隨機(jī)變量的方差和

1、一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)).(,)(.)()()(),()(,)(,)(,xxdxexexxdxxdxxexexexex記為記為為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差稱稱即即或或記為記為的方差的方差為為則稱則稱存在存在若若是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量設(shè)設(shè)22222 1. 方差的定義方差的定義 一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)方差是一個常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量方差是一個常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量x取取值分散程度的量值分散程度的量.如果如果d(x)值大值大, 表示表示x 取取值分散程度大值分散程度大, e(x)的代表性差的代表性差;而如果而如果d(x) 值小值小

2、, 則表示則表示x 的取值比較集中的取值比較集中,以以e(x)作為隨機(jī)變量的代表性好作為隨機(jī)變量的代表性好.2. 方差的意義方差的意義離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差 ,)()(12kkkpxexxd 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差2()()( )d ,d xxe xf xx3. 隨機(jī)變量方差的計算隨機(jī)變量方差的計算 (1) 利用定義計算利用定義計算 ( ).f xx其中為 的概率密度., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中xkpxxpkk .)()()(22xexexd (2) 利用公式計算利用公式計算4. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)(1) 設(shè)設(shè) c 是常數(shù)是常數(shù), 則有則

3、有. 0)( cd(2) 設(shè)設(shè) x 是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量, c 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有).()(2xdccxd ).()()(ydxdyxd (3) 設(shè)設(shè) x, y 相互獨立相互獨立, d(x), d(y) 存在存在, 則則推廣推廣).()()()(22221212211nnnnxdaxdaxdaxaxaxad 則則有有相相互互獨獨立立若若,21nxxx即即取常數(shù)取常數(shù)以概率以概率的充要條件是的充要條件是,cx)x(d)(104 . 1 cxp25)()(),()(cxexdxec 則則若若(6)契比雪夫不等式契比雪夫不等式.,)(,)(222成立成立不等式不等式則對于任意正數(shù)則對于

4、任意正數(shù)方差方差具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量定理定理xpxdxex 契比雪夫不等式契比雪夫不等式契比雪夫契比雪夫1. 兩點分布兩點分布 ()e xxp01pp 1已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 x 的分布律為的分布律為則有則有, p p(1)dxpp二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差2. 二項分布二項分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkxpknk . 10 p則有則有 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 x 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 n, p 二項分布二項分布,其分布律為其分布律為(1)exnpdxnpp3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkx

5、pk則有則有()e x且分布律為且分布律為設(shè)設(shè)),(pxdx. 都等于參數(shù)都等于參數(shù)泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差4. 均勻分布均勻分布則有則有()e x).(21ba ., 0,1)(其其它它bxaabxf其概率密度為其概率密度為設(shè)設(shè)),(baux).(21ba 2()12badx5. 指數(shù)分布指數(shù)分布 . 0. 0 x, 0, 0 x,e)x( f,xx 其中其中其概率密度為其概率密度為服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量則有則有1/ .ex21dx6. 正態(tài)分布正態(tài)分布其概率密度為其概率密度為設(shè)設(shè)),(2nx則有則有()e x., 0,21)(222)( xexfx.

6、xexxd21)(222)(2 xxfxxdd)()()(2 得得令令, tx tetxdtd2)(2222 tetettd222222 2202.2 .2 和和分別為兩個參數(shù)分別為兩個參數(shù)正態(tài)分布的期望和方差正態(tài)分布的期望和方差2分布分布參數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差兩點分布兩點分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布幾何分布幾何分布10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2ba 12)(2ab 0 /12/1 0, 210 pp/12/ )1 (pp分布分布參數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差gamma分布分布0, /2/

7、 ).(.,)(xdxxxxxpx求求其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 0101011解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxxe, 0 三、例題講解三、例題講解例例 1020122d)1(d)1()(xxxxxxxe,61 于是于是22)()()(xexexd 2061 .61 )(.,),(,kkkxekkxkxex 記記為為簡簡稱稱的的稱稱它它為為存存在在若若是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)階階矩矩階階原原點點矩矩21kkkxexekxkxexe)(.,)( 記記為為的的稱稱它它為為存存在在若若階階中中心心矩矩32四、矩的概念四、矩的概念定義定義定義定義.)(,的的數(shù)數(shù)

