小學(xué)奧數(shù)精彩講座總匯40篇[四卷之二]

1、文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！第 11 講 立體圖形各種涉及長(zhǎng)方體、立方體、圓柱、圓錐等立體圖形表面積與體積的計(jì)算問(wèn)題，解題時(shí)考慮沿某個(gè)方向的投影常能發(fā)揮明顯的作用. 較為復(fù)雜的是與剪切、拼接、染色等相關(guān)聯(lián)的立體幾何問(wèn)題.第六屆：“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽第12 題（略有改動(dòng)）1 用棱長(zhǎng)是1 厘米的立方塊拼成如圖11-1 所示的立體圖形，問(wèn)該圖形的表面積是多少平方厘米?【分析與解】顯然，圖 11-1 的圖形朝上的面與朝下的面的面積相等，都等于33=9 個(gè)小正方形的面積，朝左的面和朝右的面的面積也相等，等于7 個(gè)小正方形的面積；朝前的面和朝后的面的面積也相等，都等于 7 個(gè)小正方形的面

2、積，因此，該圖形的表面積等于(9+7+7) 2=46個(gè)小正方形的面積，而每個(gè)小正方形面積為 l 平方厘米，所以該圖形表面積是46 平方厘米2如圖 11-2 ，有一個(gè)邊長(zhǎng)是5 的立方體，如果它的左上方截去一個(gè)邊分別是5，3， 2 的長(zhǎng)方體，那么它的表面積減少了百分之幾?【分析與解】原來(lái)正方體的表面積為 5 56=150現(xiàn)在立體圖形的表面積截了兩個(gè)面向我們的側(cè)面，它們的面積為(3 2) 2=12，12150=0.08=8 即表面積減少了百分之八3如圖 11-3 ，一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長(zhǎng)l 米，沿水平方向?qū)⑺彸? 片，每片又鋸成4 長(zhǎng)條，每條又鋸成5 小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體60 塊那么，

3、這60 塊長(zhǎng)方體表面積的和是多少平方米?1文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】我們知道每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的2 個(gè)面的面積現(xiàn)在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方體一個(gè)面的面積1l= 1( 平方米 ) ，所以表面積增加了 921=18(平方米 ) 原來(lái)正方體的表面積為61=6( 平方米 ) ，所以現(xiàn)在的這些小長(zhǎng)方體的表積之和為6+18=24( 平方米 ) 4圖 11-4 中是一個(gè)邊長(zhǎng)為4 厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個(gè)邊長(zhǎng)l 厘米的正方體，做成一種玩具它的表面積是多少平方厘米?【分析與解】原正方體的表面積是446=96

4、(平方厘米) 每一個(gè)面被挖去一個(gè)邊長(zhǎng)是1 厘米的正方形，同時(shí)又增加了5 個(gè)邊長(zhǎng)是1 厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分總的來(lái)看，每一個(gè)面都增加了4 個(gè)邊長(zhǎng)是1 厘米的正方形從而，它的表面積是96+46=120 平方厘米5圖 11-5 是一個(gè)邊長(zhǎng)為2 厘米的正方體在正方體的上面的正中向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為1 厘米的正方體小間；接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為1 厘米的小洞；第三個(gè)小洞的挖法與前兩個(gè)相同，邊長(zhǎng)2為 1 厘米那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米?4【分析與解】因?yàn)槊客谝淮?，都在原?lái)的基礎(chǔ)上，少了1 個(gè)面，多出了5 個(gè)面，即增加了4 個(gè)面所以，最后得到的立體圖形的表面積是：

5、2文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！226+1l 4+1 1 4+ 1 1 4=29.25( 平方厘米 ) 22446有大、中、小3 個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長(zhǎng)分別是6 米、 3 米、 2 米把兩堆碎石分別沉沒(méi)在中、小水池的水里，兩個(gè)水池的水面分別升高了6 厘米和 4 米如果將這兩堆碎石都沉沒(méi)在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米【分析與解】放在中水池里的碎石的體積為330.06 ： 0.54 立方米；放在小水池里的碎石的體積為220.04=0.16立方米；則兩堆碎石的體積和為0.54+0.16=0.7立方米，現(xiàn)在放到底面積為66= 36 平方米的大水池中，則使大水池的水面升高0.7 36

