桿在扭轉(zhuǎn)時的變形 · 剛度條件

1、1.1.圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形是用相對扭轉(zhuǎn)角圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形是用相對扭轉(zhuǎn)角 來度量的來度量的 3-5 桿在扭轉(zhuǎn)時的變形桿在扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度條件剛度條件(Torsional deformation of circular bars & stiffness condition)一、扭轉(zhuǎn)變形一、扭轉(zhuǎn)變形 (Torsional deformation)其中其中 d 代表相距為代表相距為 dx 的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角.長為長為 l 的一段桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角的一段桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角 可按下式計算可按下式計算pddGITx xGITllddp 2.2.單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)

2、角(Angle of twist per unit length) 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角GIp 稱作抗扭剛度稱作抗扭剛度 pTlGI () prad mTlGI 軸的扭轉(zhuǎn)剛度校核是計算的軸的工作時扭轉(zhuǎn)變形軸的扭轉(zhuǎn)剛度校核是計算的軸的工作時扭轉(zhuǎn)變形量，是用每米軸長的扭角度量的。軸的扭轉(zhuǎn)變形要量，是用每米軸長的扭角度量的。軸的扭轉(zhuǎn)變形要影響機器的性能和工作精度，如內(nèi)燃機凸輪軸的扭影響機器的性能和工作精度，如內(nèi)燃機凸輪軸的扭轉(zhuǎn)角過大，會影響氣門的正確啟閉時間；龍門式起轉(zhuǎn)角過大，會影響氣門的正確啟閉時間；龍門式起重機運動機構(gòu)傳動軸的扭轉(zhuǎn)角會影響驅(qū)動輪的同步重機運動機構(gòu)傳動軸的扭轉(zhuǎn)角會影響驅(qū)動輪的同步性；對有發(fā)

3、生扭轉(zhuǎn)振動危險的軸以及操縱系統(tǒng)中的性；對有發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動危險的軸以及操縱系統(tǒng)中的軸，都需要有較大的扭轉(zhuǎn)剛度。軸，都需要有較大的扭轉(zhuǎn)剛度。3.3.剛度條件剛度條件（Stiffness condition)max ()maxmaxprad mTGI 稱作許可單位長度扭轉(zhuǎn)角稱作許可單位長度扭轉(zhuǎn)角(Allowable angle of twist per unit length) 對于一般傳動軸，可取對于一般傳動軸，可取 0.50.5 1 1 o o/m/m ；對于；對于精密傳動軸，可取精密傳動軸，可取 0.250.25 0.50.5 o o/m/m；對于精度要；對于精度要求不高的軸，求不高的軸， 可大

4、于可大于1 1 o o/m/m 。例題例題5 圖示等直桿圖示等直桿, 已知直徑已知直徑d = 40mm, a = 400mm, 材料的剪切材料的剪切彈性模量彈性模量G = 80GPa，DB =1. 試求：試求：（1） AD桿的最大切應力桿的最大切應力;（2）扭轉(zhuǎn)角）扭轉(zhuǎn)角 CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：畫扭矩圖解：畫扭矩圖計算外力偶矩計算外力偶矩Me DB= CB+ DC =1Tmax= 3Me1180)2(pepe GIaMGIaM（1）AD桿的最大切應力桿的最大切應力MPa7 .69tmaxmax WT mkN292e M（2）扭轉(zhuǎn)角）扭轉(zhuǎn)角 CA33. 218

5、0)23(pepe GIaMGIaMCBBACA aa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例題例題6 某汽車的主傳動軸某汽車的主傳動軸 是用是用 40 號鋼的電焊鋼管制成號鋼的電焊鋼管制成, 鋼管鋼管外徑外徑 D = 76mm, 壁厚壁厚d d 2.52.5mm, 軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸傳遞的轉(zhuǎn)矩 Me=1.98kNm,材料的許用切應力材料的許用切應力 = 100MPa, 切變模量為切變模量為 G = 80GPa,軸的許可扭角軸的許可扭角 = 2/m . 試校核軸的強度和剛度試校核軸的強度和剛度.Ddd dMeMe解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸的內(nèi)、外徑之比軸的內(nèi)

6、、外徑之比由強度條件由強度條件 由剛度條件由剛度條件.20 934d d dDDD34ptmm1006. 22/ DIWMPa1 .96tmaxmax WT().4454p17 83 10 mm32DI ./ maxmaxp1801 81mTGImkN98. 1e MTDdd dMeMe將空心軸改為同一材料的實心軸將空心軸改為同一材料的實心軸, 仍使仍使 max= 96.1MPad = 47.2mm實心軸的直徑為實心軸的直徑為兩軸材料、長度均相同兩軸材料、長度均相同, 故兩軸重量比等于兩軸的橫截面積比故兩軸重量比等于兩軸的橫截面積比，在最大切應力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸輕在最大切應力相等

7、的情況下空心圓軸比實心圓軸輕, 即節(jié)省材料即節(jié)省材料.MPa1 .9616/3maxmax dT 其截面面積為其截面面積為22mm17494 dA實實空心軸的截面面積為空心軸的截面面積為222mm5774)7176( 空空A329. 0174957712 AA例題例題7 兩端固定的圓截面桿兩端固定的圓截面桿AB, 在截面在截面C 處受一個扭轉(zhuǎn)力偶矩處受一個扭轉(zhuǎn)力偶矩 Me 的作用的作用, 如圖所示如圖所示.已知桿的抗扭剛度已知桿的抗扭剛度 GIp, 試求桿兩端的支反試求桿兩端的支反力偶矩力偶矩.CMeabABl解解:去掉約束去掉約束,代之以約束反力偶矩代之以約束反力偶矩 這是一次超靜定問題這是

8、一次超靜定問題,須建立一個補充方程須建立一個補充方程 ACBMeMeAMeB C 截面相對于兩固定端截面相對于兩固定端A和和B的相對扭轉(zhuǎn)角相等的相對扭轉(zhuǎn)角相等. .桿的變形相容條件是桿的變形相容條件是00eee MMMMBAxCMeabABlCMeabABl（1 1）變形幾何方程）變形幾何方程（2 2）由物理關系建立補充方程）由物理關系建立補充方程解得解得BCAC 1ppACT aM aGIGI e eA APeP2GIbMGIbTBBC baMMABee 0eee MMMBAlMaMlMbMBA/ee ACBMeMeAMeBAC= BC例題例題8 圖圖 示一長為示一長為 l 的組合桿的組合桿

9、, 由不同材料的實心圓截面桿和空心圓截面桿組由不同材料的實心圓截面桿和空心圓截面桿組成成, 內(nèi)外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作內(nèi)外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作, 其抗扭剛度其抗扭剛度 GaIpa 、GbIpb . 當此組當此組合桿的兩端各自固定在剛性板上合桿的兩端各自固定在剛性板上, 并在剛性板處受一對矩為并在剛性板處受一對矩為 Me 的扭轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)力偶的作用試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩力偶的作用試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩.MeMelAB解：列平衡方程解：列平衡方程這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題. 變形相容條件是內(nèi)、外桿變形相容條件是內(nèi)、外桿的扭轉(zhuǎn)變形應相同的扭轉(zhuǎn)變形應相同.變形幾何方程是變形幾何方程是e0 xabMMMMBA 物理關系是物理關系是ppabABaabbM lM lG IG I MeMeMelABMaMb代入變形幾何方程代入變形幾何方程,得補充方程得補充方程ppaaabbbG IMMG IpppaaaaabbG IMG IG IpppbbbaabbG IMG IG IMbMaMeBA MeMelABSUMMARY Theorem of com