等比數(shù)列前n項和二

1、等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項和項和等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項和的性質：項和的性質：qssnnn 奇奇偶偶則則，等等比比數(shù)數(shù)列列中中，若若項項數(shù)數(shù)為為),(2. 1*成成等等比比數(shù)數(shù)列列kkkkksssss232,. 2 的的值值。求求若若項項和和為為的的前前設設等等比比數(shù)數(shù)列列qssssnann,2,. 1963 性質應用：性質應用：的的值值。求求若若項項和和為為的的前前設設等等比比數(shù)數(shù)列列41248,3,. 2sssssnann 性質應用：性質應用：。求求通通項項，項項中中數(shù)數(shù)值值最最大大項項為為在在前前項項和和前前項項和和為為的的前前設設正正項項等等比比數(shù)數(shù)列列nnnnansnsna54

2、,65602,80. 32 最值問題：最值問題：取值范圍。取值范圍。的的的公比的公比，求，求中最大值，且中最大值，且數(shù)列數(shù)列項和組成的項和組成的是它的前是它的前項和項和的前的前如果數(shù)列如果數(shù)列，設，設是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，若若qasssnsbnnbaannnannn7)(log8. 4877*21 最值問題：最值問題：(n+2)sn=n(sn+1- -sn). 證證: (1)an+1=sn+1- -sn, 又又 an+1= sn, n+2n整理得整理得 nsn+1=2(n+1)sn. n+2nsn+1- -sn= sn,sn nsn+1n+1 =2 . 5.數(shù)列數(shù)列 an 的前的前 n 項和

3、記為項和記為 sn, 已知已知 a1=1, an+1= sn(n=1, 2, 3,), 證明證明: (1)數(shù)列數(shù)列 是等比數(shù)列是等比數(shù)列; (2) sn+1=4an.n+2nsn nsn n 是以是以 1 為首項為首項, 2 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列. (2)由由(1)知知 =4 (n2),sn+1n+1sn- -1n- -1于是于是 sn+1=4(n+1) =4an(n2),sn- -1n- -1又又 a2=3s1=3a1=3, 故故 s2=a1+a2=4=4a1.因此對于任意正整數(shù)因此對于任意正整數(shù) n, 都有都有 sn+1=4an. 3.設設 an 為等比數(shù)列為等比數(shù)列, tn=

4、na1+(n- -1)a2+2an- -1+an, 已知已知 t1= 1, t2=4. (1)求數(shù)列求數(shù)列 an 的首項和公比的首項和公比; (2)求數(shù)列求數(shù)列 tn 的通項公的通項公式式.解解: (1)設設等比數(shù)列等比數(shù)列 an 的公比為的公比為 q, 則則: t1=a1, t2=2a1+a2. 又又 t1=1, t2=4, a1=1, 2a1+a2=4a2=2. q=2.數(shù)列數(shù)列 an 的首項為的首項為 1, 公比為公比為 2.(2)解法解法1 由由(1)知知: a1=1, q=2, an=2n- -1.tn=n 1+(n- -1) 2+(n- -2) 22+2 2n- -2+1 2n-

5、-1. 2tn=n 2+(n- -1) 22+(n- -2) 23+2 2n- -1+1 2n. tn=- -n+2+22+2n- -1+2n =2n+1- -n- -2. 解法解法2 設設 sn=a1+a2+an. an=2n- -1, sn=2n- -1. tn=na1+(n- -1)a2+2an- -1+an=a1+(a1+a2)+(a1+a2+a3)+(a1+a2+an)=s1+s2+sn=2+22+2n- -n=2n+1- -n- -2. 4.在公差為在公差為 d( (d 0) ) 的等差數(shù)列的等差數(shù)列 an 和公比為和公比為 q 的等比數(shù)列的等比數(shù)列 bn 中中, 已知已知 a1=