6、=7米= 700 厘米 =117 厘米360360187如圖 11-6 ，從長(zhǎng)為 13 厘米，寬為9 厘米的長(zhǎng)方形硬紙板的四角去掉邊長(zhǎng)2 米的正方形，然后，沿虛線折疊成長(zhǎng)方體容器這個(gè)容器的體積是多少立方厘米?【分析與解】容器的底面積是(13- 4) (9 -4)=45( 平方厘米 ) ，高為 2 厘米，所以容器得體積為：452=90(立方厘米) 8 今有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為 21 厘米、 15 厘米、 12 厘米的長(zhǎng)方體現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個(gè)正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個(gè)正方體，最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大的切下一個(gè)正方體問(wèn)剩下的體積是多少立方厘米?【分析與解】本題首

7、先要確定三次切下的正方體的棱長(zhǎng)，因?yàn)?1：15：12=7：5：4，為了敘述方便，我們先考慮長(zhǎng)、寬、高分別為7 厘米、 5 厘米、 4 厘米的長(zhǎng)方體 .易知第一次切下的正方體的棱長(zhǎng)應(yīng)為4 厘米，第二次切下的正方體棱長(zhǎng)為3 厘米時(shí)符合要求，第三次切下的正方體的棱長(zhǎng)為2 厘米時(shí)符合要求于是，在長(zhǎng)、寬、高分別為21 厘米、 15 厘米、 12 厘米的長(zhǎng)方體中，第一、二、三次切下的正方體的棱長(zhǎng)為 12 厘米、 9 厘米、 6 厘米所以剩下的體積應(yīng)為：21 1512-( 1239363 )=1107( 立方厘米 ) 3文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！9 如圖 11-7 ，有一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，它們的高和

8、底面直徑都標(biāo)在圖上，單位是厘米那么，圓錐體積與圓柱體積的比是多少 ?【分析與解】圓錐的體積是 122416, ，圓柱的體積是 4281283163所以，圓錐體積與圓柱體積的比是:1281: 24.310 張大爺去年用長(zhǎng) 2米、寬 1 米的長(zhǎng)方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤今年改用長(zhǎng)3米寬 2米的長(zhǎng)方形葦席圍成容積最大的圓柱形的糧囤問(wèn)：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍?【分析與解】 底面周長(zhǎng)是 3，半徑是 3 ，(3)232所以今年糧囤底面積是32，高是 22244同理，去年糧囤底面積是22，高是 14( 322)( 221)4.5.44因此，今年糧囤容積是去年糧囤容積的4.5 倍11 一個(gè)

9、盛有水的圓柱形容器底面內(nèi)半徑為5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米今將一個(gè)底面半徑為2 厘米，高為18 厘米的鐵圓柱垂直放人容器中求這時(shí)容器的水深是多少厘米?【分析與解】 若鐵圓柱體能完全浸入水中，則水深與容積底面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為：52152218（厘米）；5217.724文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！它比鐵圓柱體的高度要小，那么鐵圓柱體沒(méi)有完全浸入水中此時(shí)容器與鐵圓柱組成一個(gè)類似于下圖的立體圖形底面積為 522221，水的體積保持不變?yōu)?5215 315 所以有水深為 315176( 厘米 ) ，小于容器的高度20 厘米，顯然水沒(méi)有溢出2

10、17于是 17 6 厘米即為所求的水深712 如圖 ll-8 ，用高都是 1 米，底面半徑分別為 1.5 米、 1 米和 0.5 米的 3 個(gè)圓柱組成一個(gè)物體問(wèn)這個(gè)物體的表面積是多少平方米?(取 3 14)【分析與解】物體的表面積恰好等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積，即21.5221.5121120.514.53210.532.97(平方米）即這個(gè)物體的表面積是32.97 平方米13某工人用薄木板釘成一個(gè)長(zhǎng)方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條如圖11-9所示在三個(gè)方向上加固所用尼龍編織條的長(zhǎng)分別為365 厘米、 405 厘米、 485 厘米若每個(gè)尼龍條加固時(shí)接頭處都重疊5 厘米，則這個(gè)

