小學(xué)奧數(shù)精彩講座總匯40篇[四卷之二]

1、文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！第 11 講 立體圖形各種涉及長方體、立方體、圓柱、圓錐等立體圖形表面積與體積的計算問題，解題時考慮沿某個方向的投影常能發(fā)揮明顯的作用. 較為復(fù)雜的是與剪切、拼接、染色等相關(guān)聯(lián)的立體幾何問題.第六屆：“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽第12 題（略有改動）1 用棱長是1 厘米的立方塊拼成如圖11-1 所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米?【分析與解】顯然，圖 11-1 的圖形朝上的面與朝下的面的面積相等，都等于33=9 個小正方形的面積，朝左的面和朝右的面的面積也相等，等于7 個小正方形的面積；朝前的面和朝后的面的面積也相等，都等于 7 個小正方形的面

2、積，因此，該圖形的表面積等于(9+7+7) 2=46個小正方形的面積，而每個小正方形面積為 l 平方厘米，所以該圖形表面積是46 平方厘米2如圖 11-2 ，有一個邊長是5 的立方體，如果它的左上方截去一個邊分別是5，3， 2 的長方體，那么它的表面積減少了百分之幾?【分析與解】原來正方體的表面積為 5 56=150現(xiàn)在立體圖形的表面積截了兩個面向我們的側(cè)面，它們的面積為(3 2) 2=12，12150=0.08=8 即表面積減少了百分之八3如圖 11-3 ，一個正方體形狀的木塊，棱長l 米，沿水平方向?qū)⑺彸? 片，每片又鋸成4 長條，每條又鋸成5 小塊，共得到大大小小的長方體60 塊那么，

3、這60 塊長方體表面積的和是多少平方米?1文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】我們知道每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的2 個面的面積現(xiàn)在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方體一個面的面積1l= 1( 平方米 ) ，所以表面積增加了 921=18(平方米 ) 原來正方體的表面積為61=6( 平方米 ) ，所以現(xiàn)在的這些小長方體的表積之和為6+18=24( 平方米 ) 4圖 11-4 中是一個邊長為4 厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個邊長l 厘米的正方體，做成一種玩具它的表面積是多少平方厘米?【分析與解】原正方體的表面積是446=96

4、(平方厘米) 每一個面被挖去一個邊長是1 厘米的正方形，同時又增加了5 個邊長是1 厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分總的來看，每一個面都增加了4 個邊長是1 厘米的正方形從而，它的表面積是96+46=120 平方厘米5圖 11-5 是一個邊長為2 厘米的正方體在正方體的上面的正中向下挖一個邊長為1 厘米的正方體小間；接著在小洞的底面正中再向下挖一個邊長為1 厘米的小洞；第三個小洞的挖法與前兩個相同，邊長2為 1 厘米那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米?4【分析與解】因為每挖一次，都在原來的基礎(chǔ)上，少了1 個面，多出了5 個面，即增加了4 個面所以，最后得到的立體圖形的表面積是：

5、2文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！226+1l 4+1 1 4+ 1 1 4=29.25( 平方厘米 ) 22446有大、中、小3 個正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別是6 米、 3 米、 2 米把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水里，兩個水池的水面分別升高了6 厘米和 4 米如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米【分析與解】放在中水池里的碎石的體積為330.06 ： 0.54 立方米；放在小水池里的碎石的體積為220.04=0.16立方米；則兩堆碎石的體積和為0.54+0.16=0.7立方米，現(xiàn)在放到底面積為66= 36 平方米的大水池中，則使大水池的水面升高0.7 36

6、=7米= 700 厘米 =117 厘米360360187如圖 11-6 ，從長為 13 厘米，寬為9 厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長2 米的正方形，然后，沿虛線折疊成長方體容器這個容器的體積是多少立方厘米?【分析與解】容器的底面積是(13- 4) (9 -4)=45( 平方厘米 ) ，高為 2 厘米，所以容器得體積為：452=90(立方厘米) 8 今有一個長、寬、高分別為 21 厘米、 15 厘米、 12 厘米的長方體現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大的切下一個正方體問剩下的體積是多少立方厘米?【分析與解】本題首

