窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器w

1、基于窗函數(shù)法的FIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)基于窗函數(shù)法的FIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)摘 要數(shù)字濾波器是一種用來過濾時(shí)間離散信號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)，通過對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來達(dá)到頻域?yàn)V波的目的。根據(jù)其單位沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性可分為兩類：無限沖激響應(yīng)（IIR）濾波器和有限沖激響應(yīng)（FIR）濾波器。與IIR濾波器相比，F(xiàn)IR的實(shí)現(xiàn)是非遞歸的，總是穩(wěn)定的；更重要的是，F(xiàn)IR濾波器在滿足幅頻響應(yīng)要求的同時(shí)，可以獲得嚴(yán)格的線性相位特性。因此，它在高保真的信號(hào)處理，如數(shù)字音頻、圖像處理、數(shù)據(jù)傳輸、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。濾波器的設(shè)計(jì)是信號(hào)處理的核心問題之一。根據(jù)FIR濾波器的原理，提出了FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法，

2、給出了在MATLAB環(huán)境下，用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的過程和設(shè)計(jì)實(shí)例。通過利用不同的窗函數(shù)方法設(shè)計(jì)FIR濾波器，對(duì)所設(shè)計(jì)的濾波器進(jìn)行分析比較，得出各種方法設(shè)計(jì)的濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)及其不同的使用場(chǎng)合，從而可以在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)能夠正確的選擇FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)的選取及設(shè)計(jì)方法。關(guān)鍵詞：FIR濾波器，MATLAB，窗函數(shù)I目 錄摘 要I1 概述11.1 FIR濾波器簡(jiǎn)介11.2 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法12 設(shè)計(jì)原理32.1 基本原理32.2 典型的窗函數(shù)43 幾種數(shù)字低通濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)73.1 采用矩形窗設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器73.2 采用漢明窗設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器73.3 采用布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR

3、數(shù)字低通濾波器9參考文獻(xiàn)10附 錄121 概述1.1 FIR濾波器簡(jiǎn)介 FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)最簡(jiǎn)單的方法是窗函數(shù)法，通常也稱為傅立葉級(jí)數(shù)法。它是在時(shí)域進(jìn)行的，因而必須由理想濾波器的頻率響應(yīng)推導(dǎo)出其單位沖激響應(yīng)，在設(shè)計(jì)一個(gè)FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)去逼近。根據(jù)沖激響應(yīng)的時(shí)域特性，數(shù)字濾波器可分為無限長沖激響應(yīng)（IIR）和有限長沖激響應(yīng)濾波器（FIR），F(xiàn)IR的突出優(yōu)點(diǎn)是：系統(tǒng)總是穩(wěn)定的、易于實(shí)現(xiàn)線性相位、允許設(shè)計(jì)多通帶（或多阻帶）濾波器，但與IIR相比，在滿足同樣阻帶衰減的情況下需要的階數(shù)較高，濾波器的階數(shù)越高，占用的運(yùn)算時(shí)間越多，因此在滿足指標(biāo)要求的情況下應(yīng)盡量減少濾波器的階數(shù)。1.2 窗

4、函數(shù)設(shè)計(jì)法窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是一種通過截短和計(jì)權(quán)的方法使無限長非因果序列成為有限長脈沖應(yīng)響應(yīng)序列的設(shè)計(jì)方法，通常在設(shè)計(jì)濾波器之前，應(yīng)該先根據(jù)具體的工程應(yīng)用確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)，在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)字濾波器常常被用來實(shí)現(xiàn)選頻操作，所以指標(biāo)的形式一般為在頻域中以分貝值給出的相對(duì)幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)。 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟如下： （1）根據(jù)過渡帶寬及阻帶衰減要求，選擇窗函數(shù)的類型并估計(jì)窗口長度N（或階數(shù)M=N-1），窗函數(shù)類型可根據(jù)最小阻帶衰減As獨(dú)立選擇，因?yàn)榇翱陂L度N對(duì)最小阻帶衰減As沒有影響，在確定窗函數(shù)類型以后，可根據(jù)過渡帶寬小于給定指標(biāo)確定所擬用的窗函數(shù)的窗口長度N，設(shè)待求濾波器的過

5、渡帶寬為，它與窗口長度N近似成反比，窗函數(shù)類型確定后，其計(jì)算公式也確定了，不過這些公式是近似的，得出的窗口長度還要在計(jì)算中逐步修正，原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇較小的N，在N和窗函數(shù)類型確定后，即可調(diào)用MATLAB中的窗函數(shù)求出窗函數(shù)W（n）。 （2）根據(jù)待求濾波器的理想頻率響應(yīng)求出理想單位脈沖響應(yīng)hd（n），如果給出待求濾波器頻率應(yīng)為Hd（ejw），則理想的單位脈沖響應(yīng)可以用下面的傅里葉反變換式求出： （1）在一般情況下，hd（n）是不能用封閉公式表示的，需要采用數(shù)值方法表示；從w=0到w=2采樣N點(diǎn)，采用離散傅里葉反變換（IDFT）即可求出。 （3）計(jì)算濾波器的單位脈沖響