11、長(zhǎng)方體包裝箱的體積是多少立方米?5文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】長(zhǎng)方體中，高+寬=+(365-5)=180 ， 高 +長(zhǎng) = 1 (405-5)=200 ， 2長(zhǎng) +寬 = 1 (485-5)=240 ， 2 - 得長(zhǎng) - 寬 =20， +得長(zhǎng) =130，則寬 =110，代入得高 =70，所以長(zhǎng)方體得體積為：7011030 =1001000( 立方厘米 )=1.001( 立方米 ) 14有甲、乙、丙 3 種大小不同的正方體木塊，其中甲的棱長(zhǎng)是乙的棱長(zhǎng)的1 ，乙的棱長(zhǎng)是丙的棱長(zhǎng)的 2 如23果用甲、乙、丙3 種木塊拼成一個(gè)體積盡可能小的大正體，每種至少用一塊，那么最少需要這3 種

12、木塊一共多少塊 ?【分析與解】設(shè)甲的棱長(zhǎng)為1，則乙的棱長(zhǎng)為2，丙的棱長(zhǎng)為3顯然，大正方體棱長(zhǎng)不可能是4，否則無(wú)法放下乙和丙各一個(gè)于是，大正方體的棱長(zhǎng)至少是5事實(shí)上，用甲、乙、丙三種木塊可以拼成棱長(zhǎng)為5 的大正方體，其中丙種木塊只能用1塊；乙種木塊至多用7塊(使總的塊數(shù)盡可能少)；甲種木塊需用：555- 1333- 7222=42(塊 ) 因此，用甲、乙、丙三種木塊拼成體積最小的大正方體，至少需要這三種木塊一共1+7+42=50( 塊 ) 15有 6 個(gè)相同的棱長(zhǎng)分別是3 厘米、 4 厘米、 5 厘米的長(zhǎng)方體，把它們的某劃面染上紅色，使得有的長(zhǎng)方體只有1 個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有2 個(gè)面是紅

13、色的，有的長(zhǎng)方體恰有3 個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有4 個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有5 個(gè)面是紅色的，還有一個(gè)長(zhǎng)方體6 個(gè)面都是紅色的，染色后把所有長(zhǎng)；方體分割成棱長(zhǎng)為1 厘米的小正方體分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體；最多有多少個(gè) ?【分析與解】 一面染紅的長(zhǎng)方體， 顯然應(yīng)將 45的長(zhǎng)方體染紅， 這時(shí)產(chǎn)生 20 個(gè)一面染成紅色的小正方體，個(gè)數(shù)最多二面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將兩個(gè)45的長(zhǎng)方體染紅，這時(shí)產(chǎn)生40 個(gè)一面染成紅色的小正方體，個(gè)數(shù)最多三面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將45，45，43 的面染紅，于是產(chǎn)生4(5+5+3 -4)=36個(gè)一面染成紅色的小正方體，其他方法得出的一面染成紅色的正方體

14、均少于36 個(gè)四面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將45，45，43，43 的面染紅，產(chǎn)生4(5+5+3+3 - 24)=32 個(gè)一6文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！面染成紅色的正方體，其他方法得到的一面染成紅色的小正方體均少于32 個(gè)五面染紅的長(zhǎng)方體， 應(yīng)只留一個(gè)35的面不染，這時(shí)就產(chǎn)生 (3- 2) (5 -2)+(4-1) (5+5+3+3 - 24)=27個(gè)一面染成紅色的小正方體，其他染法得到的一面染成紅色的小正方體均少于27六面染紅的長(zhǎng)方體，產(chǎn)生2(3 - 2) (5 -2)+(5-2) (4 -2)+(4-2) (3 -2)=22個(gè)一面染成紅色的小正方體于是最多得到：22+27+32+36+

15、40+20=177 個(gè)一面染成紅色的小正方體7文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！第 12 講 幾何綜合（一）幾何圖形的設(shè)計(jì)與構(gòu)造涉及比例與整數(shù)分解，需要添加輔助線、尋找規(guī)律或利用對(duì)稱性解的較為復(fù)雜的直線形和圓的周長(zhǎng)與面積計(jì)算問(wèn)題1 今有 9 盆花要在平地上擺成9 行，其中每盆花都有3 行通過(guò)，而且每行都通過(guò)3 盆花請(qǐng)你給出一種設(shè)計(jì)方案，畫(huà)圖時(shí)用點(diǎn)表示花，用直線表示行.【分析與解】如下圖所示，我們給出四種不同的排法2 已知如圖 12-1 ，一個(gè)六邊形的 6 個(gè)內(nèi)角都是 120，其連續(xù)四邊的長(zhǎng)依次是 1、 9、 9、5 厘米求這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)【分析與解】 如下圖所示，將六邊形的六條邊分別延長(zhǎng)，相交