7、先要確定三次切下的正方體的棱長，因為21：15：12=7：5：4，為了敘述方便，我們先考慮長、寬、高分別為7 厘米、 5 厘米、 4 厘米的長方體 .易知第一次切下的正方體的棱長應(yīng)為4 厘米，第二次切下的正方體棱長為3 厘米時符合要求，第三次切下的正方體的棱長為2 厘米時符合要求于是，在長、寬、高分別為21 厘米、 15 厘米、 12 厘米的長方體中，第一、二、三次切下的正方體的棱長為 12 厘米、 9 厘米、 6 厘米所以剩下的體積應(yīng)為：21 1512-( 1239363 )=1107( 立方厘米 ) 3文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！9 如圖 11-7 ，有一個圓柱和一個圓錐，它們的高和

8、底面直徑都標(biāo)在圖上，單位是厘米那么，圓錐體積與圓柱體積的比是多少 ?【分析與解】圓錐的體積是 122416, ，圓柱的體積是 4281283163所以，圓錐體積與圓柱體積的比是:1281: 24.310 張大爺去年用長 2米、寬 1 米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤今年改用長3米寬 2米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形的糧囤問：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍?【分析與解】 底面周長是 3，半徑是 3 ，(3)232所以今年糧囤底面積是32，高是 22244同理，去年糧囤底面積是22，高是 14( 322)( 221)4.5.44因此，今年糧囤容積是去年糧囤容積的4.5 倍11 一個

9、盛有水的圓柱形容器底面內(nèi)半徑為5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米今將一個底面半徑為2 厘米，高為18 厘米的鐵圓柱垂直放人容器中求這時容器的水深是多少厘米?【分析與解】 若鐵圓柱體能完全浸入水中，則水深與容積底面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為：52152218（厘米）；5217.724文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！它比鐵圓柱體的高度要小，那么鐵圓柱體沒有完全浸入水中此時容器與鐵圓柱組成一個類似于下圖的立體圖形底面積為 522221，水的體積保持不變?yōu)?5215 315 所以有水深為 315176( 厘米 ) ，小于容器的高度20 厘米，顯然水沒有溢出2

10、17于是 17 6 厘米即為所求的水深712 如圖 ll-8 ，用高都是 1 米，底面半徑分別為 1.5 米、 1 米和 0.5 米的 3 個圓柱組成一個物體問這個物體的表面積是多少平方米?(取 3 14)【分析與解】物體的表面積恰好等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積，即21.5221.5121120.514.53210.532.97(平方米）即這個物體的表面積是32.97 平方米13某工人用薄木板釘成一個長方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條如圖11-9所示在三個方向上加固所用尼龍編織條的長分別為365 厘米、 405 厘米、 485 厘米若每個尼龍條加固時接頭處都重疊5 厘米，則這個

11、長方體包裝箱的體積是多少立方米?5文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】長方體中，高+寬=+(365-5)=180 ， 高 +長 = 1 (405-5)=200 ， 2長 +寬 = 1 (485-5)=240 ， 2 - 得長 - 寬 =20， +得長 =130，則寬 =110，代入得高 =70，所以長方體得體積為：7011030 =1001000( 立方厘米 )=1.001( 立方米 ) 14有甲、乙、丙 3 種大小不同的正方體木塊，其中甲的棱長是乙的棱長的1 ，乙的棱長是丙的棱長的 2 如23果用甲、乙、丙3 種木塊拼成一個體積盡可能小的大正體，每種至少用一塊，那么最少需要這3 種

12、木塊一共多少塊 ?【分析與解】設(shè)甲的棱長為1，則乙的棱長為2，丙的棱長為3顯然，大正方體棱長不可能是4，否則無法放下乙和丙各一個于是，大正方體的棱長至少是5事實上，用甲、乙、丙三種木塊可以拼成棱長為5 的大正方體，其中丙種木塊只能用1塊；乙種木塊至多用7塊(使總的塊數(shù)盡可能少)；甲種木塊需用：555- 1333- 7222=42(塊 ) 因此，用甲、乙、丙三種木塊拼成體積最小的大正方體，至少需要這三種木塊一共1+7+42=50( 塊 ) 15有 6 個相同的棱長分別是3 厘米、 4 厘米、 5 厘米的長方體，把它們的某劃面染上紅色，使得有的長方體只有1 個面是紅色的，有的長方體恰有2 個面是紅