6、應(yīng)h（n），它是理想單位脈沖響應(yīng)和窗函數(shù)的乘積。 (4)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求，為了計(jì)算數(shù)字濾波器在頻域中的特性，可調(diào)用freqz子程序，如果不滿足要求，可根據(jù)具體情況，調(diào)整窗函數(shù)類型或長度，直到滿足要求為止。使用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)時(shí)要滿足以下兩個(gè)條件：窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶；盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對(duì)幅度，也就是使能量盡量集中于主瓣，減小峰肩和紋波，進(jìn)行增加阻帶的衰減。窗函數(shù)的選擇原則是：1具有較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣的幅度；2旁瓣的幅度下降的速率要快，以利于增加阻帶的衰減；3主瓣的寬度要窄，這樣可以得到比較窄的過渡帶。通常上述的幾點(diǎn)難以同時(shí)滿足。實(shí)際中設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器

7、往往要求是線性相位的，因此要求滿足線性相位的條件，即要求w(n)滿足： （2）所以，窗函數(shù)不僅有截短的作用，而且能夠起到平滑的作用，在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。2 設(shè)計(jì)原理2.1 基本原理設(shè)計(jì)低通FIR數(shù)字濾波器，尋求一系統(tǒng)函數(shù)，使其頻率響應(yīng)逼近濾波器要求的理想頻率響應(yīng)，其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) （3）其中 如果所希望的濾波器的理想的頻率響應(yīng)函數(shù)為，則其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為 （4）窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理是用有限長單位脈沖響應(yīng)序列逼近。由于往往是無限長序列，而且是非因果的，所以用窗函數(shù)將截?cái)?，并進(jìn)行加權(quán)處理，得到： （5）就作為實(shí)際設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列，其頻率響應(yīng)函數(shù)為 （6）式中，N

8、為所選窗函數(shù)的長度。2.2 典型的窗函數(shù)（1）矩形窗(Rectangle Window) （7） 其頻率響應(yīng)和幅度響應(yīng)分別為：， （8）（2）三角形窗(Bartlett Window) （9） 其頻率響應(yīng)為： （3）漢寧(Hanning)窗，又稱升余弦窗 （10）其頻率響應(yīng)和幅度響應(yīng)分別為：（4）漢明(Hamming)窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗 （11）其幅度響應(yīng)為： （5）布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗 （12）其幅度響應(yīng) ： （6）凱塞(Kaiser)窗 （13） 其中：是一個(gè)可選參數(shù)，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，一般說來，越大，過渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。

9、I0()是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。 若阻帶最小衰減表示為，的確定可采用下述經(jīng)驗(yàn)公式： 若濾波器通帶和阻帶波紋相等即p=s時(shí)，濾波器節(jié)數(shù)可通過下式確定： 式中：我們知道，用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的濾波器性能取決于窗函數(shù)的類型及窗口長度N的取值。設(shè)計(jì)過程中，要根據(jù)對(duì)阻帶最小衰減和過渡帶寬度的要求選擇合適的窗函數(shù)類型和窗口長度N 。各種類型的窗函數(shù)可達(dá)到的阻帶最小衰減和過渡帶寬度見下表1。表2-1 各種窗函數(shù)的基本參數(shù)窗函數(shù)旁瓣峰值幅度/dB過渡帶寬阻帶最小衰減/dB矩形窗-134/N-12漢明窗-418/N-53布萊克曼窗-5712/N-74這樣選定窗函數(shù)類型和長度N之后，求出單位脈沖響應(yīng)，并按照式（6）

10、求出。是否滿足要求，要進(jìn)行演算。一般在尾部加零使長度滿足2的整數(shù)次冪，以便用FFT計(jì)算。如果要觀察細(xì)節(jié)，補(bǔ)零點(diǎn)數(shù)增多即可。如果不滿足要求，則要重新選擇窗函數(shù)類型和長度N ，再次驗(yàn)算，直至滿足要求。如果要求線性相位特性，則還必須滿足 (14)根據(jù)上式中的正、負(fù)號(hào)和長度N的奇偶性又將線性相位FIR濾波器分成四類。要根據(jù)所設(shè)計(jì)的濾波特性正確選擇其中一類，例如，要設(shè)計(jì)線性相位低通特性，可以選擇這一類，而不能選擇這一類。我們?cè)谠O(shè)計(jì)濾波器時(shí)，希望窗譜主瓣盡可能窄，以獲得較陡的過渡帶，同時(shí)盡可能減小最大旁瓣的相對(duì)幅度，我們發(fā)現(xiàn)這是不可能的，因?yàn)檫@本身就是一個(gè)矛盾體，所以在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)只是根據(jù)實(shí)際情況來選擇合