16、至三點(diǎn)，并將其標(biāo)上字母，因?yàn)?BAF=120，而么 IAF=180 - BAF=60又 EFA=120，而 IFA=180 - EFA： 60，則 IAF 為等邊三角形同理 BCG、 EHD、 IGH 均為等邊三角形在 IAF 中，有 IA=IF=AF=9( 厘米 ) ，在 BGC中，有 BG=GC=BC=1(厘米 ) ，有 IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即為大正三角形的邊長(zhǎng)，所以有IG=IH=GH=19(厘米 ) 8文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！則 EH=IH-IF-FE=19-9-5=5( 厘米 ) ，在 EDH中，DH=EH=5(厘米 ) ，所以 CD=GH-GC-DH=

17、19-1-5=13(厘米 ) 于是，原圖中六邊形的周長(zhǎng)為 1+9+9+5+5+13=42( 厘米 ) 3圖 12-2 中共有 16 條線段，每?jī)蓷l相鄰的線段都是互相垂直的為了計(jì)算出這個(gè)圖形的周長(zhǎng)，最少要量出多少條線段的長(zhǎng)度 ?【分析與解】如下圖所示，我們想像某只昆蟲(chóng)繞圖形爬行一周，回到原出發(fā)點(diǎn)，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程于是只用量出往右的路程，往下的路程，再將它們的和乘以2 即為所求的周長(zhǎng)所以，最少的量出下列6 段即可4 將圖 12-3 中的三角形紙片沿虛線折疊得到圖12-4 ，其中的粗實(shí)線圖形面積與原三角形面積之比為2： 3已知圖12-4 中 3 個(gè)畫(huà)陰影的三角形

18、面積之和為1，那么重疊部分的面積為多少?【分析與解】 設(shè)重疊部分的面積為 x，則原三角形面積為 1+2x，粗實(shí)線的面棚為 1+x. 因此 (1+2x) ： (1+x)=3 ： 2，解得 x=1，即重疊部分面積為 15 如圖 12-5 ，涂陰影部分的小正六角星形面積是16 平方厘米問(wèn)：大正六角星形的面積是多少平方厘米 ?9文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】如下圖所示，在正六邊形ABCDEF中 ,與面積相等， 12 個(gè)組成小正六角星形，那么由6 個(gè)及 12 個(gè)組成的正六邊形的面積為1612(12 +6)=24( 平方厘米 ) 而通過(guò)下圖，我們知道，正六邊形ABCDEF可以分成6 個(gè)小正

19、三角形，并且它們面積相等，且與六個(gè)角的面積相等，所以大正六角星形的積為 24612=48(平方厘米) 6 如圖 12-6 所示，在三角形 ABC中， DC=3BD，DE=EA若三角形 ABC的面積是 1則陰影部分的面積是多少 ?DCS ABC3S ABC3【分析與解】 ABC、 ADC同高，所以底的比等于面積比， 那么有 S ADC4.1SADC3 .BC4而 E 為 AD中點(diǎn)，所以 S DEC281 S1 .連接 FD， DFE、 FAE 面積相等，設(shè) S FEAx, 則 S FDE 的面積也為 x， S ABDABC44S BDFS ABDS FEA S FDE12x, 而 S FDCS

20、FDES DECx3.4810文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！12 x);( x33S BDF :S FDC () 1: 3 ，解得 x.4856S DEC333所以，陰影部分面積為S FEA56.877如圖 12-7 ，P 是三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)， DE平行于 AB， FG平行于 BC，HI 平行于 CA，四邊形 AIPD 的面積是 12，四邊形 PGCH的面積是 15，四邊形 BEPF的面積是 20那么三角形 ABC的面積是多少 ?【分析與解】有平行四邊形AIPD 與平行四邊形PGCH的面積比為 IP 與 PH的比，即為12： 15=4：5同理有 FP:PG=20:15=4:3， DP:

21、PE=12:20=3:5如圖 12-7(a) ，連接 PC、 HD，有 PHC的面積為15 DPH與 PHC同底 PH，同高，所以面積相等，即2S DPH15 ，而 DPH與 EPH 的高相等，所以底的比即為面積的比，有SDPH :SEPH DP:PE 3:5，2551525所以 S EPHS DPH32.32IPIP4如圖 12-7(b)FH、 BP， S IFP108;所示，連接S EPHS FBP5PHPH如圖 12-7(c)所示，連接 FD、 AP， S DPGPG S DFPPG S APD369 .FPFP42有SABCS AIPDS BEPF S CGPHS IFPS DGPS

