2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形4.4函數(shù)y=Asinωxφ的圖象及應(yīng)用學(xué)案文含解析新人教A版

1、4.4函數(shù)y=asin(x+)的圖象及應(yīng)用必備知識(shí)預(yù)案自診知識(shí)梳理1.y=asin(x+)的有關(guān)概念y=asin(x+)(a0,0),x0,+)振幅周期頻率相位初相at=2f=1t=2x+2.用五點(diǎn)法畫(huà)y=asin(x+)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí),要找出的五個(gè)特征點(diǎn)如下表所示x0-2-32-2-x+02322y=asin(x+)0a0-a03.由y=sin x的圖象得y=asin(x+)(a0,0)的圖象的兩種方法y=asin(x+)(a0,0)的圖象的作法:(1)五點(diǎn)法:用“五點(diǎn)法”作y=asin(x+)的簡(jiǎn)圖,主要是通過(guò)變量代換,設(shè)z=x+,由z取0,2,32,2來(lái)求出相應(yīng)的x,通過(guò)列表,計(jì)算

2、得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象.(2)圖象變換法:由函數(shù)y=sin x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)=asin(x+)的圖象,有兩種主要途徑“先平移后伸縮”(即“先后”)與“先伸縮后平移”(即“先后”).考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)把y=sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12,縱坐標(biāo)不變,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin12x.()(2)將y=sin 2x的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=sin2x-3的圖象.()(3)函數(shù)f(x)=asin(x+)(a0)的最大值為a,最小值為-a.()(4)如果y=acos(x+)的最小正周期為t,那么函數(shù)圖象的兩

3、個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為t2.()(5)若函數(shù)y=asin(x+)為偶函數(shù),則=2k+2(kz).()2.若將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度,則平移后圖象的對(duì)稱軸為()a.x=k2-6(kz)b.x=k2+6(kz)c.x=k2-12(kz)d.x=k2+12(kz)3.(2020河南開(kāi)封三模,理6)為了得到函數(shù)y=2(sin 2x+cos 2x)的圖象,只需把函數(shù)y=2sin 2x圖象上所有的點(diǎn)()a.向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度b.向左平移8個(gè)單位長(zhǎng)度c.向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度d.向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度4.(2020安徽馬鞍山二模,6)函數(shù)f(x)=sinx+6的圖象平移后對(duì)應(yīng)函

4、數(shù)g(x)=sinx+6+的圖象,若g(x)為偶函數(shù),則|的最小值為()a.6b.3c.23d.565.(2020江蘇,10)將函數(shù)y=3sin2x+4的圖象向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度,則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是.關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)函數(shù)y=asin(x+)的圖象及變換【例1】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)=asin(x+)0,|0)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,若y=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為512,0,求的最小值.解題心得1.函數(shù)y=asin(x+)(a0,0)的圖象的兩種作法:(1)五點(diǎn)法:用“五點(diǎn)法”作y=asin(x+)的簡(jiǎn)圖,主要是通過(guò)變量代換,設(shè)z=x+,由z

5、取0,2,32,2來(lái)求出相應(yīng)的x,通過(guò)列表,計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象.(2)圖象變換法:由函數(shù)y=sinx的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)=asin(x+)的圖象,有兩種主要途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.2.變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移,對(duì)于后者可利用x+=x+來(lái)確定平移單位.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)y=2sin2x+3.(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y在一個(gè)周期內(nèi)的圖象;(3)說(shuō)明y=2sin2x+3的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到.考點(diǎn)求函數(shù)y=asin(x+)的解析式(多考向探究)考向1由函數(shù)的圖象求函數(shù)y=as

6、in(x+)的解析式【例2】(1)(2020山東菏澤一模,11)已知函數(shù)f(x)=asin(x+4)a0,0,00,0,|0,0)的解析式的步驟和方法:(1)求a,b:確定函數(shù)的最大值m和最小值m,則a=m-m2,b=m+2.(2)求:確定函數(shù)的最小正周期t,則可得=2t.(3)求:把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入來(lái)求.尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)來(lái)求,具體如下:“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí),x+=0;“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí),x+=2;“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí),x+=;“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí),x+=32;“第五點(diǎn)”時(shí),x+=2.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2020全

7、國(guó)百?gòu)?qiáng)名校聯(lián)考,理10)函數(shù)f(x)=acos(x+)a0,0,|0,0,|0,0)只能同時(shí)滿足下列條件中的兩個(gè):函數(shù)f(x)的最大值為2,函數(shù)f(x)的圖象可由y=2sinx-4的圖象平移得到,函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為2.(1)請(qǐng)寫(xiě)出這兩個(gè)條件的序號(hào),并求出f(x)的解析式;(2)求方程f(x)+1=0在區(qū)間-,上所有解的和.解題心得由函數(shù)y=asin(x+)的性質(zhì)確定其解析式的方法:由函數(shù)的最值確定a,由函數(shù)的周期性確定,由函數(shù)的奇偶性或?qū)ΨQ性確定.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2020北京東城一模,17)已知函數(shù)f(x)=asin2x-6-2cos2x+6(a0),且滿足.(1)求函數(shù)

8、f(x)的解析式及最小正周期;(2)若關(guān)于x的方程f(x)=1在區(qū)間0,m上有兩個(gè)不同解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.從f(x)的最大值為1,f(x)的圖象與直線y=-3的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)6,0這三個(gè)條件中選擇一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.考點(diǎn)函數(shù)y=asin(x+)的模型的應(yīng)用【例4】(2021河南高三質(zhì)檢,15)筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.假定在水流穩(wěn)定的情況下,筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如圖,將筒車(chē)抽象為一個(gè)幾何圖形(圓),筒車(chē)的半徑為4 m,筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心o到水面的距離為2 m,筒車(chē)每分鐘沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)4圈.規(guī)定:盛水筒m對(duì)應(yīng)的點(diǎn)p從水中浮現(xiàn)(