13、色的，有的長方體恰有3 個面是紅色的，有的長方體恰有4 個面是紅色的，有的長方體恰有5 個面是紅色的，還有一個長方體6 個面都是紅色的，染色后把所有長；方體分割成棱長為1 厘米的小正方體分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體；最多有多少個 ?【分析與解】 一面染紅的長方體， 顯然應(yīng)將 45的長方體染紅， 這時產(chǎn)生 20 個一面染成紅色的小正方體，個數(shù)最多二面染紅的長方體，顯然應(yīng)將兩個45的長方體染紅，這時產(chǎn)生40 個一面染成紅色的小正方體，個數(shù)最多三面染紅的長方體，顯然應(yīng)將45，45，43 的面染紅，于是產(chǎn)生4(5+5+3 -4)=36個一面染成紅色的小正方體，其他方法得出的一面染成紅色的正方體

14、均少于36 個四面染紅的長方體，顯然應(yīng)將45，45，43，43 的面染紅，產(chǎn)生4(5+5+3+3 - 24)=32 個一6文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！面染成紅色的正方體，其他方法得到的一面染成紅色的小正方體均少于32 個五面染紅的長方體， 應(yīng)只留一個35的面不染，這時就產(chǎn)生 (3- 2) (5 -2)+(4-1) (5+5+3+3 - 24)=27個一面染成紅色的小正方體，其他染法得到的一面染成紅色的小正方體均少于27六面染紅的長方體，產(chǎn)生2(3 - 2) (5 -2)+(5-2) (4 -2)+(4-2) (3 -2)=22個一面染成紅色的小正方體于是最多得到：22+27+32+36+

15、40+20=177 個一面染成紅色的小正方體7文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！第 12 講 幾何綜合（一）幾何圖形的設(shè)計與構(gòu)造涉及比例與整數(shù)分解，需要添加輔助線、尋找規(guī)律或利用對稱性解的較為復(fù)雜的直線形和圓的周長與面積計算問題1 今有 9 盆花要在平地上擺成9 行，其中每盆花都有3 行通過，而且每行都通過3 盆花請你給出一種設(shè)計方案，畫圖時用點表示花，用直線表示行.【分析與解】如下圖所示，我們給出四種不同的排法2 已知如圖 12-1 ，一個六邊形的 6 個內(nèi)角都是 120，其連續(xù)四邊的長依次是 1、 9、 9、5 厘米求這個六邊形的周長【分析與解】 如下圖所示，將六邊形的六條邊分別延長，相交

16、至三點，并將其標(biāo)上字母，因為 BAF=120，而么 IAF=180 - BAF=60又 EFA=120，而 IFA=180 - EFA： 60，則 IAF 為等邊三角形同理 BCG、 EHD、 IGH 均為等邊三角形在 IAF 中，有 IA=IF=AF=9( 厘米 ) ，在 BGC中，有 BG=GC=BC=1(厘米 ) ，有 IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即為大正三角形的邊長，所以有IG=IH=GH=19(厘米 ) 8文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！則 EH=IH-IF-FE=19-9-5=5( 厘米 ) ，在 EDH中，DH=EH=5(厘米 ) ，所以 CD=GH-GC-DH=

17、19-1-5=13(厘米 ) 于是，原圖中六邊形的周長為 1+9+9+5+5+13=42( 厘米 ) 3圖 12-2 中共有 16 條線段，每兩條相鄰的線段都是互相垂直的為了計算出這個圖形的周長，最少要量出多少條線段的長度 ?【分析與解】如下圖所示，我們想像某只昆蟲繞圖形爬行一周，回到原出發(fā)點，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程于是只用量出往右的路程，往下的路程，再將它們的和乘以2 即為所求的周長所以，最少的量出下列6 段即可4 將圖 12-3 中的三角形紙片沿虛線折疊得到圖12-4 ，其中的粗實線圖形面積與原三角形面積之比為2： 3已知圖12-4 中 3 個畫陰影的三角形

18、面積之和為1，那么重疊部分的面積為多少?【分析與解】 設(shè)重疊部分的面積為 x，則原三角形面積為 1+2x，粗實線的面棚為 1+x. 因此 (1+2x) ： (1+x)=3 ： 2，解得 x=1，即重疊部分面積為 15 如圖 12-5 ，涂陰影部分的小正六角星形面積是16 平方厘米問：大正六角星形的面積是多少平方厘米 ?9文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】如下圖所示，在正六邊形ABCDEF中 ,與面積相等， 12 個組成小正六角星形，那么由6 個及 12 個組成的正六邊形的面積為1612(12 +6)=24( 平方厘米 ) 而通過下圖，我們知道，正六邊形ABCDEF可以分成6 個小正

