高等代數(shù)北大第三版18課件PPT學習教案

1、會計學1高等代數(shù)北大第三版高等代數(shù)北大第三版1。8課件課件1. 代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理一、復系數(shù)多項式一、復系數(shù)多項式 若若 則則 在復數(shù)域在復數(shù)域( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f x上必有一根上必有一根 C推論推論1( ) ,f xC x( ( )1,f x若若則存在則存在 ,xaC x()|( ).xaf x 使使即，即，( )f x在復數(shù)域上必有一個一次因式在復數(shù)域上必有一個一次因式第1頁/共11頁推論推論2復數(shù)域上的不可約多項式只有一次多項式，即復數(shù)域上的不可約多項式只有一次多項式，即 則則 可約可約 ( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f x2. 復系

2、數(shù)多項式因式分解復系數(shù)多項式因式分解定理定理若若 則則 在復數(shù)域在復數(shù)域( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f xC上可唯一分解成一次因式的乘積上可唯一分解成一次因式的乘積 第2頁/共11頁推論推論1推論推論2若若 則則 在在 ( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f xC1212( )() ()()srrrsf xa xxx12,Zsr rr+ +, ,其中其中 是不同的復數(shù)，是不同的復數(shù)， 12,s 上具有標準分解式上具有標準分解式復根（重根按重數(shù)計算復根（重根按重數(shù)計算） 若若 ，則，則 有有n個個( ) f xC x，( ( )f xn( )f x第3頁/共11頁

3、二、實系數(shù)多項式二、實系數(shù)多項式 命題命題：若：若 是實系數(shù)多項式是實系數(shù)多項式 的復根，則的復根，則 的共軛復數(shù)的共軛復數(shù) 也是也是 的復根的復根 ( )f x ( )f x若若 為根，則為根，則 110( )0nnnnfaaa 兩邊取共軛有兩邊取共軛有 也是為也是為 復根復根 ( )f x110( )0nnnnfaaa 證：證：110( ),nnnnif xa xaxaaR 設設第4頁/共11頁實系數(shù)多項式因式分解定理實系數(shù)多項式因式分解定理 ，若，若 ， 則則 可唯一可唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積 ( ) f xR x( ( )1f x

4、( )f x證：對證：對 的次數(shù)作數(shù)學歸納的次數(shù)作數(shù)學歸納( )f x 時，結(jié)論顯然成立時，結(jié)論顯然成立. . ( ( )1f x 假設對次數(shù)假設對次數(shù)n的多項式結(jié)論成立的多項式結(jié)論成立設設 ，由代數(shù)基本定理，由代數(shù)基本定理, 有一復根有一復根 ( ( )f xn( )f x 若若 為實數(shù)為實數(shù), , 則則 ，其中，其中 1( )()( )f xxfx 1()1.fn第5頁/共11頁若若 不為實數(shù)，則不為實數(shù)，則 也是也是 的復根，于是的復根，于是 ( )f x222( )()()( )()( )f xxxfxxxfx設設 ，則，則 abi ,abi 22abR 即在即在R上上 是是 一個二次

5、不可約多項式一個二次不可約多項式2()xx2aR ,從而從而 2()2.fn 由歸納假設由歸納假設 、 可分解成一次因式與二次可分解成一次因式與二次1( )fx2( )fx不可約多項式的乘積不可約多項式的乘積 由歸納原理，定理得證由歸納原理，定理得證 第6頁/共11頁在在R上具有標準分解式上具有標準分解式( ) ,f xR x( )f x12121211( )() ()() ()skkkknsf xaxcxcxcxp xq推論推論11211,srrc ccpp qqR 其中其中11, ,sskk llZ 且且 ，即，即 為為240,1,2pqir2ixp xqiR上的不可約多項式上的不可約多項

6、式. 2()rkrrxp xq第7頁/共11頁推論推論2 實數(shù)域上不可約多項式只有一次多項式和某些二實數(shù)域上不可約多項式只有一次多項式和某些二例例1求求 在在 上與在上與在 上的標準分解式上的標準分解式. . 1nx CR1)在復數(shù)范圍內(nèi)在復數(shù)范圍內(nèi) 有有n個復根，個復根，1nx 次不可約多項式，所有次數(shù)次不可約多項式，所有次數(shù)3的多項式皆可約的多項式皆可約. . 解：解：211,n 第8頁/共11頁22cossin,1ninn22cossin,1,2,kkkiknnn 211(1)()()()nnxxxxx 2)在實數(shù)域范圍內(nèi)在實數(shù)域范圍內(nèi)這里這里,kn k 22cos1, kkkkkn 1, 2,kn第9頁/共11頁當當n為奇數(shù)時為奇數(shù)時 2111(1)()nnnxxxx111122222()nnnnxx2221(1)(2 cos1)2 cos1nx