曲線積分與曲面積分

1、第七講曲線積分與曲面積分一、空間曲線的參數(shù)化若積分曲線 的參數(shù)方程： xx(t ), yy(t), zz(t )， t, ,則曲線積分的計(jì)算公式為PdxQdyRdz P( x(t), y(t ), z(t ) x (t )Q(x(t), y(t ), z(t) y (t)R(x(t), y(t ), z(t)z (t)df (x,y,z)dsf ( x(t ),y(t ),z(t)x 2 (t )y 2 (t )z 2 (t )dt，t,曲線積分計(jì)算的關(guān)鍵是如何將積分曲線參數(shù)化。下面將給出積分曲線參數(shù)化的某些常用方法。F (x, y, z)01. 設(shè)積分曲線：0 ,從中消去某個(gè)自變量 ,例如

2、z ，得到 在G(x, y, z)xoy 平面的投影曲線，這些投影曲線常常是園或是橢圓，先將它們表示成參數(shù)方程 x x(t), y y(t ), 然后將它們代入F (x, y, z)0或G (x, y, z)0 中，解出 z z(t )由此得到 的參數(shù)方程： xx(t ), yy(t), zz(t )， t , 。x2y2z2a2：， (其中 a0 )用參數(shù)方程表示。例1將曲線 yx解：從 的方程中消去，得到xoz平面上的投影曲線 2 x2z2a2,這是橢圓，y它的參數(shù) 方程為 xacost, zasint, t 0,2 ，將其代 入 的方程 ，得到2xacost2ya cost ,所以 的參

3、數(shù)方程為 ： yacost ,t 0,2 。22zasint12. 若 的方程中含有園、 橢圓或球的方程時(shí)， 要充分利用園、 橢圓或球的所熟知的參數(shù)方程先將其參數(shù)化，再代入 的另一方程，求出另一變量的參數(shù)表達(dá)式。例2：z x2y2，(其中 a0 )用參數(shù)方程表示。將曲線 x2y22ay解：在 xoy 平面的投影曲線為 x2y22ay ,這是一個(gè)圓，先將其參數(shù)化。因?yàn)?x2y22ayx2( ya)2a 2 所以它的參數(shù)方程為,xacost，t0,2 ，將其代入 z x2y2 得yaasintz(acost )2(aasint )22a2 (1sint )，t0,2 xacost所以 的參數(shù)方程為

4、 ： ya asint , t0,2 。z2a 2 (1sint )例 3對(duì)例 1 加一個(gè)條件 x0 ，求它的參數(shù)方程。xasincos解： x2y2z2a2 是球面，引入球坐標(biāo)， yasinsin , 0,2 , 0, zacosx2 asin2由于 yx 得 sincos，(x0) ，故 y2 asin , 0, 4z2acos二、曲線積分的計(jì)算1.注意到曲線積分的被積函數(shù)f (x, y)是定義在積分曲線上的， 因此它的自變量應(yīng)滿足積分曲線方程，所以首先可用積分曲線方程L：( x, y)0 去化簡(jiǎn)被積函數(shù)。2.對(duì)稱性的應(yīng)用 (以第一類平面曲線積分為例)2(1)曲線 L 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，是

5、指(x, y)( x, y) ,換句話說(shuō)，若 ( x, y)L, 則它的對(duì)稱點(diǎn) ( x, y)L ；(2) 曲線 L 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，是指(x, y)(x, y) ,換句話說(shuō)，若 ( x, y)L, 則它的對(duì)稱點(diǎn) (x, y)L ；(3) 曲線L 關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱，是指(x, y)(x, y) ,換句話說(shuō)，若 ( x, y)L, 則它的對(duì)稱點(diǎn) (x, y) L ；(4)曲線 L 關(guān)于直線 y x 對(duì)稱 (或直線 yx 對(duì)稱 )，是指 ( x, y)( y, x) ,(或 ( x, y)( y,x) ),換句話說(shuō)， (x, y)與(y, x) 互為對(duì)稱點(diǎn)， (x, y)與(y, x) 互為對(duì)稱點(diǎn)

6、。若曲線積分f ( x, y)ds 的被積函數(shù) f ( x, y) 在任意的對(duì)稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為L(zhǎng)相反數(shù)，則f (x, y)ds0 ；在任意的對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值都相等，則Lf ( x, y)ds2 f ( x, y)ds，其中 L1 是相應(yīng)對(duì)稱積分曲線的一半。LL 122222( xxy )ds例1 計(jì)算 (1)xya (a0);L,其中 L：(2)2xy24y2sinx2y2x2y21,周長(zhǎng)為 a。3x(3)ds,其中 L：3L44解：(1) 由于 L 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，被積函數(shù) x 在對(duì)稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為相反數(shù)，所以 xds 0。L由于 L 關(guān)于直線 yx 對(duì)稱，函數(shù) x2y 2 在對(duì)稱點(diǎn)處互

