最新三角形五心性質(zhì)概念整理超全資料

1、精品文檔重心1、 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2: 1。2、 重心和三角形3個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等。3、重心到三角形3個頂點(diǎn)距離平方的和最小。證明方法：設(shè)三角形三個頂點(diǎn)為(xi,yi),(x 2,y 2),(x 3,y3)平面上任意一點(diǎn)為(x，y)則該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離平 方和為：2 2 2 2 2 2(x i-x) +(y i-y) +(x2-x) +(y 2-y) +(x 3-x) +(y 3-y)2 2 2 2 2 2 2 2=3x -2x(x i+X2+X3)+3y -2y(y i+y2+y3)+xi +x2 +X3 +yi +y2 +y3=3x-1/3*(x i+

2、X2+X3) 2+3y-i/3*(y 汁y2+y3) 2+Xi2+X22+X32+y；+y22+y32-i/3(x i+X2+X3)2-i/3(y i+y2+y3)2 顯然當(dāng) x=(x i+X2+X3)/3,y=(y i+y2+y3)/3 (重心坐標(biāo))時上式取得最小值 Xi 2+X22+X32+yi2+y22+y32-i/3(x 汁X2+X3) 2-i/3(y 汁y2+y3)2最終得出結(jié)論。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其坐標(biāo)為(X i+X+X)/3,(Y i+Y+Y3)/3；空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：(Xi+X+X)/3，縱坐標(biāo)：(Yi+Y+YQ/3，縱坐標(biāo)：(乙+

3、Z2+Z3)/35、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。6、 在厶ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0 (向量)，貝卩M點(diǎn)為 ABC的重心， 反之也成立。7、 設(shè)厶ABC重心為G點(diǎn)，所在平面有一點(diǎn) O,則向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC內(nèi)心設(shè)厶ABC的內(nèi)切圓為。l(r)，/ A、/ B/C的對邊分別為 a b、1、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑c, p=(a+b+c)/2 .2、/ BIC=90 +/ BAC/2.3、 在 Rt ABC中, / A=90 ,三角形內(nèi)切圓切 BC于 D,貝卩 SAABC=B0CD4、 點(diǎn)0是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是厶ABC內(nèi)

4、心的充要條件是：向量 OI二a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)/(a+b+c).5、在厶 ABC中，若三個頂點(diǎn)分別是 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3, y3),那么 ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)6、 (歐拉定理) ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其 外心和內(nèi)心，貝卩OI2=R2-2Rr.7、AABC中: a,b,c分別為三邊，S為三角形面積，則內(nèi)切圓半徑 r=2S/(a+b+c)8雙曲

5、線上任一支上一點(diǎn)與兩交點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實軸的射影為對應(yīng)支的頂點(diǎn)R,9、AABC中，內(nèi)切圓分別與 AB, BC CA相切于P,則 AP二AR=(b+c-a)/2 , BP =BQ =(a+c-b)/2.CR =CQ =(b+a-c)/2,r=(b+c-a)ta n( A/2)/2。10、三角形內(nèi)角平分線定理: ABC中，I為內(nèi)心，/ BAC、/ ABC / ACB的內(nèi)角平分線分別交 BC AC AB于Q R、P，貝卩 BQ/QC二c/b BP/PA=a/b，CR/RA=a/c。內(nèi)切圓的半徑(1) 在 Rt ABC中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2.(2) 在 Rt ABC中，/

6、C=90 , r=ab/(a+b+c)(3) 任意 ABC中 r= (2*SAABC /C ABC ( C 為周長)精品文檔銳帝三角形的外心在三角形內(nèi)直角三甬形的外心在娜邊上，與斜邊中點(diǎn)重亀鈍甬三翔形的外b在三角形外性質(zhì)1:( 1)銳角三角形的外心在三角形內(nèi);(2) 直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合；(3) 鈍角三角形的外心在三角形外.(4) 等邊三角形外心與內(nèi)心為同一點(diǎn)。性質(zhì) 2:/ BGC=2A,(或/ BGC=2(180 - /A).性質(zhì) 3:/ GAC/ B=90證明：如圖所示延長AG與圓交與P (B、C下面的那個點(diǎn))T A C、B、P四點(diǎn)共圓/ P=/B/ P+/ GAC=9

7、0 / GAC/ B=90性質(zhì)4:點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABC上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn) G是/ ABC外心的充要條件是:(1)向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(ta nA+ta nB+ta nC).或(2)向量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+(cosC/2sinAsinB)向量 PC.性質(zhì)5:三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點(diǎn)的距離相等。性質(zhì)6:點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是/ ABC外心的充要條

8、件(向量GA向量GB) 向量AB=(向量GB向量GC)-向量BC=(向量GC向量GA) 向量CA=0.三角形外接圓半徑:R=abc/ （4SA ABC垂心1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形 的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)，均在 ABC的外接圓上。4、 ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組（每組四個）相似的直角三角形，且AH- HD=BH HE=CH HF。5、 H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心 （并稱這樣的四點(diǎn) 為一一垂心組）。6、 ABC A

9、BH BCH ACH的外接圓是等圓。7、 在非直角三角形中，過 H的直線交AB AC所在直線分別于P、Q則AB/AP - tanB+AC/AQ- tanC二tanA+tanB+tanC。8、 三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。9、設(shè)O, H分別為 ABC的外心和垂心，貝卩/ BAOh HAC / ABHM OBC / BCOh HCA10、 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2 倍。11、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形（頂點(diǎn)在原 三角形的邊上）中，以垂足三角形的周長最短。12、西姆松（Simson）定理（西姆松線）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接 圓上。13、設(shè)銳角/ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,那么P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA向量PA*向量PB量PB*向量卩。=向量P