淺談初中數(shù)學(xué)幾何證明題解題方法

1、淺談初中數(shù)學(xué)幾何證明題解題方法 內(nèi)容摘要：幾何證明題的一般結(jié)構(gòu)由已知條件和求證目標(biāo)組成。做幾何證明題的一般步驟：審題，尋找證明的思路，書寫證明過(guò)程 關(guān)鍵詞：幾何證明 條件 結(jié)論 .執(zhí)因索果 執(zhí)果索因 輔助線 初中學(xué)生正處于自覺(jué)形象思維向邏輯思維的過(guò)度階段，幾何證明，是學(xué)生邏輯思維的起步。這種思維方式學(xué)生剛接觸，會(huì)遇到一些困難。許多學(xué)生在幾何證明這里“跌倒了”，喪失了信心，以至于幾何越學(xué)越糟。為此，我根據(jù)自己幾年的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，就初中數(shù)學(xué)中幾何證明題的一般結(jié)構(gòu)，解題思路進(jìn)行初步探討。學(xué)好幾何證明，起步要穩(wěn)，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時(shí)要扎扎實(shí)實(shí)，一步一個(gè)腳印，在掌握好幾何基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，還要培養(yǎng)學(xué)生的邏

2、輯思維能力。一、幾何證明題的一般結(jié)構(gòu) 初中幾何證明題的一般結(jié)構(gòu)由已知條件和求證目標(biāo)兩部分（即前提和結(jié)論）組成。已知條件是幾何證明的前提，指題目中用文字和符號(hào)直接給出的明確條件，也包括所給圖形中暗含的條件。求證指題目要求的經(jīng)過(guò)推理最終得出的結(jié)論。已知條件是題目既定成立的、毋庸置疑而且必然正確的。求證是幾何證明題的最終目標(biāo)，就是根據(jù)題目給出的已知條件，利用數(shù)學(xué)中的公理、定理、性質(zhì)，用合理的推理形式推導(dǎo)出的最后結(jié)果，而且只能出現(xiàn)在證明過(guò)程的最后。 例如：如圖，在abc和dcb中，ab = dc，ac = db，ac與db交于點(diǎn)mb ca dmn求證：abcdcb ； 已知條件：文字給出的有：abc和

3、dcb，ab = dc，ac = db，ac與db交于點(diǎn)m 圖形給出的有：bc=cb,bma與cmd是對(duì)頂角等等 求證目標(biāo)是：abcdcb 注意，已知條件除了上面列出的，就沒(méi)有其它的了，不可隨意出現(xiàn)am=dm ,bn=cn等等2、 做幾何證明題的一般步驟（一）、審題 審題就是讀題，這一步是解決幾何證明題的關(guān)鍵，非常重要。許多學(xué)生讀幾何證明題時(shí)講快，常常忽略了題目中蘊(yùn)含的重要信息。和讀其它類型的題有所不同，讀幾何證明題要求圖文對(duì)照，做到心中有幾何基礎(chǔ)知識(shí)，一邊讀題一邊對(duì)照幾何圖形，要求每讀一句題對(duì)照?qǐng)D形一次，讀懂而且要讀完整。審題的過(guò)程中，明確已知條件有哪些，才能在后面的證明中有材料可用；找到求

4、證的目標(biāo)是什么，才能在后面的證明中有的放矢。（二）、尋找證明的思路 幾何證明就是根據(jù)題目中的已知條件、利用數(shù)學(xué)公理、定理、法則、公式、圖形性質(zhì)等說(shuō)明結(jié)論正確性的過(guò)程。許多學(xué)生，遇到幾何證明題時(shí)，無(wú)從下手，茫然不知所措，根本原因就是證明思路不明確。尋找證明的思路，有以下幾種方法可供參考： 1.執(zhí)因索果法 執(zhí)因索果，是指由已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推導(dǎo)得出求證目標(biāo)成立的方法，即由可知逐步推向未知,最后得出求證的目標(biāo)。 例如：ad是bac的平分線，de垂直ab于點(diǎn)e，df垂直ac于點(diǎn)f，且bddc。求證：becf 思路：由已知中的“ ad是bac的平分線，de垂直ab于點(diǎn)e，df垂直ac于點(diǎn)f”，根據(jù)“

5、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”和“垂直的定義”可以得出：de=df,e=dfc90.又加上已知中的“bddc”可證明“bdedcf ”(hl),又根據(jù)“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”即可推出求證目標(biāo)：becf成立。2.執(zhí)果索因法 執(zhí)果索因，也叫“逆推法”，就是由未知到已知的方法，指由題目中要求證明的結(jié)論開(kāi)始，逆向?qū)ふ沂菇Y(jié)論成立的各種可能條件，層層假設(shè)層層尋找，最后找到已知條件。 例如：如圖，在平行四邊形abcd中，e為bc邊上的一點(diǎn)，連結(jié)ae、bd且ae=ab求證：abe=ead； 思路：要證明abe=ead，只需ead=aeb；要ead=aeb，只需；要只需四邊形abcd是平行四邊形（已知條件

