高中數(shù)學新教材變式題8：《直線與圓》

1、歡迎光臨中學數(shù)學信息網(wǎng) zxsx127 八、直線與圓2007.5.11.（北師大版必修2 第93 頁A組第1題）已知點，求直線的斜率.變式1：已知點，則直線的傾斜角是（ ）A. B. C. D.解：，故選（C）.變式2：（2006年北京卷）若三點共線，則的值等于 .解：、三點共線，.變式3：已知點，直線的傾斜角是直線的傾斜角的一半，求直線的斜率.解：設直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，依題意有，或.由，得，直線的斜率為.2.（人教A版必修2 第111頁A組第9題）求過點，并且在兩軸上的截距相等的直線方程.變式1：直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則（ ）A. B. C. D.解：令得，直線在

2、軸上的截距為；令得，直線在軸上的截距為，故選（B）.變式2：過點，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是 .解：依題意，直線的斜率為1或直線經(jīng)過原點，直線的方程為或，即或.變式3：直線經(jīng)過點，且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，求直線的方程.解：依題意，直線的斜率為1，直線的方程為或，即或.3.（人教A版必修2 第124頁A組第3題）求直線與坐標軸圍成的三角形的面積.變式1：過點（-5，-4）且與兩坐標軸圍成的三角形面積為5的直線方程是 .解：設所求直線方程為，依題意有，（無解）或，解得或.直線的方程是或.變式2：（2006年上海春季卷）已知直線過點，且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點，為坐

3、標原點，則OAB面積的最小值為 .解：設直線的方程為，則，當且僅當即時取等號，當時，有最小值4.變式3：已知射線和點，在射線上求一點，使直線與及軸圍成的三角形面積最小.解：設，則直線的方程為.令得，當且僅當即時取等號，當為（2，8）時，三角形面積最小.4.（北師大版必修2 第117頁A組第10題）求過點，且與直線平行的直線的方程.變式1：（2005年全國卷）已知過點和的直線與直線平行，則的值為（ ）A.0 B.-8 C.2 D.10解：依題意有，解得，故選（B）.變式2：與直線平行，且距離等于的直線方程是 .解：設所求直線方程為，則，解得或，直線方程為或.變式3：已知三條直線不能構成三角形，求

4、實數(shù)的取值集合.解：依題意，當三條直線中有兩條平行或重合，或三條直線交于一點時，三條直線不能構成三角形，故或或，實數(shù)的取值集合是.5.（北師大版必修2 第117頁A組第7題）若直線和直線垂直，求的值.變式1：（1987年上海卷）若直線與直線平行但不重合，則等于（ ）A.-1或2 B.-1 C.2 D.解：，且，且，解得，故選（B）.變式2：（2005年北京春季卷）“”是“直線與直線相互垂直”的（ ）A.充分必要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件解：由或，知由可推出，但由推不出，故是的充分不必要條件，故選（B）.變式3：設直線與圓相交于點、兩點，為坐標原點，

5、且，求的值.解：圓經(jīng)過原點，且，是圓的直徑，圓心（1，-2）在直線上，.6.（人教A版必修2 第110頁A組第3題）已知，求線段的垂直平分線的方程.變式1：已知關于直線的對稱點為，則直線的方程是（ ）A. B. C. D. 解：依題意得，直線是線段的垂直平分線.，的中點為（1，1），直線的方程是即，故選（B）.變式2：已知圓與圓關于直線對稱 ，則直線的方程是 .解：依題意得，兩圓的圓心與關于直線對稱，故直線是線段的垂直平分線，由變式1可得直線的方程為.變式3：求點關于直線的對稱點的坐標.解：設.由，且的中點在直線上，得，解得，.7.（北師大版必修2 第118頁B組第2題）光線自點射到點后被軸反

6、射，求反射光線所在直線的方程.變式1：一條光線從點射出，經(jīng)軸反射，與圓相切，則反射光線所在直線的方程是 .解：依題意得，點關于軸的對稱點在反射光線所在的直線上，故可設反射光線所在直線的方程為，即.由反射光線與圓相切得，解得或，反射光線所在直線的方程是或，即或.變式2：（2003年全國卷）已知長方形的四個頂點、和，一質點從的中點沿與夾角為的方向射到上的點后，依次反射到、和上的點、和（入射角等于反射角）.設的坐標為.若，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D.解：用特例法，取，則、分別為、的中點，此時.依題意，包含的選項（A）（B）（D）應排除，故選（C）.變式3：已知點，在直線上求一點P，使最

7、小.解：由題意知，點A、B在直線的同一側.由平面幾何性質可知，先作出點關于直線的對稱點，然后連結，則直線與的交點P為所求.事實上，設點是上異于P的點，則.設，則，解得，直線的方程為.由，解得，.8.（人教A版必修2第144頁A組 3）求以為圓心，并且與直線相切的圓的方程.變式1：（2006年重慶卷）過坐標原點且與圓相切的直線的方程為（ ）A.或 B.或C.或 D.或解：設直線方程為，即.圓方程可化為，圓心為（2，-1），半徑為.依題意有，解得或，直線方程為或，故選（A）.變式2：（2006年湖北卷）已知直線與圓相切，則的值為 .解：圓的圓心為（1，0），半徑為1，解得或.變式3：求經(jīng)過點，且與