19、三角形，并且它們面積相等，且與六個角的面積相等，所以大正六角星形的積為 24612=48(平方厘米) 6 如圖 12-6 所示，在三角形 ABC中， DC=3BD，DE=EA若三角形 ABC的面積是 1則陰影部分的面積是多少 ?DCS ABC3S ABC3【分析與解】 ABC、 ADC同高，所以底的比等于面積比， 那么有 S ADC4.1SADC3 .BC4而 E 為 AD中點，所以 S DEC281 S1 .連接 FD， DFE、 FAE 面積相等，設(shè) S FEAx, 則 S FDE 的面積也為 x， S ABDABC44S BDFS ABDS FEA S FDE12x, 而 S FDCS

20、FDES DECx3.4810文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！12 x);( x33S BDF :S FDC () 1: 3 ，解得 x.4856S DEC333所以，陰影部分面積為S FEA56.877如圖 12-7 ，P 是三角形 ABC內(nèi)一點， DE平行于 AB， FG平行于 BC，HI 平行于 CA，四邊形 AIPD 的面積是 12，四邊形 PGCH的面積是 15，四邊形 BEPF的面積是 20那么三角形 ABC的面積是多少 ?【分析與解】有平行四邊形AIPD 與平行四邊形PGCH的面積比為 IP 與 PH的比，即為12： 15=4：5同理有 FP:PG=20:15=4:3， DP:

21、PE=12:20=3:5如圖 12-7(a) ，連接 PC、 HD，有 PHC的面積為15 DPH與 PHC同底 PH，同高，所以面積相等，即2S DPH15 ，而 DPH與 EPH 的高相等，所以底的比即為面積的比，有SDPH :SEPH DP:PE 3:5，2551525所以 S EPHS DPH32.32IPIP4如圖 12-7(b)FH、 BP， S IFP108;所示，連接S EPHS FBP5PHPH如圖 12-7(c)所示，連接 FD、 AP， S DPGPG S DFPPG S APD369 .FPFP42有SABCS AIPDS BEPF S CGPHS IFPS DGPS

22、EHP925122015872.2211文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！8 如圖 12-8 ，長方形的面積是小于 100 的整數(shù)，它的內(nèi)部有三個邊長是整數(shù)的正方形，號正方形的邊長是長方形長的5 ，號正方形的邊長是長方形寬的1 那么，圖中陰影部分的面積是多少?128【分析與解】有號正方形的邊長為長方形長的5 ，則圖中未標(biāo)號的正方形的邊長為長方形長的7 .1212而號正方形的邊長為寬的1 ，所以未標(biāo)號的正方形的邊長為長方形寬的7 .88所以在長方形中有：7 長 = 7 寬，則長：寬 =12：8，不妨設(shè)長的為12k，寬為 8k，則號正方形的邊128長為 5k，又是整數(shù)，所以k 為整數(shù)，有長方形的面

23、積為96 k 2 , 不大于 100所以 k 只能為 1，即長方形的長為 12，寬為 8于是，圖中號正方形的邊長為5，號正方形的邊長為1，則未標(biāo)號的正方形的邊長為7，所以剩余的陰影部分的面積為：12852127221.9如圖 12-9 ，三個一樣大小的正方形放在一個長方形的盒內(nèi)，A 和 B 是兩個正方形重疊部分，C， D，E 是空出的部分，這些部分都是長方形，它們的面積比是A：B： C： D：E=1： 2：3： 4： 5那么這個長方形的長與寬之比是多少?【分析與解】以下用 E橫 表示 E 部分橫向的長度，E堅 豎表示 E部分豎向的長度，其他下標(biāo)意義類似有 E橫 ： D 橫 =5： 4， A 橫

24、 ： B橫 =l ： 2而 E橫 +A橫 =D橫 +B橫 ，所以有 E橫 ： D橫 ： A橫 ： B橫 =5：4：1：212文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！而 A 橫 + B橫 +C橫 = E橫 + A 橫 對應(yīng)為 5+1=6，那么 C橫 對應(yīng)為 3而 A 面積： B 面積： C面積 =1：2：3，所以 A 堅 =B堅 =C堅 有 A 堅 + C堅 豎對應(yīng)為 6，所以 A 堅 =C堅 對應(yīng)為 3那么長方形的豎邊為 6+ C堅 對應(yīng)為 9，長方形橫邊為E橫 +6+ D 橫 對應(yīng)為 5+6+4=15所以長方形的長與寬的比為15： 9=5： 310 如圖 12-10 ，紅、黃、綠三塊大小一樣的正方