22、EHP925122015872.2211文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！8 如圖 12-8 ，長(zhǎng)方形的面積是小于 100 的整數(shù)，它的內(nèi)部有三個(gè)邊長(zhǎng)是整數(shù)的正方形，號(hào)正方形的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方形長(zhǎng)的5 ，號(hào)正方形的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方形寬的1 那么，圖中陰影部分的面積是多少?128【分析與解】有號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為長(zhǎng)方形長(zhǎng)的5 ，則圖中未標(biāo)號(hào)的正方形的邊長(zhǎng)為長(zhǎng)方形長(zhǎng)的7 .1212而號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為寬的1 ，所以未標(biāo)號(hào)的正方形的邊長(zhǎng)為長(zhǎng)方形寬的7 .88所以在長(zhǎng)方形中有：7 長(zhǎng) = 7 寬，則長(zhǎng)：寬 =12：8，不妨設(shè)長(zhǎng)的為12k，寬為 8k，則號(hào)正方形的邊128長(zhǎng)為 5k，又是整數(shù)，所以k 為整數(shù)，有長(zhǎng)方形的面

23、積為96 k 2 , 不大于 100所以 k 只能為 1，即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 12，寬為 8于是，圖中號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為5，號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為1，則未標(biāo)號(hào)的正方形的邊長(zhǎng)為7，所以剩余的陰影部分的面積為：12852127221.9如圖 12-9 ，三個(gè)一樣大小的正方形放在一個(gè)長(zhǎng)方形的盒內(nèi)，A 和 B 是兩個(gè)正方形重疊部分，C， D，E 是空出的部分，這些部分都是長(zhǎng)方形，它們的面積比是A：B： C： D：E=1： 2：3： 4： 5那么這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之比是多少?【分析與解】以下用 E橫 表示 E 部分橫向的長(zhǎng)度，E堅(jiān) 豎表示 E部分豎向的長(zhǎng)度，其他下標(biāo)意義類似有 E橫 ： D 橫 =5： 4， A 橫

24、 ： B橫 =l ： 2而 E橫 +A橫 =D橫 +B橫 ，所以有 E橫 ： D橫 ： A橫 ： B橫 =5：4：1：212文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！而 A 橫 + B橫 +C橫 = E橫 + A 橫 對(duì)應(yīng)為 5+1=6，那么 C橫 對(duì)應(yīng)為 3而 A 面積： B 面積： C面積 =1：2：3，所以 A 堅(jiān) =B堅(jiān) =C堅(jiān) 有 A 堅(jiān) + C堅(jiān) 豎對(duì)應(yīng)為 6，所以 A 堅(jiān) =C堅(jiān) 對(duì)應(yīng)為 3那么長(zhǎng)方形的豎邊為 6+ C堅(jiān) 對(duì)應(yīng)為 9，長(zhǎng)方形橫邊為E橫 +6+ D 橫 對(duì)應(yīng)為 5+6+4=15所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比為15： 9=5： 310 如圖 12-10 ，紅、黃、綠三塊大小一樣的正方

25、形紙片，放在一個(gè)正方形盒內(nèi)，它們之間互相疊合已知露在外面的部分中，紅色的面積是20，黃色的面積是14，綠色的面積是lO那么，正方形盒子的底面積是多少?【分析與解】 如下圖所示，我們將黃色的正方形紙片向左推向紙盒的過(guò)緣，有露在外面的部分，黃色減少的面積等于綠色增加的面積，也就是說(shuō)黃色、綠色部分露在外面部分的面積和不變并且有變化后，黃色露出面積 +紅色部分面積，綠色露出面積 +紅色部分面積，都是小正方形紙片邊長(zhǎng)乘以大正方形盒子邊長(zhǎng)的積所以，黃色露出面積 +紅色部分面積 =綠色露出面積 +紅色部分面積，于是黃色露出面積 =綠色露出面積，而它們的和為 14+10=24，即黃色露出面積 =綠色露出面積

