大學(xué)課件高等數(shù)學(xué)下冊(cè)積分的對(duì)稱性

1、四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 1給出了給出了利用積分區(qū)域的對(duì)稱性利用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算各種積分的命題計(jì)算各種積分的命題并給出了詳細(xì)證明并給出了詳細(xì)證明四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 2利用積分區(qū)間的對(duì)稱性利用積分區(qū)間的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算計(jì)算定積分定積分四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 3命題命題 100, ( ) ( ) 2( ), ( ) aaaf xf x dxf x dxf x當(dāng)是奇函數(shù)當(dāng)是偶函數(shù)證證0000( )()()()=()=xtaaaaf x dxftdtft

2、 dtfx dx換元交換積分變量四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 4若若 f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù): f(-x)= -f(x)0000( )( )( )( )( )0aaaaaaf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 則所以若若 f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù): f(-x)= f(x)00000( )( )( )( )( )2( )aaaaaaaf x dxf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 5利用積分區(qū)域的對(duì)稱性利用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算計(jì)算二重積

3、分二重積分四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 6( , )df x y dxdy命題命題 2若區(qū)域若區(qū)域d 關(guān)于關(guān)于 y 軸軸 (x = 0) 對(duì)稱，則對(duì)稱，則當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )df x y dxdy(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0dx yd xd1d四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 7證證 不妨假定不妨假

4、定d的右半部分的右半部分d1為為x型區(qū)域：型區(qū)域：1:,( )( )daxbxyx由由d關(guān)于關(guān)于y軸的對(duì)稱性，軸的對(duì)稱性，d的左半部分的左半部分d2為：為：2:,()()dbxaxyx 2()()( )( )( )( )( )( )( , )( , )(, )()(, )=(, )=axbxdxtatbtbtbxataxf x y dxdyf x y dy dxft y dydtft y dy dtfx y dy dx 換元交換變量則四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 8( ,)( , )f xyf x y 若2112( )( )( , )( , )( , )( , )( , )

5、( , )0bxaxdddddf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 9( ,)( , )f xyf x y若21121( )( )( , )( , )( , )( , )( , )+( , )=2( , )bxaxddddddf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 10( , )df x y dx

6、dy命題命題 2若區(qū)域若區(qū)域d 關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 (y = 0) 對(duì)稱，則對(duì)稱，則當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )df x y dxdy( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0dx yd yd1d四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 11( , )df x y dxdy推論推論1若若 d 關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 和和 y 軸都對(duì)稱軸都對(duì)稱且且 f(

7、x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 和和 y 均為偶函數(shù)均為偶函數(shù)1( , )|0,0dx yd xy14( , )df x y dxdyd1d則則四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 12命題命題 3若若 d1是區(qū)域是區(qū)域 d 關(guān)于直線關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱的區(qū)域，則對(duì)稱的區(qū)域，則1( , )( , )ddfdxdyfdxdyxxyyd1d四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 13證證 不妨假定不妨假定d為為x型區(qū)域：型區(qū)域：:,( )( )d axbxyx則則d1為為y型區(qū)域：型區(qū)域：1( )( )( )( )( , )( , )( , )( , )badx ybaxxy

8、dyfdxdyfddfdyyyyxxxxdfdxdyxxyy 交換積分變量 ,所以1:,( )( )daybyxy四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 14推論推論 1若若 d 關(guān)于直線關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱，則對(duì)稱，則( , )( , )ddfdyyxdyfdxdxxyd證證 設(shè)設(shè) d1 是是d 關(guān)于直線關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱的區(qū)域，則對(duì)稱的區(qū)域，則d1=d。用命題。用命題 3 即得。即得。四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 151( , )2( , )ddf x y dxdyf x y dxdy推論推論 2若區(qū)域若區(qū)域 d 關(guān)于直線關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱對(duì)

9、稱且且 f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 和和 y 對(duì)稱：對(duì)稱：( , )( , )ffyyxx則則d1( , )|dx yd xy其中1d四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 16證證 設(shè)設(shè)2( , )|dx yd xy則則d2與與d1關(guān)于直線關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱，且對(duì)稱，且12ddd由命題由命題 3211( , )( , )( , )dddfdxdyfdxdyfdxdyxyxyyx121( , )=( , )+( , )2( , )ddddf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 17利用

