三向量的雙重向量積

1、解析幾何http:/1.101.10三向量的雙重向量積三向量的雙重向量積解析幾何http:/解析幾何http:/定義定義1: 給定空間三向量，給定空間三向量，先作先作其中兩個(gè)向量的其中兩個(gè)向量的向量積向量積，再作再作所得向量與第三個(gè)向量的所得向量與第三個(gè)向量的向量積向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一個(gè)那么最后的結(jié)果仍然是一個(gè)向量向量，叫做所給，叫做所給三向三向量的雙重向量積量的雙重向量積。a bc , ,a b c 就是向量 的 雙重向量積一、雙重向量積的概念一、雙重向量積的概念解析幾何http:/雙重向量積的幾何關(guān)系雙重向量積的幾何關(guān)系()a ba bc ()abc()a baba二、雙重向量積

2、的性質(zhì)二、雙重向量積的性質(zhì)()a bb解析幾何http:/定理定理1.a bca c bb c a 2a b ca bca ba b ca bcaabaaba b a.(1)aba a ba babaab22 證：若 ， 中有一個(gè)為零向量，或 ，共線，或 與 ，都垂直，定理顯然成立.現(xiàn)在設(shè) ， 為三個(gè)非零向量，且 ，不共線，為了證明1.10.1成立，先來證明當(dāng)時(shí)成立，即有（）（） （）由于（）， ，共面，而 ，不共線，從而可設(shè)（），（ ）（ ）式2222a baa b0a bbaba ba21 兩邊先后與 ，作數(shù)量積得 （） （），（） （）（），于是解得=-，代入（ ）式即得（ ）式成立.1

3、.10.1解析幾何http:/22aa b ba bba （ ）+（）（）+（ ）aaba b bbaba b a （）（）a cbb c a . （）22aba bcaba ba bca baba ba bab ab .1a bca ba bab aa b b 下證1.10.1成立，因?yàn)椋?， 不共面，故可設(shè)，從而有（）（）（）（）利用（）式可得（）（ ）（ ）（ ）（ ）解析幾何http:/abcabcabcbcacbaa c ba b c.(1.10.2)0.2abcabc 需要注意的是，在一般情況下（）（）.事實(shí)上，（） （）（）（） （）比較（）和（）可知（） 和

4、（）在一般情況下是兩個(gè)不同的向量，因此向量積不滿足結(jié)合律.解析幾何http:/ a aa ba babb ab b 拉格朗日恒等式拉格朗日恒等式對(duì)任意對(duì)任意4 4個(gè)向量，有個(gè)向量，有abaaba(a a )b(b a )a(a a )(b)(a)(b a ).bbbbb證 ： （） （） =（）解析幾何http:/例例1 試證雅可比試證雅可比（jacobi）恒等式）恒等式0a bcb cacab b,abca c bb c abcaaca c bcabb c aa b c 證 ： 因 為，0.abcbcacab三式相加可得解析幾何http:/ a bababb aaba baa b bba b a 例例2 證明證明證明：設(shè)()abe,則()( )( )ababeab () () e b ae a b () () abb aaba b ()() abbaaba