26、=12有黃：空白=紅：綠，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整個(gè)正方形紙盒的底面積為 12+7.2+20+12=51.2 11 如圖 12-11 ，在長(zhǎng) 260 厘米，寬 150 厘米的臺(tái)球桌上， 有 6 個(gè)球袋 A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中 AB=EF=130厘米現(xiàn)在從4 處沿 45方向打出一球，碰到桌邊后又沿45方向彈出，當(dāng)再碰到桌邊時(shí)，仍沿45方向彈出，如此繼續(xù)下去假如球可以一直運(yùn)動(dòng)，直至落入某個(gè)球袋中為止，那么它將落人哪個(gè)袋中?13文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】將每個(gè)點(diǎn)的位置用一組數(shù)來(lái)表示，前一個(gè)數(shù)是這個(gè)點(diǎn)到FA 的距離，后一個(gè)數(shù)是點(diǎn)到FD的距離，于是A 的

27、位置為 (0 ， 150) ，球經(jīng)過(guò)的路線為：(0,150) (150,0) (260,110) (220 ，150)(70 ，0) (0 ，70)(80 ，150)(230,0) (260 ，30) (140 ，150) (0 ，10)(10 ，0) (160 ，150) (260 ，50) (210,0) (60 ，150) (0 ，90) (90 ， 0) (240 ，150)(260 ， 130) (130 ， 0) 因此，該球最后落入E 袋12長(zhǎng)方形ABCD是一個(gè)彈子盤(pán)，四角有洞彈子從A 出發(fā)，路線與邊成45 度角，撞到邊界即反彈，并一直按此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，直到落人一個(gè)洞內(nèi)為止如圖12-1

28、2 當(dāng) AB=4， AD=3時(shí)，彈子最后落入B 洞問(wèn)：若 AB=1995， AD=1994時(shí)，彈子最后落入哪個(gè)洞?在落入洞之前，撞擊BC邊多少次 ?【分析與解】撞擊 AD邊的點(diǎn)，每次由A 向 D 移動(dòng) 2；撞擊 BC邊的點(diǎn)，每次由C向 B 移動(dòng) 2因?yàn)榈谝淮巫矒鬊C邊的點(diǎn)距 C 點(diǎn) 1，第一次撞擊AB 邊的點(diǎn)距A 點(diǎn)為 2，19942=997所以最后落人D 洞，在此之前撞擊BC邊 997 次13 10 個(gè)一樣大的圓擺成如圖12-13 所示的形狀過(guò)圖中所示兩個(gè)圓心A， B 作直線，那么直線右上方圓內(nèi)圖形面積總和與直線左下圓內(nèi)圖形面積總和的比是多少?【分析與解】 直線 AB的右上方的有2 個(gè)完整的

29、圓， 2 個(gè)半圓， 1 個(gè)1 個(gè)而 1 個(gè)1 個(gè)正好組成一個(gè)完整的圓，即共有4 個(gè)完整的圓那么直線AB的左下方有10-4=6 個(gè)完整的圓，每個(gè)圓的面積相等，所以直線右上方圓內(nèi)圖形面積總和與直線左下圓內(nèi)圖形面積總和的比是4：6=2： 314 在圖 12-14 中，一個(gè)圓的圓心是 0，半徑 r=9 厘米， 1= 2=15 . 那么陰影部分的面積是多少平方厘米 ?( 取 3.14)14文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】有 AO=OB，所以AOB 為等腰三角形，AO=OC，所以AOC為等腰三角形. ABO= 1=15， AOB=180 - 1- ABO=150 . ACO= 2=15, A

30、OC=180 - 2- ACO=150 .所以 BOC=360 - AOB-AOC=60，所以扇形BOC的面積為609242.39 ( 平方厘米 ) 36015 圖 12-15 是由正方形和半圓形組成的圖形 其中 P 點(diǎn)為半圓周的中點(diǎn)， Q點(diǎn)為正方形一邊的中點(diǎn) 已知正方形的邊長(zhǎng)為10，那么陰影部分的面積是多少?(取 3.14)【分析與解】過(guò) P 做 AD平行線，交AB于 O點(diǎn)， P 為半圓周的中點(diǎn)，所以0 為 AB中點(diǎn)有 SABCD10 10 100， S半圓 DPC（10212）12.5 .2（10） 1，101051S AOP 5 10+2237.5 S梯形 OPQB550.22陰影部分面