6、b1=1, a2=b2, a8=b3, (1)求求 d, q 的值的值; (2)是否存在是否存在常數(shù)常數(shù)a, b, 使得對于一切正整數(shù)使得對于一切正整數(shù) n, 都有都有 an=lgabn+b 成立成立? 若存若存在在, 求出求出 a 和和 b, 若不存在若不存在, 說明理由說明理由.解解: (1)a1=b1=1, a2=b2, a8=b3, d 0, 解得解得 d=5, q=6. 故故 d, q 的值分別為的值分別為 5, 6. 1+d=q 且且 1+7d=q2. (2)由由(1)及已知得及已知得 an=5n- -4, bn=6n- -1. 假設假設存在常數(shù)存在常數(shù) a, b, 使使得對于一切

7、正整數(shù)得對于一切正整數(shù) n, 都有都有 an=lgabn+b 成立成立, 則則 5n- -4=loga6n- -1+b 對一切正整數(shù)對一切正整數(shù) n 都成立都成立. 即即 5n- -4=nloga6+b- -loga6 對一切正整數(shù)對一切正整數(shù) n 都成立都成立. loga65, b- -loga6=- -4. a= 6 , b=1. 5 故故存在常數(shù)存在常數(shù) a, b, 它們的值分別為它們的值分別為 6 , 1, 使得對于一切正整使得對于一切正整數(shù)數(shù) n, 都有都有 an=lgabn+b 成立成立. 5 5.設設 sn 為數(shù)列為數(shù)列 an 的前的前 n 項和項和, 且滿足且滿足 2sn=3(

8、an- -1), (1)證明證明數(shù)列數(shù)列 an 是等比數(shù)列并求是等比數(shù)列并求 sn; (2)若若 bn=4n+5, 將數(shù)列將數(shù)列 an 和和 bn的公共項按它們在原數(shù)列中的順序排成一個新的數(shù)列的公共項按它們在原數(shù)列中的順序排成一個新的數(shù)列 dn, 證證明明 dn 是等比數(shù)列并求其通項公式是等比數(shù)列并求其通項公式.證證: (1)由已知由已知 a1=3, 當當 n2 時時, an=sn- -sn- -1.2an=2(sn- -sn- -1)=2sn- -2sn- -1=3(an- -an- -1) an=3an- -1. 故故數(shù)列數(shù)列 an 是首項與公比均為是首項與公比均為 3 的等比數(shù)列的等比數(shù)

9、列.從而從而 an=3n, sn= (3n+1- -3).12(2)易知易知 d1=a2=b1=9. 設設 dn 是是 an 中的第中的第 k 項項, 又又是是 bn 中的中的第第 m 項項, 即即 dn=3k=4m+5. ak+1=3k+1=3(4m+5)=4(3m+3)+3 不不是數(shù)列是數(shù)列 bn 中的項中的項, 而而 ak+2=3k+2=9(4m+5)=4(9m+10)+5 是是bn的第的第(9m+10)項項, dn+1=ak+2=3k+2.dn+1 dn 由由=9 知知: dn 是首項與公比均為是首項與公比均為 9 的等比數(shù)列的等比數(shù)列, 故故 dn=9n. 2 111 6.an, b

10、n 都是各項為正的數(shù)列都是各項為正的數(shù)列, 對于任意的自然數(shù)對于任意的自然數(shù) n, 都有都有 an, bn, an+1 成等差數(shù)列成等差數(shù)列, bn, an+1, bn+1成等比數(shù)列成等比數(shù)列. (1)求證求證 bn 是是等差數(shù)列等差數(shù)列; (2)如果如果 a1=1, b1= 2 , sn= + + , 求求 sn.2 2 a1 a2 an an0, bn0, 由式得由式得 an+1=bn bn+1.(1)證證: 依題意有依題意有: 2bn=an+an+1, an+1=bn bn+1. 2222從而從而當當 n2 時時, an=bn- -1 bn, 代入得代入得 2bn=bn- -1 bn+bn bn+1.22bn=bn- -1+bn+1(n2). bn 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. (2)解解: 由由 a1=1, b1= 2 及兩式易得及兩式易得 a2=3, b2= 2.