z變換的收斂域A課件

1、 7.3 z7.3 z變換的收斂域變換的收斂域 主要內(nèi)容主要內(nèi)容收斂域的定義收斂域的定義兩種正項級數(shù)收斂性的判別方法兩種正項級數(shù)收斂性的判別方法幾種常見序列的幾種常見序列的z z變換收斂域問題變換收斂域問題一、收斂域的定義一、收斂域的定義收斂的所有收斂的所有z z 值之集合為收斂域。（值之集合為收斂域。（Region of convergence簡稱簡稱ROC） nnznxzX)()(對于任意給定的序列對于任意給定的序列x(n)x(n)，能使，能使與拉氏變換的情況類似，對于單邊變換，序列與變換與拉氏變換的情況類似，對于單邊變換，序列與變換式惟一對應(yīng)，同時也有唯一的收斂域。而在雙邊變換式惟一對應(yīng)

2、，同時也有唯一的收斂域。而在雙邊變換時，不同的序列在不同的收斂域條件下可能映射為同時，不同的序列在不同的收斂域條件下可能映射為同一個變換式。下面舉例說明以上情況。一個變換式。下面舉例說明以上情況。例例1 1：已知兩序列分別為：已知兩序列分別為x x1 1(n)=a(n)=an nu(n)u(n)，x x2 2(n)=-(n)=-a an nu(-n-1)u(-n-1)，分別求它們的，分別求它們的z z變換，并確定它們變換，并確定它們的收斂域。的收斂域。如果如果|z|a, |z|a, 則上面的級數(shù)收斂，這樣得到則上面的級數(shù)收斂，這樣得到1101( )1nnnzX za zzaazza1101()

3、nnnnna za z 1111zzaa z za解：解：011)()(nnnzanxZTzX122)()()(nnnzanxZTzX 由上可知，不同的由上可知，不同的x(n)x(n)的的z z變換，由于收斂域不同，變換，由于收斂域不同，可能對應(yīng)于相同的可能對應(yīng)于相同的z z 變換，故在確定變換，故在確定z z變換時，必須指變換時，必須指明收斂域。在收斂域內(nèi)，明收斂域。在收斂域內(nèi)，z z變換及它的各階導數(shù)是連續(xù)變換及它的各階導數(shù)是連續(xù)函數(shù)。也就是說，函數(shù)。也就是說，z z變換函數(shù)是收斂域內(nèi)每一點上的解變換函數(shù)是收斂域內(nèi)每一點上的解析函數(shù)。析函數(shù)。 根據(jù)級數(shù)的理論，級數(shù)收斂的充要條件是滿根據(jù)級數(shù)

4、的理論，級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和條件，即要求足絕對可和條件，即要求 可以用兩種方法求級數(shù)的收斂域可以用兩種方法求級數(shù)的收斂域比值判定比值判定法和根值判定法。法和根值判定法。nnznx|)(|1 1）比值判定法）比值判定法nnnaa1lim。不能肯定不能肯定級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散級數(shù)收斂級數(shù)收斂, 1, 1, 1 所謂比值判定法就是說若有一個正項級所謂比值判定法就是說若有一個正項級數(shù)數(shù) ，令它的后項與前項的比值等于，令它的后項與前項的比值等于 ，即，即nna 二、兩種正項級數(shù)收斂性的判別方法二、兩種正項級數(shù)收斂性的判別方法nnnalim2) 2) 根值判定法根值判定法。不能肯定不能肯定級數(shù)發(fā)散

5、級數(shù)發(fā)散級數(shù)收斂級數(shù)收斂, 1, 1, 1 所謂根值判定法，是令正項級數(shù)一般項的所謂根值判定法，是令正項級數(shù)一般項的n n次次根等于根等于下面利用上述判定法討論幾類序列的下面利用上述判定法討論幾類序列的z z變換收斂域問題變換收斂域問題1 1、 有限長序列（有始有終序列）有限長序列（有始有終序列）這類序列只在有限的區(qū)間具有非零的有限值這類序列只在有限的區(qū)間具有非零的有限值 此此時時z z變換為變換為12()n n n 當當 時，時，收斂域為收斂域為120,0nn0z當當 時，時，收斂域為收斂域為120,0nnz 當當 時，時，收斂域為收斂域為 120,0nn0z nn2n1x nXX三、幾類序

6、列的收斂域三、幾類序列的收斂域2121)()(nnnznxzXnnnn 2 2、右邊序列、右邊序列: :只在只在 區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列序列1nn )(nxnnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx其中其中 為收斂半徑為收斂半徑. .可見可見, ,右邊序列的收斂域是半右邊序列的收斂域是半徑徑 的圓外部分。的圓外部分。 1xR1xR(1) n(1) n1 10 0 0 n n2 2=1xRz 1xzRnnznxzXnnn11)()(1xRz 因果序列是一種特殊的右邊序列，收斂域為因果序列是一種特殊的右邊序列，收斂域為1

7、xzR 3 3、左邊序列：只在、左邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列的序列2nn )(nx22)()(nnznxzXnnn22)()()(nnnmnnmmnmznxzmxzX2)(lim1)(lim1)(lim1xnnnnnnnRnxzznxznx可見，左邊序列的收斂域是半徑為可見，左邊序列的收斂域是半徑為R Rx2x2的圓內(nèi)部分。的圓內(nèi)部分。 (1)n(1)n1 1=-=- n n2 200(2)n(2)n1 1=-=- n n2 20a, b0, a0ba, b0, a0）。）。解：解：12 1 nnx na u nb u nx nx n 11( ) ()nnzX zx n zzaza22( ) ()nnzXzx n zzbzb由例由例1 1的結(jié)果可直接得到：的結(jié)果可直接得到：因為因為ba, ba, 這樣得到這樣得到122 ()2( )( )( )()()a bz zzzX zX zXzzaz bza z bazb2 ()2( )()()a bz zX zz a z bazbRe(z)Re(z)jIm(z)jIm(z)ab思考題思考題 1. 1. 不