7、為相反數(shù) ,所以(x2y2 )ds 0 ,即 x2 dsy2ds ，從而有LLLx2ds1 ( x2y2 )ds1a2 dsa3L2 L2 L3由于 L 的參數(shù)方程為 xacos ，ysin， 0,2 ，所以y4ds2a4sin 4a2 cos2a2sin 2da52sin 4d2a5sin 4d00L02a54d2a52sin4d4a524d53 1350sin-0 sin4a42 24a .2（2） 2xy 3x24y2sin( x2y2)dsL432xyds12 ( x2y2)1 sin( x2y2)dsLL431243012(11 sin)ds12a .L12其中 L 關(guān)于 x 軸對(duì)稱

8、，且 2xy 在對(duì)稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù)，所以2xyds0 .L例 2設(shè) f (x, y)ey-x0y-x 2 ，求弧長(zhǎng)的曲線積分f ( x, y)ds，其中 L 為正0其它L方形 | x | y |1的邊界。解：如圖 f (x, y)dsey-xds,由于折線 ABEFG 對(duì)關(guān)于直線 yx 對(duì)稱，且在LABEFG對(duì)稱點(diǎn)上有 f ( x, y)f (y, x) ,所以f ( x, y)ds 2ey-xds2(ey-x dsey-xds)LABEABBEAB :x x，x1y-xds11-2 x2dx2(e-11) ；y,1, e1 e21-x2AB2BE :xx-1,0 ,ey-x ds02dx

9、2 e,y1，x1 ex2BE22原式2 ey-x ds2(ey-xdsey-x ds)2(ee-11) 。ABEABBE例 3222x2y2z2a2計(jì)算 (2yzy )ds ，其中：，0)。yx(a解： (1) 由于在 上 yx ，所以4( 2 y2z2y2 )ds( x2y2z2y2 )dsa2 dsy2ds 2 a y2 ds由例 1 的參數(shù)方程為 ： xa cost, ya cost, zasint,t0,2 ,則22y2ds2acost)2 (acost) 2acost) 2(asint ) 2 dta32cos2tdta3(.0222202所以 ( 2 y2z2y 2 )ds 2

10、a2a3。23. 格林公式的應(yīng)用P(x, y)dxQ( x, y)dy( PQ )dxdyLDxy(1) 若積分曲線不是封閉，則可添加若干條直線 (或曲線 )使之構(gòu)成封閉曲線，再應(yīng)用格林公式；(2) 若封閉曲線 L 所圍成的區(qū)域 D 內(nèi)有“奇點(diǎn)”,則在奇點(diǎn)外成立PQ 等式xy的條件下，有P( x, y)dxQ( x, y)dyP( x, y)dxQ( x, y)dy 成立，其中 LLL是圍繞奇點(diǎn)的正向簡(jiǎn)單閉曲線，通常是園或橢圓等。例1 設(shè)D ( x, y),0x1,0y1 , 記 L 為它的正向邊界曲線。證明：xesinydyye-sinx dxxe-siny dyyesinx dx 2LL證

11、：由格林公式得xe-siny dyyesinx dx(xe-siny )( yesinx )d xdy( e-sinyesinx )dxdyLDxyD( e-sinxesinx )dxdy 2e-sinxesinx dxdy2DD其中 e-sinx dxdye-siny dxdy ，是由于 D 是關(guān)于直線 yx 對(duì)稱，即DD5f ( x, y)df ( y, x)d。同理可證xesinydyye-sinx dx 2。兩積分相等可由格林DDL公式得出。例 2計(jì)算 Lxdyydx，其中 L 是以 (1,0)為中心 R(R1) 為半徑的正向圓周。4x2y 2(x2 )22(y2 )4x2y2y解：首

12、先驗(yàn)證4xy4x成立。x( 4x2y 2 ) 2y由于在 L 為邊界的閉區(qū)域D 內(nèi)x，y有不連續(xù)點(diǎn) (0,0) ，因此在2y22y24x4xD 內(nèi)部作正向閉曲線 L ：4x2y 22 ，其中充分小，所以xdyydxxdyydx1xdyydx2dxdy222L 4x2y 2L 4x2y2222LD例 3.已知關(guān)于坐標(biāo)的曲線積分xdyydxA (常數(shù) )，其中函數(shù)( x) 可導(dǎo)，且L( x)y2(1) 1， L 是圍繞 (0,0) 的任一分段光滑正向閉曲線，求（1）函數(shù)( x) 的表達(dá)式；（ 2）A 的值。解：（1）為了應(yīng)用格林公式求出 ( x) ，先計(jì)算對(duì)于任一不包含原點(diǎn)的分段光滑的正向閉曲線

