.（全國卷（全國卷）已知函數(shù) y =tan 在（-，）內(nèi)是減函數(shù)，則 x22（a）0 1 （b）-1 0 （c） 1 （d） -17（全國卷（全國卷）已知為第三象限角，則所在的象限是 2 （a）第一或第二象限（b）第二或第三象限（c）第一或第三象限（d）第二或第四象限8.（全國卷（全國卷）設,且,則 02x1 sin2sincosxxx(a) (b) (c) (d) 0 x744x544x322x9.（全國卷（全國卷） 22sin2cos1 cos2cos2(a) (b) (c) 1

16、(d)tantan21210.(浙江卷浙江卷)已知 k4，則函數(shù) ycos2xk(cosx1)的最小值是( )(a) 1 (b) 1 (c) 2k1 (d) 2k111(浙江卷浙江卷)函數(shù) ysin(2x)的最小正周期是( )6(a) (b) (c) 2 (d)4212 （江西卷）（江西卷）已知（ ）cos, 32tan則abcd54541545313.（江西卷）（江西卷）設函數(shù)為（ ）)(|,3sin|3sin)(xfxxxf則a周期函數(shù)，最小正周期為b周期函數(shù)，最小正周期為323c周期函數(shù)，數(shù)小正周期為d非周期函數(shù)214.（江西卷）（江西卷）在oab 中，o 為坐標原點，則當oab 的面積

17、達最2, 0(),1 ,(sin),cos, 1 (ba大值時，（ ）abcd643215、 （江蘇卷）（江蘇卷）若，則=（ ）316sin232cosa b c d9731319716 （湖北卷）（湖北卷）若（ ）則),20(tancossinabcd)6, 0()4,6()3,4()2,3(17 （湖南卷）（湖南卷）tan600的值是（ ）abcd33333318 （重慶卷）（重慶卷）（ ）)12sin12)(cos12sin12(cosa b c d2321212319 （福建卷）（福建卷）函數(shù)的部分圖象如圖，)20 , 0,)(sin(rxxy則（ ）ab4,26,3cd4,445,4

18、20 （福建卷）（福建卷）函數(shù)在下列哪個區(qū)間上是減函數(shù)（ ）xy2cosa b c d4,443,42, 0,221.（山東卷）（山東卷）已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ） )12cos()12sin(xxy （a）此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是2)0 ,12( （b）此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是)0 ,12( （c）此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是2)0 ,6( （d）此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是)0 ,6(22（山東卷）（山東卷）函數(shù)，若，則的所有可能值為（ ）0,01),sin()(12xexxxfx2)() 1 (affa （a

19、）1 （b） （c） （d）22, 12222, 1 23.（天津卷）（天津卷）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點的（ xycos2)42sin(2xy）(a)橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）,再向左平行移動個單位長度218(b)橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變） ，再向右平行移動個單位長度214(c)橫坐標伸長到原來的 2 倍（縱坐標不變） ，再向左平行移動個單位長度4(d)橫坐標伸長到原來的 2 倍（縱坐標不變） ，再向右平行移動個單位長度824（天津卷）（天津卷）函數(shù)),2, 0)(sin(rxxay的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為（ ）（a） （b）)48sin(4xy)

20、48sin(4xy（c） （d）)48sin(4xy)48sin(4xy填空題：填空題：1.（北京卷）（北京卷）已知 tan =2，則 tan 的值為，tan的值為 234()42.（全國卷（全國卷）設 a 為第四象限的角，若 ，則 tan 2a =_.513sin3sinaa3.（上海卷）（上海卷）函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則2 , 0|,sin|2sin)(xxxxfky 的取值范圍是_。k4.（上海卷）（上海卷）函數(shù)的最小正周期 t=_xxxycossin2cos5.（上海卷）（上海卷）若，則=_。71cos2, 03cos6.（湖北卷）（湖北卷）函數(shù)的最小正周期與最大值的和為 .1cos|sin|xxy7.（湖南卷）（湖南卷）設函數(shù) f (x)的圖象與直線 x =a，x =b 及 x 軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù) f(x)在a，b上的面積，已知函數(shù) ysinnx 在0