25、形紙片，放在一個正方形盒內(nèi)，它們之間互相疊合已知露在外面的部分中，紅色的面積是20，黃色的面積是14，綠色的面積是lO那么，正方形盒子的底面積是多少?【分析與解】 如下圖所示，我們將黃色的正方形紙片向左推向紙盒的過緣，有露在外面的部分，黃色減少的面積等于綠色增加的面積，也就是說黃色、綠色部分露在外面部分的面積和不變并且有變化后，黃色露出面積 +紅色部分面積，綠色露出面積 +紅色部分面積，都是小正方形紙片邊長乘以大正方形盒子邊長的積所以，黃色露出面積 +紅色部分面積 =綠色露出面積 +紅色部分面積，于是黃色露出面積 =綠色露出面積，而它們的和為 14+10=24，即黃色露出面積 =綠色露出面積

26、=12有黃：空白=紅：綠，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整個正方形紙盒的底面積為 12+7.2+20+12=51.2 11 如圖 12-11 ，在長 260 厘米，寬 150 厘米的臺球桌上， 有 6 個球袋 A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中 AB=EF=130厘米現(xiàn)在從4 處沿 45方向打出一球，碰到桌邊后又沿45方向彈出，當(dāng)再碰到桌邊時，仍沿45方向彈出，如此繼續(xù)下去假如球可以一直運動，直至落入某個球袋中為止，那么它將落人哪個袋中?13文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】將每個點的位置用一組數(shù)來表示，前一個數(shù)是這個點到FA 的距離，后一個數(shù)是點到FD的距離，于是A 的

27、位置為 (0 ， 150) ，球經(jīng)過的路線為：(0,150) (150,0) (260,110) (220 ，150)(70 ，0) (0 ，70)(80 ，150)(230,0) (260 ，30) (140 ，150) (0 ，10)(10 ，0) (160 ，150) (260 ，50) (210,0) (60 ，150) (0 ，90) (90 ， 0) (240 ，150)(260 ， 130) (130 ， 0) 因此，該球最后落入E 袋12長方形ABCD是一個彈子盤，四角有洞彈子從A 出發(fā)，路線與邊成45 度角，撞到邊界即反彈，并一直按此規(guī)律運動，直到落人一個洞內(nèi)為止如圖12-1

28、2 當(dāng) AB=4， AD=3時，彈子最后落入B 洞問：若 AB=1995， AD=1994時，彈子最后落入哪個洞?在落入洞之前，撞擊BC邊多少次 ?【分析與解】撞擊 AD邊的點，每次由A 向 D 移動 2；撞擊 BC邊的點，每次由C向 B 移動 2因為第一次撞擊BC邊的點距 C 點 1，第一次撞擊AB 邊的點距A 點為 2，19942=997所以最后落人D 洞，在此之前撞擊BC邊 997 次13 10 個一樣大的圓擺成如圖12-13 所示的形狀過圖中所示兩個圓心A， B 作直線，那么直線右上方圓內(nèi)圖形面積總和與直線左下圓內(nèi)圖形面積總和的比是多少?【分析與解】 直線 AB的右上方的有2 個完整的

29、圓， 2 個半圓， 1 個1 個而 1 個1 個正好組成一個完整的圓，即共有4 個完整的圓那么直線AB的左下方有10-4=6 個完整的圓，每個圓的面積相等，所以直線右上方圓內(nèi)圖形面積總和與直線左下圓內(nèi)圖形面積總和的比是4：6=2： 314 在圖 12-14 中，一個圓的圓心是 0，半徑 r=9 厘米， 1= 2=15 . 那么陰影部分的面積是多少平方厘米 ?( 取 3.14)14文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】有 AO=OB，所以AOB 為等腰三角形，AO=OC，所以AOC為等腰三角形. ABO= 1=15， AOB=180 - 1- ABO=150 . ACO= 2=15, A