13、C 都有xdyydx.(因?yàn)?( x) 未知 ,所以原點(diǎn)有可能為被積函數(shù)的C(x)y 20不連續(xù)點(diǎn) ) 如圖：xdyydxxdyydxxdyydxxdyydxxdyydxA A 0C ( x)y 2( x)y2AmB(x)y2( x)y2AlBmA( x)y2BnAA lBnAx2 )(y2 )(yy由此可知對(duì)( x, y)(0,0) 有( x)( x)成立，即xy( x) y2x(x)( x) y2 ，解此微分方程得(x)Cx2 ，由于(1) 1，所以 C=1所求的 ( x)x2 。6（2）取 L為正向圓周 x2y21，則 ALxdyydx1xdyydx 222dxdy 2 。( x)y21

14、 L111xy14利用曲線積分來(lái)計(jì)算曲面的面積（1）柱面1： F ( x, y)0 被曲面 ： zz( x, y) 截下部分的面積。計(jì)算公式為 Sz( x, y)ds ，其中 F (x, y)0 在 xoy 面上的投影曲線 .C33例 1求柱面 x 2y 21位于球面 x2y 2z21 之內(nèi)的側(cè)面 的面積 S 。解：由于關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，所以S0(S 是 S 位于第一卦限部分8S0的面積 )。由對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的幾何意義，知道S01 x 2y 2 ds2(cos3 t) 2(sin3 t) 2 1(cos3 t) 2(sin 3t ) 2 dt1C023cos2 tsin 2 t 3cos

15、tsintdt3 3 2 cos2tsin 2 tdt3 3 2 (sin 2 t - sin 4t)dt3 300016所以 S8S03 3 .2（2）由坐標(biāo)面上的平面曲線繞某軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積。例如yoz平面上的曲線 C : zf ( y)( ayb) 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積 .計(jì)算公式為 S2| f ( y) | dsC例 2 設(shè) 1： x2y2z21 ，2： x 2y2z22z ，求 1 的表面位于 2 內(nèi)部分的 的面積。解：如圖： 1 的表面位于2 內(nèi)部分的曲面可以看成是由 AB 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)的側(cè)面，AB : y1 z2 (1z 1) ，所

16、以211 z2 ds 21S 2 | f ( y) | ds 211 1 z2 1 yz2 dzC221z212 1 1 z2 11z2 dz 2 1 dz.227三、曲面積分的計(jì)算1. 第一類曲面積分f ( x, y, z)dS 的對(duì)稱性(1) 曲面關(guān)于 xoy 平面對(duì)稱，是指若 ( x, y, z), 則它關(guān)于 xoy 平面的對(duì)稱點(diǎn) ( x, y,z)；(2) 曲面關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱，是指 ( x, y, z), 則它的對(duì)稱點(diǎn) ( x, y, z)；(3)曲面關(guān) 于 平 面 yx 對(duì) 稱， 是 指 ( x, y, z),則它的對(duì)稱點(diǎn)( y, x, z)；若 被 積 函 數(shù) f ( x, y,

17、z) 的 在 對(duì) 稱 點(diǎn) 處 的 函 數(shù) 值 互 為 相 反 數(shù) ， 則f ( x, y, z)dS 0 ；在對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值相等，則f (x, y, z)dS2f ( x, y, z)dS ，1其中1 是相應(yīng)對(duì)稱積分曲面的一半。例 1 求下列曲面積分（1）( x2y 2z2 )dS ，其中1： x2y2z22Rz ；1（2）( xyz 1) 2 dS ，其中2： x2y2z2R2 ( z0)；2解：（1）( x2y2z2 )dS2RzdS2R( zR)dS 2RRdS1111由于1 關(guān)于平面 zR對(duì)稱 ,且函數(shù) zR在對(duì)稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù) ,故( zR)dS0 ，所以( x2y2z2 )dS

