第一部分誤差分析與數(shù)據(jù)分析教學(xué)課件

1、第一章第一章 誤差分析與數(shù)據(jù)分析誤差分析與數(shù)據(jù)分析 第一節(jié)第一節(jié) 誤差分析誤差分析1.1 誤差的來(lái)源和分析誤差的來(lái)源和分析1 模型誤差模型誤差反映實(shí)際問(wèn)題有關(guān)量之間的計(jì)算公式，即數(shù)學(xué)模型，通常只是近似的。由此產(chǎn)生的數(shù)學(xué)模型的解與實(shí)際問(wèn)題的解之間的誤差，稱為模型誤差。2 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差數(shù)學(xué)模型中包含的某些參數(shù)(如時(shí)間、長(zhǎng)度、溫度等)往往通過(guò)觀測(cè)而獲得。由觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)與實(shí)際的數(shù)據(jù)之間的誤差，稱為觀測(cè)誤差。3 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計(jì)算方法如果是近似的方法，那么只能得到數(shù)學(xué)模型的近似解，由此產(chǎn)生的誤差，稱為截?cái)嗾`差或方法誤差。為簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)誤差不大時(shí)，去掉上式為簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)誤差不

2、大時(shí)，去掉上式右端的最后一項(xiàng)，得近似公式：右端的最后一項(xiàng)，得近似公式：1) 1()(2)!1()(!) 0(! 2) 0( ) 0( ) 0()( nnnnxnxfxnfxfxffxf, () 10如，由如，由taylor(泰勒泰勒)公式，函數(shù)公式，函數(shù)f(x)可表示為，可表示為，nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2 此近似公式的誤差就是截?cái)嗾`差。此近似公式的誤差就是截?cái)嗾`差。4 舍入誤差舍入誤差由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)以及運(yùn)算結(jié)果在計(jì)算機(jī)上存放會(huì)產(chǎn)生誤差，這種誤差稱為舍入誤差或計(jì)算誤差。如 1/3=0.333333333(1.000002)2-1

3、.000004=0在數(shù)值分析中，主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤在數(shù)值分析中，主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，而一般不考慮模型誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，而一般不考慮模型誤差和觀測(cè)誤差。差和觀測(cè)誤差。1.2 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差與有效數(shù)字絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差與有效數(shù)字設(shè)設(shè)a是準(zhǔn)確值是準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似值，記的一個(gè)近似值，記e=x-a稱稱e為近似值為近似值a的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。如果的的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。如果的一個(gè)上界已知，記為一個(gè)上界已知，記為 ，即，即 |e| 則則稱為近似值稱為近似值a的絕對(duì)誤差限或絕對(duì)誤差界，的絕對(duì)誤差限或絕對(duì)誤差界，簡(jiǎn)稱誤差限或誤差界。簡(jiǎn)稱誤差限或誤差界。準(zhǔn)確值 x、近似值

4、 a 和誤差限三者之間的關(guān)系如下： a-xa+ 或記為：x= a用絕對(duì)誤差來(lái)表示近似數(shù)的精確程度是有局限性的，因?yàn)樗鼪](méi)有反映出它在原數(shù)中的比例。 記erxaxxe稱 er為近似值 a 的相對(duì)誤差。由于 x 未知，實(shí)際上總把a(bǔ)e 作為 a 的相對(duì)誤差，并且也記為： eraaxae相對(duì)誤差一般用百分比表示。 er的上界，即：ar稱為近似值a的相對(duì)誤差限和相對(duì)誤差界，有rre。例 1 用最小刻度為毫米的卡尺測(cè)量直桿甲和直桿乙，分別讀出長(zhǎng)度a=312mm和b=24mm，問(wèn))(a、)(b、)(ar、)(br各 是 多 少？ 兩 桿的 實(shí)際 長(zhǎng) 度x和y的范 圍 ？解：)(a=)(b=0.5mm)(ar=

5、%16. 03125 . 0)(aa)(br=%08. 2245 . 0)(bb311.5mmx312.5mm23.5mmx24.5mm凡是由準(zhǔn)確值四舍五入而得到的近似值，其絕對(duì)誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位。定義 設(shè) a 是數(shù) x 的近似值，如果 a 的絕對(duì)誤差限是它的某一位的半個(gè)單位，并且從該位到它的第一位非零數(shù)字共有 n 位，則稱用 a 近似 x時(shí)具有 n 位有效數(shù)字。數(shù) a 可以寫(xiě)成如下形式： a=0.a1a2ak 10m其中 m 是整數(shù)，ai是 0 到 9 中的一個(gè)數(shù)字，a10。如果 a 作為 x 的近似值，且 )(a=2110m-n (nk)由定義可知，a 有 n 位有效數(shù)字 a

6、1,a2,an。有效數(shù)字越多，它的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差都越小。2.14 3 位有效數(shù)字2.1400 5 位有效數(shù)字準(zhǔn)確值的有效數(shù)值可以看作無(wú)限多位。下列近似值的誤差限都是 0.005，a=1.38, b=-0.0312, c=0.8610-4 問(wèn)各有幾位有效數(shù)字。解：解：3，1，0四則運(yùn)算結(jié)果的誤差估計(jì)四則運(yùn)算結(jié)果的誤差估計(jì)1.4 數(shù)值運(yùn)算中的一些原則數(shù)值運(yùn)算中的一些原則1 要有數(shù)值的穩(wěn)定性，即能控制舍入誤差的傳播要有數(shù)值的穩(wěn)定性，即能控制舍入誤差的傳播y0的舍入誤差傳給的舍入誤差傳給y1時(shí)，增加了時(shí)，增加了5倍，倍，到到y(tǒng)100時(shí)，增加了時(shí)，增加了5100另一算法，利用估計(jì)式：另一算法，利用估計(jì)式：2 防止大數(shù)吃小數(shù)防止大數(shù)吃小數(shù)3 盡量避免兩個(gè)相近的近似值相減，盡量避免兩個(gè)相近的近似值