因素方法課件

1、因素方法第二節(jié) 單因素方法)()()(*11xfbfaf一 斐波那契法（一）原理：設(shè) 為定義在a,b上的下單峰函數(shù)，存在x*使對(duì)任意a11/,查表確定試點(diǎn)個(gè)數(shù)n。 （2）選取前兩個(gè)試點(diǎn)的位置00101001000201 abFFaxbaFFbabFFaxnnnnnn因素方法它們?cè)趨^(qū)間的位置是對(duì)稱(chēng)的。（3）計(jì)算函數(shù)值 和 ,并比較它們的大小。11121212110111,),()(baFFbxxxxbaaxfxfnn并令則取若)(1xf)(1xf因素方法111212120111,abFFaxxxbbxann并令否則取（4）計(jì)算 或 ,如（3）步迭代。計(jì)算試點(diǎn)的一般公式為：)(2xf)(2xf因素

2、方法11111111kkknknkkkkknknkkabFFaxbaFFbx計(jì)算n次函數(shù)值，就可以達(dá)到預(yù)定的壓縮率。因素方法v0 .618法利用斐波那契法壓縮區(qū)間壓縮率依次為：2132121,FFFFFFFFnnnnnn將數(shù)列分為 可證這兩個(gè)數(shù)列收斂于同一極限。122212,kkkkFFFF設(shè)k時(shí)，若 則=。又遞推公式得1 -2k2k212FF kkFF因素方法 1 11 111222221212212kFFFFFFFkkkkkkk又因?yàn)? 11 112121222122kFFFFFFFkkkkkkk將（1）代入（2）中得：因素方法負(fù)解舍去 618. 025101 12 21111122將斐波

3、那契法中每次壓縮的不同的壓縮率都用0.618來(lái)代替，每次壓縮的壓縮率相同，簡(jiǎn)化了求試點(diǎn)的計(jì)算，這種方法稱(chēng)為0.618法。其遞推公式為：)(618. 0)(382. 0)(618. 0111111111kkkkkkkkkkkabaxabababx若給定 ，令 求滿(mǎn)足條件的最小的n。1n因素方法v牛頓法一 原理：構(gòu)造函數(shù)逼近于已知函數(shù)，其最優(yōu)解也逼近于所求函數(shù)的最優(yōu)解。設(shè)y=f(x)在a,b區(qū)間是下單峰函數(shù) ，在點(diǎn) 處 存在。構(gòu)造函數(shù)kx)(),(),(kkkxfxfxf 21)(21)()()(kkkkkxxxfxxxfxfx 該函數(shù)是二次拋物線(xiàn)函數(shù)，且與f(x)共有一點(diǎn)可逼近于f(x)，以 的

4、極小點(diǎn) 作為f(x)的極小點(diǎn)的近似 值。現(xiàn)求 的極小點(diǎn) ，有)(,(kkxfx)(1x1kx)(1x kkkkkkkxfxfxxxxxfxfx 10因素方法如果這個(gè)近似值不到預(yù)先給定的精確度，就在 點(diǎn)構(gòu)造函數(shù) 并求極小點(diǎn)，這樣繼續(xù)下去，逐步逼近f（x）的極小點(diǎn)，直到到達(dá)給定精確度為止。二 牛頓法運(yùn)算步驟：（1） 已知給定精確度0。任取 若 則 為 的近似解即是f(x)的最優(yōu)解。（2） 若 則算出若 則停止， 為 的近似解即是f(x)的最優(yōu)解。1kx2111112)(21)()()( kkkkkxxxfxxxfxfx)(00bxax0 xf0 x00 xf0 xf0001xfxfxx 1xf1x

5、 01 xf因素方法（3）一般地，若迭代至 點(diǎn)，已知 時(shí) 為近似解，若 令迭代直到滿(mǎn)足精確度為止。 kxfkxkxkxfkkkkxfxfxx 1例1 求函數(shù) 在區(qū)間3，4上的最小值,精度 = 0.05。解：任取 故 即是近似最優(yōu)解。8723241)(234xxxxxf 68. 32894,94 ,00010 xfxfxxfx令63. 391.2103. 168. 3 ,68. 31112 xfxfxxf再令 0.042 63. 3 f63. 3 2x因素方法v拋物線(xiàn)法：一 原理：利用構(gòu)造擬合（逼近）函數(shù)的方法，與牛頓法原理相同，但方法不同。 設(shè)函數(shù)f(x)的三點(diǎn)x1 x2 x3，函數(shù)值(或試驗(yàn)

6、結(jié)果)分別為y1,y2, y3。利用(x1,y1)、(x2,y2) 、(x3,y3)擬合一條拋物線(xiàn), 2210 xaxaax使得：滿(mǎn)足條件的函數(shù)為：(x)= 332211),(,xfxxfxxfx323132121232321312132)xx)(xx()xx)(xx()xx)(xx()xx)(xx()xx)(xx()xx)(xx(yyy因素方法(x)與f(x)擬合（共用三點(diǎn)）求(x)的最小值點(diǎn)，得：)xx()xx()xx()()()(2131323212221321232232210yyyxxyxxyxxyx二 拋物線(xiàn)法的計(jì)算步驟：（1）選三個(gè)點(diǎn)x1x2x3 ,使其函數(shù)值之間關(guān)系為： 構(gòu)造(x),并求其最小值 。驗(yàn)證 是否是f(x)的最優(yōu)解。（2）若3221 , )(xfxfxfxf4x4x342xxx因素方法(1) f(x4)f(x2)，則以（x2，x4，x3）為新的三點(diǎn)繼續(xù)迭代。(2) f(x2)f(x4) f(x3),則以（x1，x2，x