18、2R2dS2R24 R28R4 。111（2）( xyz 1) 2 dS( x2y 2z21)dS2(x( yz1)dS2222y(z 1)dS2zdS22( x2y 2z21)dS(R21)dS (R21)2R22 R2(R21)228( x( yz 1)dS0 ，y(z1)dS 0 ，22zdSR2x 2y 2 1zx2zy2 dxdy RdxdyR32x2 y2 R2x 2 y2 R2故(x y z 1) 2 dS 2 R2 ( R21) 2 R3.22. 第二類曲面積分R(x, y, z)dxdy 的對(duì)稱性及高斯公式（1）設(shè)曲面關(guān)于 xoy 平面對(duì)稱， 若被積函數(shù) R( x, y, z

19、) 的在對(duì)稱點(diǎn)處的函數(shù)值互為相反數(shù)，則R( x, y, z)dxdy2R(x, y, z)dxdy ；在對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)1值相等，則R(x, y, z)dxdy0 ，其中1 是相應(yīng)對(duì)稱積分曲面的一半。若 x 與 y 互換，的方程及側(cè)不變，則Q( x, y, z)dzdxQ( y, x, z)dydz ，P( x, y, z)dydzP( y, x, z)dzdx若 x 與 z 互換，的方程及側(cè)不變，則P( x, y, z)dydzP( z, y, x)dxdy ，Q( x, y, z)dzdxQ( z, y, x)dzdx（2）當(dāng)不是閉曲面時(shí)， 適當(dāng)添上一塊外側(cè)曲面 1,使得1 組成閉曲面(所圍成

20、的閉區(qū)域?yàn)?，于是高斯公式為PdydzQdzdxRdxdy( PQR)dvPdydzQdzdxRdxdyxyz1（3）當(dāng)是外側(cè)閉曲面，是它所圍的閉區(qū)域，P，Q，R 在 的內(nèi)部有x yz不連續(xù)點(diǎn) P( x0 , y0 , z0 ) 時(shí)，可以作位于內(nèi)部的外側(cè)閉曲面1 ,將點(diǎn) P( x0 , y0 , z0 ) 包圍起來(lái)，這個(gè)閉曲面1 常常是小球面、小橢球面，于是高斯公式為9PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy11PQRPdydzQdzdx Rdxdy(y)dvxz1當(dāng)在上除點(diǎn) P( x0 , y0 , z0 ) 外處處有 PQR0 時(shí)，xyzP

21、dydz QdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy1例 2解：xdydzydzdxzdxdy,其中是上半橢球面 x2y2z2I31 的外側(cè)。( 4x24 y2z2 ) 24xdydzydzdxzdxdy1I3xdydz ydzdx zdxdy(4x24 y2z2 ) 28由于 x 與 y 互換，的方程及側(cè)不變，且關(guān)于 yoz 平面對(duì)稱，且被積函數(shù)在對(duì)稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù)，所以xdydz ydzdxzdxdy2 xdydzzdxdy4xdydzzdxdy1其中1 是的 x0 部分，前側(cè)， Dy z是1 在 yoz 平面上的投影 )4 xdydz41y2z2dydz4 1 (橢球 x2y

22、2z21的體積 )= 411 281D yz44433zdxdy21x 2y 2 dxdy 2 (上半球體 x2y 2z21的體積 )4。Dxy3故原式 I1 ( 84).8332例 3.計(jì)算曲面積分 I211xcos2 x dydzcos2 ydzdxzcos2 zdxdy其中是球面 x2y2z21的外側(cè)。1解：由于關(guān)于 xoy 平面對(duì)稱 ,函數(shù) cos2 y 在對(duì)稱點(diǎn)處的值相等，所以1dzdx=0。當(dāng) x 與 y 互換時(shí)， 的方程及側(cè)不變，所以cos2y102dydz1dxdy2dxdy1dxdy=1dxdyI =22222xcosxzcoszzcoszzcos zzcos z=212dx

23、dy=21x2dxdy(Dxy：x2 +y21)1zcos zDxyy 2 cos2 1 x2y22d1rdr=4 tan1=21 r2cos21r 200其中1：z=1x2y2是的 z0 的部分，且1在對(duì)稱點(diǎn)處的值互為相反2zcos z數(shù)，所以有1dxdy=21dxdy 。22zcos zzcos z12例 4 計(jì)算 Ixdydzz dxdy ,其中 是柱面 x2 y2 R 2 及兩平面 z R , zRx2y2z2所圍立體表面的外側(cè)。解：是外側(cè)曲面，但原點(diǎn)在內(nèi)部，x， 2z22 都不連續(xù)，從2y2z2y2zxx而不能應(yīng)用高斯公式。關(guān)于 xoy 平面對(duì)稱，x2z2z2 在對(duì)稱點(diǎn)處的值相等，所以z2 dxdy0 .y2x2y2z2于