31、積為SABCDS半圓 DPC - S AOPS梯形 OPQB10012.537.5 50 12.5 12.551.75.第 13 講 植樹(shù)問(wèn)題內(nèi)容概述幾何圖形的設(shè)計(jì)與構(gòu)造，本講講解一些有關(guān)的植樹(shù)問(wèn)題典型問(wèn)題15文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！1 今有 10 盆花要在平地上擺成 5 行，每行都通過(guò) 4 盆花請(qǐng)你給出一種設(shè)計(jì)方案，畫(huà)圖時(shí)用點(diǎn)表示花，用直線表示行【分析與解】如下圖所示：2今有 9 盆花要在平地上擺成10 行，每行都通過(guò)3 盆花請(qǐng)你給出一種設(shè)計(jì)方案，畫(huà)圖時(shí)用點(diǎn)表示花，用直線表示行【分析與解】如下圖所示：3今有 10 盆花要在平地上擺成 10 行，每行都通過(guò) 3 盆花 請(qǐng)你給出一種設(shè)計(jì)

32、方案，畫(huà)圖時(shí)用點(diǎn)表示花，用直線表示行【分析與解】如下圖所示：4 今有 20 盆花要在平地上擺成 18 行，每行都通過(guò) 4 盆花請(qǐng)你給出一種設(shè)計(jì)方案，畫(huà)圖時(shí)用點(diǎn)表示花，用直線表示行【分析與解】如下圖所示：5 今有 20 盆花要在平地上擺成 20 行，每行都通過(guò) 4 盆花請(qǐng)你給出一種設(shè)計(jì)方案，畫(huà)圖時(shí)用點(diǎn)表示花，用直線表示行【分析與解】如下圖所示：第 14 講 數(shù)字謎綜合內(nèi)容概述各種具有相當(dāng)難度、求解需要綜合應(yīng)用多方面知識(shí)的豎式、橫式、 數(shù)字及數(shù)陣圖等類型的數(shù)字謎問(wèn)題典型問(wèn)題1 ABCD表示一個(gè)四位數(shù)， EFG表示一個(gè)三位數(shù)， A，B，C，D，E，F(xiàn)，G代表 1 至 9 中的不同的數(shù)字已知 ABCD

33、+EFG=1993，問(wèn)：乘積 ABCDEFG的最大值與最小值相差多少 ?16文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】 因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的和一定時(shí)，兩個(gè)數(shù)越緊接，乘積越大；兩個(gè)數(shù)的差越大，乘積越小 A 顯然只能為 1，則 BCD+EFG=993，當(dāng) ABCD與 EFG的積最大時(shí)， ABCD、EFG最接近，則 BCD盡可能小， EFG盡可能大，有 BCD最小為 234，對(duì)應(yīng) EFG為 759，所以有 1234759 是滿足條件的最大乘積；當(dāng) ABCD與 EFG的積最小時(shí)， ABCD、EFG差最大，則 BCD盡可能大， EFG盡可能小，有 EFG最小為 234，對(duì)應(yīng) BCD為 759，所以有 175

34、9234 是滿足條件的最小乘積；它們的差為 12347591759234=(1000+234)759一 (10 00+759)234=1000（ 759 234)=525000 2. 有 9 個(gè)分?jǐn)?shù)的和為1，它們的分子都是1其中的 5 個(gè)是 1 ,1 ,1 ,1 ,1 另外 4 個(gè)數(shù)的分母?jìng)€(gè)位3791133數(shù)字都是5請(qǐng)寫(xiě)出這 4 個(gè)分?jǐn)?shù)【分析與解】l一( 1+1+1+1+1)=32101=101011379113337113357需要將 1010 拆成 4 個(gè)數(shù)的和，這4 個(gè)數(shù)都不是5 的倍數(shù)，而且都是 3371l的約數(shù)因此，它們可能是3， 7， 9，11， 21，33， 77，63， 99，

35、231， 693經(jīng)試驗(yàn)得 693+231+77+9=1010所以，其余的4 個(gè)分?jǐn)?shù)是： 1 ,1 ,1 ,1 .515453853.請(qǐng)?jiān)谏厦嫠闶降拿總€(gè)方格內(nèi)填入一個(gè)數(shù)字，使其成為正確的等式【分析與解】1988=2277l=4 497，1 + 1 1 ，在等式兩邊同時(shí)乘上1，就得1+ 11124349759641988顯然滿足題意1491又 1+ 1 = 1 ，兩邊同乘以1，就得1+11顯然也滿足351410142497019881420111，1+11均滿足 .3053+120419888094198815964 小明按照下列算式：乙組的數(shù)口甲組的數(shù)1=對(duì)甲、乙兩組數(shù)逐個(gè)進(jìn)行計(jì)算， 其中方框是