30、OC=180 - 2- ACO=150 .所以 BOC=360 - AOB-AOC=60，所以扇形BOC的面積為609242.39 ( 平方厘米 ) 36015 圖 12-15 是由正方形和半圓形組成的圖形 其中 P 點為半圓周的中點， Q點為正方形一邊的中點 已知正方形的邊長為10，那么陰影部分的面積是多少?(取 3.14)【分析與解】過 P 做 AD平行線，交AB于 O點， P 為半圓周的中點，所以0 為 AB中點有 SABCD10 10 100， S半圓 DPC（10212）12.5 .2（10） 1，101051S AOP 5 10+2237.5 S梯形 OPQB550.22陰影部分面

31、積為SABCDS半圓 DPC - S AOPS梯形 OPQB10012.537.5 50 12.5 12.551.75.第 13 講 植樹問題內(nèi)容概述幾何圖形的設(shè)計與構(gòu)造，本講講解一些有關(guān)的植樹問題典型問題15文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！1 今有 10 盆花要在平地上擺成 5 行，每行都通過 4 盆花請你給出一種設(shè)計方案，畫圖時用點表示花，用直線表示行【分析與解】如下圖所示：2今有 9 盆花要在平地上擺成10 行，每行都通過3 盆花請你給出一種設(shè)計方案，畫圖時用點表示花，用直線表示行【分析與解】如下圖所示：3今有 10 盆花要在平地上擺成 10 行，每行都通過 3 盆花 請你給出一種設(shè)計

32、方案，畫圖時用點表示花，用直線表示行【分析與解】如下圖所示：4 今有 20 盆花要在平地上擺成 18 行，每行都通過 4 盆花請你給出一種設(shè)計方案，畫圖時用點表示花，用直線表示行【分析與解】如下圖所示：5 今有 20 盆花要在平地上擺成 20 行，每行都通過 4 盆花請你給出一種設(shè)計方案，畫圖時用點表示花，用直線表示行【分析與解】如下圖所示：第 14 講 數(shù)字謎綜合內(nèi)容概述各種具有相當(dāng)難度、求解需要綜合應(yīng)用多方面知識的豎式、橫式、 數(shù)字及數(shù)陣圖等類型的數(shù)字謎問題典型問題1 ABCD表示一個四位數(shù)， EFG表示一個三位數(shù)， A，B，C，D，E，F(xiàn)，G代表 1 至 9 中的不同的數(shù)字已知 ABCD

33、+EFG=1993，問：乘積 ABCDEFG的最大值與最小值相差多少 ?16文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！【分析與解】 因為兩個數(shù)的和一定時，兩個數(shù)越緊接，乘積越大；兩個數(shù)的差越大，乘積越小 A 顯然只能為 1，則 BCD+EFG=993，當(dāng) ABCD與 EFG的積最大時， ABCD、EFG最接近，則 BCD盡可能小， EFG盡可能大，有 BCD最小為 234，對應(yīng) EFG為 759，所以有 1234759 是滿足條件的最大乘積；當(dāng) ABCD與 EFG的積最小時， ABCD、EFG差最大，則 BCD盡可能大， EFG盡可能小，有 EFG最小為 234，對應(yīng) BCD為 759，所以有 175

34、9234 是滿足條件的最小乘積；它們的差為 12347591759234=(1000+234)759一 (10 00+759)234=1000（ 759 234)=525000 2. 有 9 個分?jǐn)?shù)的和為1，它們的分子都是1其中的 5 個是 1 ,1 ,1 ,1 ,1 另外 4 個數(shù)的分母個位3791133數(shù)字都是5請寫出這 4 個分?jǐn)?shù)【分析與解】l一( 1+1+1+1+1)=32101=101011379113337113357需要將 1010 拆成 4 個數(shù)的和，這4 個數(shù)都不是5 的倍數(shù)，而且都是 3371l的約數(shù)因此，它們可能是3， 7， 9，11， 21，33， 77，63， 99，

35、231， 693經(jīng)試驗得 693+231+77+9=1010所以，其余的4 個分?jǐn)?shù)是： 1 ,1 ,1 ,1 .515453853.請在上面算式的每個方格內(nèi)填入一個數(shù)字，使其成為正確的等式【分析與解】1988=2277l=4 497，1 + 1 1 ，在等式兩邊同時乘上1，就得1+ 11124349759641988顯然滿足題意1491又 1+ 1 = 1 ，兩邊同乘以1，就得1+11顯然也滿足351410142497019881420111，1+11均滿足 .3053+120419888094198815964 小明按照下列算式：乙組的數(shù)口甲組的數(shù)1=對甲、乙兩組數(shù)逐個進行計算， 其中方框是