11、適的窗函數(shù)。3 幾種數(shù)字低通濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)3.1 采用矩形窗設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器圖3-1 采用矩形窗設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器的仿真圖3.2 采用漢明窗設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器圖3-2 采用漢明窗設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器的仿真圖3.3 采用布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器圖3-3 采用布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器的仿真圖圖3-4采用布萊克曼窗沖激響應(yīng)仿真圖圖3-5采用布萊克曼窗對(duì)含噪語音信號(hào)及濾波后的語音信號(hào)仿真圖參考文獻(xiàn)1 從玉良.數(shù)字信號(hào)處理原理及其MATLAB實(shí)現(xiàn)M.北京：電子工業(yè)出版社.2009.72 胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理理論、算法與實(shí)現(xiàn)M.北京：清華大學(xué)出版社.2003

12、,8 3 萬永革.數(shù)字信號(hào)處理的MATLAB實(shí)現(xiàn)M.北京: 科學(xué)出版社.2007. 4 薛山.MATLAB基礎(chǔ)教程M.北京: 清華大學(xué)出版社.2011. 5 陳懷琛.數(shù)字信號(hào)處理教程MATLAB釋義與實(shí)現(xiàn)M.北京: 電子工業(yè)出版社.2002 6 繆家鼎，徐文娟 光電技術(shù)M 杭州：浙江大學(xué)出版社，1994：112-156 7 李曉東，張慶紅，葉瑾琳氣候?qū)W研究的若干理論問題J北京大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1999，35(1)：101-106 8 鄭開青通訊系統(tǒng)模擬及軟件D北京：清華大學(xué)無線電系，1987 9 Online Computer Library Center, Inc. History of

13、 OCLCEB/OL2000-01-08 http: /www. oclc. org/about/ history/default. htm. 附 錄矩形窗設(shè)計(jì)程序passrad=0.4*pi;w2=boxcar(16);n=1:1:16;hd=sin(passrad*(n-8)./(pi*(n-8);hd(8)=passrad/pi;h2=hd.*rot90(w2);title(designed by Hanning window);mag2,rad=freqz(h2);subplot(2,1,1);plot(rad,20*log10(abs(mag2);grid on;h2,w2=freq

14、z(h2,1,100,2);subplot(2,1,2);plot(w2,unwrap(angle(h2);grid on;漢明窗設(shè)計(jì)程序passrad=0.4*pi;w2=hamming(32);n=1:1:32;hd=sin(passrad*(n-16)./(pi*(n-16);hd(16)=passrad/pi;h2=hd.*rot90(w2);title(designed by Hanning window);mag2,rad=freqz(h2);subplot(2,1,1);plot(rad,20*log10(abs(mag2);grid on;h2,w2=freqz(h2,1,10

15、0,2);subplot(2,1,2);plot(w2,unwrap(angle(h2);grid on;布萊克曼窗函數(shù)設(shè)計(jì)程序passrad=0.4*pi;w2=blackman(64);n=1:1:64;hd=sin(passrad*(n-32)./(pi*(n-32);hd(32)=passrad/pi;h2=hd.*rot90(w2);title(designed by Hanning window);mag2,rad=freqz(h2);subplot(2,1,1);plot(rad,20*log10(abs(mag2);grid on; h2,w2=freqz(h2,1,100,2

16、);subplot(2,1,2);plot(w2,unwrap(angle(h2);grid on;用布萊克曼語音信號(hào)進(jìn)行濾波，并得濾波前后信號(hào)的時(shí)域波形及頻譜程序clear;clc;x,fs=wavread(D:SHE.wav);sound(x,fs);if x/2=0 x=x 0;endfnoise =10000;T=length(x)/fs;t=T/length(x):T/length(x):T;for j=1:length(x)noise(j)=sin(2*pi*fnoise*t(j);endx=x+noise;fp=1000;fst=1200;delta_w=2*pi*(fst-fp)/fs;wc=pi*(fst+fp)/fs;N=31;if N/2=0N=N+1;endtau=(N-1)/2;for n=1:Nh(n)=sin(wc*(n-tau)/(pi*(n-tau);endh(N-1)/2)=(fst+fp