8、學(xué)學(xué)期期望望就就是是時時當(dāng)當(dāng)顯顯然然xxek 11).(xd 2顯然顯然2. 說明說明 ;,)()(方方差差為為二二階階中中心心矩矩點點矩矩的的一一階階原原是是的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望隨隨機(jī)機(jī)變變量量xxex2.; )(表表示示階階中中心心矩矩可可以以互互相相唯唯一一階階原原點點矩矩和和變變量量函函數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望以以上上數(shù)數(shù)字字特特征征都都是是隨隨機(jī)機(jī)kk1.4,)3(階階的的矩矩很很少少使使用用高高于于在在實實際際應(yīng)應(yīng)用用中中.)(3機(jī)變量的分布是否有偏機(jī)變量的分布是否有偏主要用來衡量隨主要用來衡量隨三階中心矩三階中心矩xexe . )( 4近近的的陡陡峭峭程程度度如如何何機(jī)機(jī)變變量量

9、的的分分布布在在均均值值附附主主要要用用來來衡衡量量隨隨四四階階中中心心矩矩xexe 五、小結(jié)五、小結(jié)1. 方差是一個常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量方差是一個常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量x 取值分散程取值分散程度的量度的量. 如果如果d(x)值大值大,表示表示x 取值分散程度大取值分散程度大, e(x) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果d(x)值小值小, 則表示則表示x 的的取值比較集中取值比較集中, 以以e(x) 作為隨機(jī)變量的代表性好作為隨機(jī)變量的代表性好.,)()()(22xexexd 2. 方差的計算公式方差的計算公式,)()(12kkkpxexxd .d)()()(xxpxexxd 23. 方差的性質(zhì)

10、方差的性質(zhì) ).()()(3);()(2; 0)(10200ydxdyxdxdccxdcd22xp .122xp 4. 契比雪夫不等契比雪夫不等式式.變變量量的的數(shù)數(shù)字字特特征征矩矩是是隨隨機(jī)機(jī)5.;)(方方差差為為二二階階中中心心矩矩的的一一階階原原點點矩矩是是的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望隨隨機(jī)機(jī)變變量量xxexpafnuty chebyshevborn: 16 may 1821 in okatovo, russiadied: 8 dec 1894 in st petersburg, russia契比雪夫資料契比雪夫資料)44(2 xxe44)(2 exexdx434352 .30 .30)2(2

11、xe所所以以解解)44()2(22 xxexe4)(4)(2 xexe.)2(, 5)(, 3)(2 xexdxe求求已已知知例例1備份題備份題,02,( ),24,0,.3()3,13,:4(1) , ,;(2).xxaxxf xcxbxe xpxa b cye設(shè)隨機(jī)量的概率密度為其它且已知求的值隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差 解解(1)( )d1,f xx因為例例2xbcxxxaxxxed)(d)(4220 , 2)( xe, 2 bca 35638,4331 xp,432523d)(d2132 bcaxbcxxax,262bca 2042dd1xbcxxax所以所以, 1 b,41 a解之得解

12、之得.41 c .432523, 235638, 1622cbabcacba因此有因此有,)1(16124 e22)()()(xxxeeeeed 得得22224)1(41)1(161 ee.)1(41222 eexxexxeeexxxd)141(d41)()2(4220 ,)1(4122 exxexxeeexxxd)141(d41)(4222022 證明證明, 1 n!,0,( )0,0.,02(1).1nxxx enxf xxnnpxnn設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為其中為正整數(shù) 試證22()( )de xx f xxxexxnxnd!102 例例01()( )dd!nxe xxf xxx x exn因為2) 1() 1)(2( nnn1) 1() 1( nnxnp1)1( nnxpxexxnxnd!102 ),1)(2( nn. 1 n22)()()(exxexd 所以所以)1(20 nxp又又因因為為2)1(11 nn.1 nn.1)1(20 nnnxp)1()(1 nxexp2)1()(1 nxd1)( nxexp故得故得.,.,),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22()cm(22的的概概率率求求活活塞塞能