36、乘號或除號，圓圈是加號或減號他將計算結(jié)果填入表14 1的表中有人發(fā)現(xiàn)表中14 個數(shù)中有兩個數(shù)是錯的請你改正問改正后的兩個數(shù)的和是多少?【分析與解】甲組的前三個數(shù)0.625 ， 2， 9 都是小于1 的數(shù)， 2 17 與這三個數(shù)運算后，得5.05 ，314324 51，45 ；不論減1 還是加 l 后，這三個數(shù)都比2 17 大，而這是2 17 與小于 1 的數(shù)運算的結(jié)果，因此6416323217文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！可以猜想方框內(nèi)是除號現(xiàn)在驗算一下：2 17 0.625= 81 8= 81=4.05 ；3232520172813152=3；217 9 =8114=63=315；321

37、43291616217 3=27 .3232從上面四個算式來看，圓圈內(nèi)填加號，這樣有三個結(jié)果是對的，而4 5 是錯的16按照算式乙組的數(shù)甲組的數(shù) +1 *23+1=1 2 ，顯然不為 1.5 ，上面已認(rèn)定3 是正確的，因此，只有把 2 改為 1.5 ，才有 1. 53+1=1 1 ，32而 1. 50.625+l=3.4 ， 1. 5 2 +1=3.25 3由此可見，確定的算式* 是正確的表中有兩個錯誤，4 5 應(yīng)改為 4 15 ， 2 應(yīng)改為 1.5 ，1616415 +1 1 =5+158 =6 7 1621616改正后的兩個數(shù)的和是6 7 165 圖 14 3 中有大、中、小3 個正方形

38、，組成了8 個三角形現(xiàn)在先把1， 2，3，4 分別填在大正方形的 4 個頂點上，再把1，2，3， 4 分別填在中正方形的4 個頂點上，最后把1， 2，3，4 分別填在小正方形的 4 個項點上(1) 能否使 8 個三角形頂點上數(shù)字之和都相等 ?如果能，請給出填數(shù)方法：如果不能，請說明理由(2) 能否使 8 個三角形頂點上數(shù)字之和各不相同?如果能，請給出填數(shù)方法；如果不能，請說明理由【分析與解】(1)無論怎樣填法，都不可以使八個三角形頂點上數(shù)字之和相等事實上，假設(shè)存在某種填法使得八個三角形頂點上數(shù)字之和都相等，不妨設(shè)每個三角形頂點上數(shù)字之和為 k在計算八個三角形頂點上數(shù)字之和時，大正方形四個頂點上

39、每個數(shù)字恰好使用過一次；中正方形四個頂點上每個數(shù)字各使用過三次；小正方形四個頂點上每個數(shù)字各使用過二次因此，這八個三角形頂點上數(shù)字之和的總和為：18文本可編輯，如有幫助歡迎下載支持！8k=(1+2+3+4)+3 (1+2+3+4)+2 (1+2+3+4) ，即 8k=60,k 不為整數(shù)，矛盾，所以假設(shè)是錯誤的(2)易知：不可能做到三角形的三個頂點上數(shù)字完全相同，所以三角形頂點上數(shù)字之和最小為1 +1+2=4，最大為 3+4+4 11而 411 共 8 個數(shù)，于是有可能使得 8 個三角形頂點上數(shù)字之和各不相同，可如下構(gòu)造，且填法不惟一圖 (a) 和圖 (b) 是兩種填法6 圖 14 5 中有 11 條直線請將1 至 11 這 11 個數(shù)分別填在11 個圓圈里，使每一條直線上所有數(shù)的和相等求這個相等的和以及標(biāo)有* 的圓圈中所填的數(shù)【分析與解】表述 1：設(shè)每行的和為 S，在左下圖中，除了a 出現(xiàn) 2 次，其他數(shù)字均只出現(xiàn)了1 次，并且每個數(shù)字都出現(xiàn)了，于是有4S=(1+2+3+ +11)+ a=66+a；在右上圖中除了a 出現(xiàn)5 次，其他數(shù)字均只出現(xiàn)了1 次，并且每個數(shù)字都出現(xiàn)了，于是有5S=(1+2+3+11)+4a 66+4a4S66a(1)綜合以上兩式66，5S4