10、積分區(qū)域的對(duì)稱性利用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算計(jì)算三重積分三重積分四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 18( , , )f x y z dv當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z dv( , ,)( , , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題

11、4 若空間區(qū)域若空間區(qū)域關(guān)于關(guān)于 xoy 面面 (z = 0) 對(duì)稱，則對(duì)稱，則高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊(cè)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊(cè)255頁頁 第一行第一行四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 19證證 不妨假定不妨假定的上半部分的上半部分1為為xy型區(qū)域：型區(qū)域：1( , , )|( , ),( , )( , )x y zx ydx yzx y 由由關(guān)于關(guān)于xoy坐標(biāo)面的對(duì)稱性，坐標(biāo)面的對(duì)稱性，的下半部分的下半部分2為：為：2( , , )|( , ),( , )( , )x y zx ydx yzx y 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 202( , )( , )( , )( ,

12、)( , )( , )( , )( , )( , , )( , , )( , ,)()( , ,)=( , ,)=x yx ydztx yx ydx yx ydx yx ydf x y z dvdf x y z dzdf x ytdtdf x yt dtdf x yz dz換元改變變量則四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 21( , ,)( , , )zy zf x yf x若2112( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )0 x yx ydf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z

13、 dvf x y z dvf x y z dv 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 22( , ,)( , , )f x yfzxzy若21121( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )2( , , )x yx ydf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 23利用積分曲線的對(duì)稱性利用積分曲線的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算對(duì)計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線

14、積分弧長(zhǎng)的曲線積分四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 24( , )lf x y ds命題命題 5若曲線若曲線 l 關(guān)于關(guān)于 y 軸軸 (x = 0) 對(duì)稱，則對(duì)稱，則當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )lf x y ds(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0lx yl xl1l四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 25證證 設(shè)設(shè) l

15、 的右半部分的右半部分 l1 由以下參數(shù)方程給出：由以下參數(shù)方程給出：1:( ),( ),lxtytatb 由由 l 關(guān)于關(guān)于 y 軸的對(duì)稱性，軸的對(duì)稱性，l 的左半部分的左半部分 l2 的參的參數(shù)方程為：數(shù)方程為：22222( , )=( ),( ) ( )( )=( ),( ) ( )( )lbabaf x y dsfttttdtfttttdt于是2:( ),( ),lxtytatb 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 26(, )( , )fx yf x y 若211222( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )0lballllf

16、x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 27(, )( , )fx yf x y若2112122( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )2( , )lballlllf x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 28( , )lf x y ds命題命題 5若曲線若曲線l關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 (y = 0) 對(duì)稱，則對(duì)稱，則當(dāng)當(dāng) f(

17、x,y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )lf x y ds( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0lx yl yl1l四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 29( , , )f x y z ds當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z ds( , ,)(

18、, , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 6 若空間曲線若空間曲線 關(guān)于關(guān)于 xoy 面面 (z = 0) 對(duì)稱，則對(duì)稱，則四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 30證證 設(shè)設(shè) 的上半部分的上半部分 1 由以下參數(shù)方程給出：由以下參數(shù)方程給出：1:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 由由 關(guān)于關(guān)于xoy面的對(duì)稱性，面的對(duì)稱性， 的左半部分的左半部分 2 的的參數(shù)方程

19、為：參數(shù)方程為：2222222( , , )=( ( ), ( ),( ) ( )( )( )=( ( ), ( ),( ) ( )( ) ( )babaf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x ty tz tx ty tz tdt 于是2:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 31( , ,)( , , )f x yzf x y z 若2112222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0baf x y z

20、dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 32( , ,)( , , )f x yzf x y z若21121222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=2( , , )baf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小

21、湛april 積分的對(duì)稱性 33利用積分曲面的對(duì)稱性利用積分曲面的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算對(duì)計(jì)算對(duì)面積的曲面積分面積的曲面積分四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對(duì)稱性 34( , , )f x y z ds當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z ds( , ,)( , , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 7 若曲面若曲面 關(guān)于關(guān)于 xoy 面面