6、）；要abe=aeb，只需ae=ab（已知條件）。3.因果互推法。 因果互推，俗稱“兩頭湊”，即執(zhí)因索果法和執(zhí)果索因法的綜合運(yùn)用。即由已知條件出發(fā)，聯(lián)系基礎(chǔ)知識(shí)和基本經(jīng)驗(yàn)，推出可能得出的所有結(jié)果；又從證明的結(jié)論出發(fā)，逆推使結(jié)論成立的條件，在前面的“結(jié)果”和逆推條件中找到共同點(diǎn)，從而找到證明思路。 例如：如圖，在中，ac=bc，d是ab的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)求證：。 思路： 執(zhí)果索因：要使求證目標(biāo)，只需capcbp ; 執(zhí)因索果：由已知“ac=bc，d是ab的中點(diǎn)”可知：cd平分abc(三線合一)，即acd=bca.由圖可知：cp=cp(公共邊),則ca

7、pcbp（sas）.由capcbp建立了已知和未知的聯(lián)系，從而本題得證。4.添加輔助線法 有的幾何證明題，就題目所給已知條件及圖形所給條件無(wú)法建立已知和求證的聯(lián)系時(shí)，此時(shí)，可以嘗試添加輔助線，幫助解題。常用輔助線有：連接兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線段，取中點(diǎn)并連接，作平行線、垂線，作對(duì)稱點(diǎn)并連接，作圓等。 例如：如圖，已知abcd，ae平分bad，且e是bc的中點(diǎn)，求證：ad=ab+cd 證法一：延長(zhǎng)ae交dc延長(zhǎng)線于點(diǎn)f abcd（已知） abcef bae=f, b=ecf（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） e是bc的中點(diǎn) （已知） be=ce（中點(diǎn)定義） 在abe和cef中 （已證） abecef（aas）d

8、ab=cf(全等三角形性質(zhì)) ae平分abd（已知） bae=dae（角平分線性質(zhì)） bae=f（已證） dae=f（等量代換） ad=df（等邊對(duì)等角） df=dc+cf（已知）dabcef cf=ab（已證） ad=ab+dc（等量代換）證法二：取ad中點(diǎn)f，連接ef abcd，點(diǎn)e是bc的中點(diǎn)（已知） ef是梯形abcd的中位線 efab , ef=（ab+cd）（梯形的中位線性質(zhì)） bae=aef（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ae平分bad（已知） bae=fae（角平分線性質(zhì)） aef=fae（等量代換） af=ef（等邊對(duì)等角） af=df（已作） ef=af=fd=ad（中點(diǎn)定義）

9、 (ab+cd)= ad（等量代換） ad=ab+cd 如果給出的題目只有一句話（即一個(gè)命題）時(shí)，則需要根據(jù)題目畫出輔助圖形，借以思考和證明。不管添加輔助線還是輔助圖形，必須用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以說(shuō)明。 （三）、書寫證明過(guò)程1.證明的結(jié)構(gòu)和形式 書寫證明的過(guò)程就是邏輯推理的過(guò)程，一段推理通常采用“因?yàn)椤薄八浴钡男问竭M(jìn)行，即用“”“”的形式呈現(xiàn)?！啊焙蠼訔l件，“”后接由條件直接得出的結(jié)論。整個(gè)證明過(guò)程就是由許多段“”“”組成，每段推理都為證明的結(jié)論準(zhǔn)備條件。2.推理中條件和結(jié)論的個(gè)數(shù) （1） 一個(gè)條件推出一個(gè)結(jié)論如：abc=90 （2）一個(gè)條件推出多個(gè)結(jié)論如：四邊形abcd是平行四邊形 abcd，ab

10、=cd,adbc,ad=bc （3）幾個(gè)條件推出一個(gè)結(jié)論 如上圖， ab=de, a=d ac=df abcdef(sas) 3.條件和結(jié)論的要求和關(guān)系 “”后接的條件來(lái)源必須準(zhǔn)確可靠，只能是題目中明確給出的已知或圖形中直接給出的信息或前面推導(dǎo)得出的結(jié)論，不可臆造，更不可無(wú)中生有；作為推理前提，“”后接的條件必須充分，即根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)足以推出后面所需結(jié)論?！啊焙蠼拥慕Y(jié)論，只能由前面的條件直接推出，即結(jié)論只能由前面的條件根據(jù)數(shù)學(xué)公理、定理等最直接推出。一個(gè)推理中的條件和結(jié)論只能是最直接的因果關(guān)系。 如果前面得出的結(jié)論又可以進(jìn)一步得出后面所需要的結(jié)果，可以連續(xù)使用“”進(jìn)行推理。如果一個(gè)推理可以得出幾個(gè)結(jié)論時(shí)，只寫出馬上要用或者后面將要用到的。后面用不到的結(jié)論，雖然可以得出，但不必寫出。 例如：已知，如圖，點(diǎn)b、f、c、e在同一直線上，ac、df相交于點(diǎn)g，abbe，垂足為b，debe，垂足為e，且abde，bfce。 求證：（1）abcdef； （2） gfgc。 證明：（1）abbe，debe.（已知） b=e=90（垂直的定義） bfce.（已知） bf+fcce+fc（等式性質(zhì)） 即 bc=ef 在abc和def中 abde（已知） b=e（已證） bc=ef（已證） abcdef（sas） （2）abcde（已證） acb=dfe(全等三角形性