內積向量積課件

1、內積向量積*三、向量的混合積三、向量的混合積 第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積數(shù)量積 向量積 *混合積 第八八章 內積向量積1M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,W1. 定義定義設向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積 (點積) .引例引例. 設一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s內積向量積,0時當a上的投影為在ab記作故,0,時當同理babj rPb2. 性質性質為兩個非零向量, 則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,

2、)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba內積向量積3. 運算律運算律(1) 交換律(2) 結合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實上, 當0c時, 顯然成立 ;時當0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac內積向量積ABCabc例例1. 證明三角形余弦定理cos2222abbac證證:則cos2222abbac如圖 . 設,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2bacc

3、bbaa,內積向量積4. 數(shù)量積的坐標表示數(shù)量積的坐標表示設則, 10zzyyxxbababa當為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式 , 得內積向量積)(MB, )(MA BM例例2. 已知三點, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故內

4、積向量積為 ) .求單位時間內流過該平面域的流體的質量P (流體密度例例3. 設均勻流速為的流體流過一個面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量,A解解:單位時間內流過的體積APAA的夾角為且vvncosvcosvnv vnn為單位向量內積向量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設O 為杠桿L 的支點 , 有一個與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點上 ,則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 內積向量積1. 定義定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的

5、夾角為設ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S內積向量積2. 性質性質為非零向量, 則，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當baba0basinab03. 運算律運算律(2) 分配律(3) 結合律(證明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:內積向量積)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標表示式向量積的坐標表示式設則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ij

6、baxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk內積向量積向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx內積向量積例例4. 已知三點, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(4

7、2114sin21AB AC21ACAB求三內積向量積一點 M 的線速度例例5. 設剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉, 導出剛體上 的表示式 . Ml解解: 在軸 l 上引進一個角速度向量使a其在 l 上任取一點 O,O作它與則點 M離開轉軸的距離a且符合右手法則的夾角為 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向與旋轉方向符合右手法則 ,r向徑內積向量積思考與練習思考與練習1. 設計算并求夾角 的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC內積向量積證證: 由三角形面積公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB內積向量積22343cos322)2(171. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba內積向量積22200)2(211ABCD在頂點為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)