36、乘號(hào)或除號(hào)，圓圈是加號(hào)或減號(hào)他將計(jì)算結(jié)果填入表14 1的表中有人發(fā)現(xiàn)表中14 個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)是錯(cuò)的請(qǐng)你改正問(wèn)改正后的兩個(gè)數(shù)的和是多少?【分析與解】甲組的前三個(gè)數(shù)0.625 ， 2， 9 都是小于1 的數(shù)， 2 17 與這三個(gè)數(shù)運(yùn)算后，得5.05 ，314324 51，45 ；不論減1 還是加 l 后，這三個(gè)數(shù)都比2 17 大，而這是2 17 與小于 1 的數(shù)運(yùn)算的結(jié)果，因此6416323217文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！可以猜想方框內(nèi)是除號(hào)現(xiàn)在驗(yàn)算一下：2 17 0.625= 81 8= 81=4.05 ；3232520172813152=3；217 9 =8114=63=315；321

37、43291616217 3=27 .3232從上面四個(gè)算式來(lái)看，圓圈內(nèi)填加號(hào)，這樣有三個(gè)結(jié)果是對(duì)的，而4 5 是錯(cuò)的16按照算式乙組的數(shù)甲組的數(shù) +1 *23+1=1 2 ，顯然不為 1.5 ，上面已認(rèn)定3 是正確的，因此，只有把 2 改為 1.5 ，才有 1. 53+1=1 1 ，32而 1. 50.625+l=3.4 ， 1. 5 2 +1=3.25 3由此可見(jiàn)，確定的算式* 是正確的表中有兩個(gè)錯(cuò)誤，4 5 應(yīng)改為 4 15 ， 2 應(yīng)改為 1.5 ，1616415 +1 1 =5+158 =6 7 1621616改正后的兩個(gè)數(shù)的和是6 7 165 圖 14 3 中有大、中、小3 個(gè)正方形

38、，組成了8 個(gè)三角形現(xiàn)在先把1， 2，3，4 分別填在大正方形的 4 個(gè)頂點(diǎn)上，再把1，2，3， 4 分別填在中正方形的4 個(gè)頂點(diǎn)上，最后把1， 2，3，4 分別填在小正方形的 4 個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上(1) 能否使 8 個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等 ?如果能，請(qǐng)給出填數(shù)方法：如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由(2) 能否使 8 個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和各不相同?如果能，請(qǐng)給出填數(shù)方法；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析與解】(1)無(wú)論怎樣填法，都不可以使八個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和相等事實(shí)上，假設(shè)存在某種填法使得八個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等，不妨設(shè)每個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和為 k在計(jì)算八個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和時(shí)，大正方形四個(gè)頂點(diǎn)上

39、每個(gè)數(shù)字恰好使用過(guò)一次；中正方形四個(gè)頂點(diǎn)上每個(gè)數(shù)字各使用過(guò)三次；小正方形四個(gè)頂點(diǎn)上每個(gè)數(shù)字各使用過(guò)二次因此，這八個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和的總和為：18文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！8k=(1+2+3+4)+3 (1+2+3+4)+2 (1+2+3+4) ，即 8k=60,k 不為整數(shù)，矛盾，所以假設(shè)是錯(cuò)誤的(2)易知：不可能做到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上數(shù)字完全相同，所以三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和最小為1 +1+2=4，最大為 3+4+4 11而 411 共 8 個(gè)數(shù)，于是有可能使得 8 個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和各不相同，可如下構(gòu)造，且填法不惟一圖 (a) 和圖 (b) 是兩種填法6 圖 14 5 中有 11 條直線請(qǐng)將1 至 11 這 11 個(gè)數(shù)分別填在11 個(gè)圓圈里，使每一條直線上所有數(shù)的和相等求這個(gè)相等的和以及標(biāo)有* 的圓圈中所填的數(shù)【分析與解】表述 1：設(shè)每行的和為 S，在左下圖中，除了a 出現(xiàn) 2 次，其他數(shù)字均只出現(xiàn)了1 次，并且每個(gè)數(shù)字都出現(xiàn)了，于是有4S=(1+2+3+ +11)+ a=66+a；在右上圖中除了a 出現(xiàn)5 次，其他數(shù)字均只出現(xiàn)了1 次，并且每個(gè)數(shù)字都出現(xiàn)了，于是有5S=(1+2+3+11)+4a 66+4a4S66a(1)綜合以上兩式66，5S4