9、即p0時(shí)的位置)時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間,且以水輪的圓心o為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)o的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy.設(shè)盛水筒m從點(diǎn)p0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t(單位:s),且此時(shí)點(diǎn)p距離水面的高度為h(單位:m),則h與t的函數(shù)關(guān)系式為,點(diǎn)p第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間為s.解題心得三角函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中的2種類型及解題策略1.已知函數(shù)模型,利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題,其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則;2.把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立三角函數(shù)模型,再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題,其關(guān)鍵是建模.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上,

10、按月呈f(x)=asin(x+)+ba0,0,|0,0)的單調(diào)區(qū)間的確定,基本思想是把(x+)看作一個(gè)整體,若0.4.4函數(shù)y=asin(x+)的圖象及應(yīng)用必備知識(shí)預(yù)案自診知識(shí)梳理1.x+2.023.|考點(diǎn)自診1.(1)(2)(3)(4)(5)2.b由題意可知,將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度得y=2sin2x+12=2sin2x+6的圖象,令2x+6=2+k(kz),得x=k2+6(kz).故選b.3.b由題得,y=2(sin2x+cos2x)=2sin2x+4=2sin2x+8,故選b.4.b因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=sinx+6+為偶函數(shù),所以6+=k+2(kz),解得=k+3

11、(kz).當(dāng)k=0時(shí),=3,即|的最小值為3.5.x=-524將函數(shù)y=3sin2x+4的圖象向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=3sin2x-6+4=3sin2x-12的圖象.由2x-12=2+k,kz,得平移后的對(duì)稱軸的方程為x=724+k2,kz.當(dāng)k=0時(shí),x=724,當(dāng)k=-1時(shí),x=-524.所以與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是x=-524.關(guān)鍵能力學(xué)案突破例1解(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得a=5,=2,=-6.數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整如下表x+02322x123712561312asin(x+)050-50函數(shù)解析式為f(x)=5sin2x-6.(2)由(1)知f(x)=5sin2x-6,得g(x)

12、=5sin2x+2-6.因?yàn)閥=sinx圖象的對(duì)稱中心為(k,0),kz,所以令2x+2-6=k,kz,解得x=k2+12-,kz.由于函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)512,0成中心對(duì)稱,令k2+12-=512,kz,解得=k2-3,kz.由0可知,當(dāng)k=1時(shí),取得最小值6.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1解(1)y=2sin2x+3的振幅a=2,周期t=22=,初相=3.(2)令x=2x+3,則y=2sin2x+3=2sinx.列表,x-612371256x=2x+302322y=2sin2x+3020-20描點(diǎn)畫(huà)圖得函數(shù)圖象,(3)把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=sinx+3的圖象,

13、再把y=sinx+3的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sin2x+3的圖象,最后把y=sin2x+3上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變),即可得到y(tǒng)=2sin2x+3的圖象.例2(1)c(2)a(1)由圖可知,a=2,t4=,所以t=4=2,解得=12,故f(x)=2sin12x+4.因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)c(0,1),所以1=2sin4,即sin4=12.因?yàn)?8,所以042,所以4=6,則f(x)=2sin12x+6,故a選項(xiàng)正確;若其縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的14,所得到的函數(shù)解析式為y=2sin2x+6,再向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度,所得到的函數(shù)解析式g(x)=2s

14、in2x-6+6=2sin2x-6,故b選項(xiàng)正確;當(dāng)x=-3時(shí),f-3=2sin0=0,則x=-3不是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,故c選項(xiàng)錯(cuò)誤;令2k-22x-62k+2(kz),得k-6xk+3(kz),故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k-6,k+3(kz),當(dāng)k=1時(shí),g(x)在區(qū)間56,43上單調(diào)遞增,故d選項(xiàng)正確.(2)由題圖知,a=2,周期t=23-6=,所以=2=2,y=2sin(2x+).(方法1)因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)3,2,所以2=2sin23+.所以23+=2k+2(kz).因?yàn)閨2,故令k=0,得=-6,所以y=2sin2x-6,故選a.(方法2)因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)-6,-2,所

15、以-2=2sin2-6+,所以2-6+=2k-2,kz,即=2k-6,kz.因?yàn)閨2,故令k=0,得=-6,所以y=2sin2x-6.故選a.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)a(2)d(1)由圖象可知a=2,t=4512-6=,則=2=2,當(dāng)x=6時(shí),函數(shù)取得最大值,所以26+=k,kz,因?yàn)閨2,所以=-3,故選a.(2)由圖象可得a=2,最小正周期t=4712-3=,則=2t=2.由f712=2sin76+=-2,|0,所以函數(shù)f(x)的最大值和最小值分別為a,-a-2.若選,則a=1,函數(shù)f(x)=2sin2x-6-1;若選,則-3為函數(shù)f(x)的最小值,從而a=1,函數(shù)f(x)=2sin2x-6-1;若選,則(a+1)sin26-6-1=0,從而a=1,函數(shù)f(x)=2sin2x-6-1.(2)由(1)知,函數(shù)f(x)的最大值為1.因?yàn)殛P(guān)于x的方程f(x)=1在區(qū)間0,m上有兩個(gè)不同解,當(dāng)x0,m時(shí),2x-