8、直線和都相切的圓的方程.解：設所求圓的方程為，則，解得或，圓的方程為或.9.（人教A版必修2 第144頁 A組 第5題）求直線被圓截得的弦的長.變式1：（1999年全國卷）直線截圓得的劣弧所對的圓心角為（ ）A. B. C. D.解：依題意得，弦心距，故弦長，從而OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為，故選（C）.變式2：（2006年天津卷）設直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，則 .解：由弦心距、半弦長、半徑構成直角三角形，得，解得.變式3：已知圓，直線.（1）求證：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點；（2）求直線被圓截得的弦長最小時的方程.解：（1）直線恒過定點，且，點在圓內，直線與

9、圓恒交于兩點.（2）由平面幾何性質可知，當過圓內的定點的直線垂直于時，直線被圓截得的弦長最小，此時，所求直線的方程為即.10.（北師大版必修2第117頁A組 第14題）已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關系.變式1：（2006年安徽卷）直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D.解：依題意有，解得.，故選（A）.變式2：（2006年湖北卷）若直線與圓有兩個不同的交點，則的取值范圍是 .解：依題意有，解得，的取值范圍是.變式3：若直線與曲線有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.解：曲線表示半圓，利用數(shù)形結合法，可得實數(shù)的取值范圍是或.11.（北師大版必修2第101頁例8）判

10、斷圓與圓的位置關系，并畫出圖形.變式1：（1995年全國卷）圓和圓的位置關系是（ ）A.相離 B.外切 C.相交 D.內切解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，.，兩圓相交，故選（C）.變式2：若圓與圓相切，則實數(shù)的取值集合是 .解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，或，或，解得或，或或，實數(shù)的取值集合是.變式3：求與圓外切于點，且半徑為的圓的方程.解：設所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.兩圓外切于點，所求圓的方程為.12.（人教A版必修2 第145頁B組第2題）已知點，點在圓上運動，求的最大值和最小值.變式1：（2006年湖南卷）圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是（ ）

11、A.36 B.18 C. D.解：圓的圓心為（2，2），半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是，故選（C）.變式2：已知，點在圓上運動，則的最小值是 .解：設，則.設圓心為，則，的最小值為.變式3：已知點在圓上運動.（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.解：（1）設，則表示點與點（2，1）連線的斜率.當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.（2）設，則表示直線在軸上的截距. 當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.13.（人教A版必修2第135頁B組第3題）已知點與兩個定點，的

12、距離的比為，求點的軌跡方程.變式1：（2006年四川卷）已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的面積等于（ ）A. B. C. D.解：設點的坐標是.由，得，化簡得，點的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，所求面積為，故選（B）.變式2：（2004年全國卷）由動點向圓引兩條切線、，切點分別為、，=600，則動點的軌跡方程是 .解：設.=600，=300.，化簡得，動點的軌跡方程是.變式3：（2003年北京春季卷）設為兩定點，動點到點的距離與到點的距離的比為定值，求點的軌跡.解：設動點的坐標為.由，得，化簡得.當時，化簡得，整理得；當時，化簡得.所以當時，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；

13、當時，點的軌跡是軸.14.（人教A版必修2第133頁例5）已知線段的端點的坐標是（4，3），端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.變式1：已知定點，點在圓上運動，是線段上的一點，且，則點的軌跡方程是（ ）A. B.C. D.解：設.，.點在圓上運動，即，點的軌跡方程是，故選（C）.變式2：已知定點，點在圓上運動，的平分線交于點，則點的軌跡方程是 .解：設.是的平分線， .由變式1可得點的軌跡方程是.變式3：已知直線與圓相交于、兩點，以、為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡方程.解：設，的中點為.是平行四邊形，是的中點，點的坐標為，且.直線經(jīng)過定點，化簡得.點的軌跡方程是.15.（人教A版必修2第1

14、44頁練習第3題）某圓拱橋的水面跨度20，拱高4.現(xiàn)有一船寬10，水面以上高3，這條船能否從橋下通過？變式1：某圓拱橋的水面跨度是20，拱高為4.現(xiàn)有一船寬9，在水面以上部分高3，故通行無阻.近日水位暴漲了1.5，為此，必須加重船載，降低船身.當船身至少應降低 時，船才能通過橋洞.（結果精確到0.01）解：建立直角坐標系，設圓拱所在圓的方程為.圓經(jīng)過點（10，0），（0，4），解得.圓的方程是. 令，得.故當水位暴漲1.5后，船身至少應降低，船才能通過橋洞.變式2：據(jù)氣象臺預報：在城正東方300的海面處有一臺風中心，正以每小時40的速度向西北方向移動，在距臺風中心250以內的地區(qū)將受其影響.從現(xiàn)在起經(jīng)過約 ，臺風將影響城，持續(xù)時間約為 .（結果精確到0.1）解：以為原點，正東方向所在直線為軸，建立直角坐標系，則臺風中心的移動軌跡是，受臺風影響的區(qū)域邊界的曲線方程是.依題意有，解得.從現(xiàn)在起經(jīng)過約2.0，臺風將影響城，持續(xù)時間約為6.6.變式3：有一種商品，、兩地均有出售，且兩地價格相同.某地區(qū)的居民從兩地購買此種商品后往回販運時，單位距離的運費地是地的3倍.已知、兩地的距離是10，顧客購買這種商品選擇地或