多元函數及隱函數求導

1、1上下1上下 第七章第七章 多元微分學多元微分學 空間曲面與曲線多元復合函數及隱函數求導法則偏微商與全微分多元函數的基本概念1實用精品課件PPT2上下2上下理解二元函數的定義，會求二元函數的定義域理解二元函數的定義，會求二元函數的定義域 了解二元函數的極限與連續(xù)概念 了解二元函數的極限與連續(xù)概念 理解二元函數偏導數定義，掌握多元復合函數求導法則 理解二元函數偏導數定義，掌握多元復合函數求導法則 理解全微分概念，會求二元函數全微分理解全微分概念，會求二元函數全微分掌握多元函數的極值概念，會求多元函數的極值 掌握多元函數的極值概念，會求多元函數的極值 會使用拉格朗日乘數法求條件極值，會應用最小二乘

2、法 會使用拉格朗日乘數法求條件極值，會應用最小二乘法 會解一些經濟問題中的最優(yōu)化問題 會解一些經濟問題中的最優(yōu)化問題 教學目的教學目的:本章重點本章重點:本章難點本章難點:偏導數與全微分的概念，多元復合函偏導數與全微分的概念，多元復合函數求導法則，多元函數極值求法數求導法則，多元函數極值求法. .二元復合函數微分法，多元函數的極二元復合函數微分法，多元函數的極值與求法值與求法. . 2實用精品課件PPT3上下3上下v目的要求目的要求 掌握復合函數求偏導法掌握復合函數求偏導法則，隱函數求偏導法則。則，隱函數求偏導法則。v重點重點 復合函數求偏導法則復合函數求偏導法則v難點難點 復合函數求偏導法則

3、復合函數求偏導法則7.4 多元復合函數及隱函數求導法則多元復合函數及隱函數求導法則3實用精品課件PPT4上下4上下一、一、復合函數求導法則復合函數求導法則定理定理 (1) u= (x,y),v= (x,y)的偏導數在點的偏導數在點 (x，y) 處連續(xù)處連續(xù); (2) 函數函數z= f(u,v)的偏導數在的偏導數在(x,y)的對應點的對應點 (u,v)處連續(xù)處連續(xù). 則復合函數則復合函數 z= f (x,y), (x,y) 在在(x,y)處存在連續(xù)的偏導數，且處存在連續(xù)的偏導數，且7.4 多元復合函數及隱函數求導法則多元復合函數及隱函數求導法則4實用精品課件PPT5上下5上下xvvfxuufxz

4、 yvvfyuufyz z=fuvxyxy鏈式法則鏈式法則復合函數復合函數求導法則求導法則z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y)5實用精品課件PPT6上下6上下解解,yxvxyu 令令,sinvezu 則則xvvfxuufxz 1cossin veyveuu)cos()sin(yxeyxyexyxy yvvfyuufyz 1cossin vexveuu)cos()sin(yxeyxxexyxy 注注: 此題可不用鏈式法則來解此題可不用鏈式法則來解的的偏偏微微商商。求求例例)sin(yxezxy 導數導數6實用精品課件PPT7上下7上下解解22,uxy vxy 令令,vzu x

5、vvfxuufxz 12lnvvvuxuu y 22222222()ln()xyx yxyyxyxy yvvfyuufyz 12lnvvvuyuu x 22222222()ln()xyxyxyxxyxy 冪指函數冪指函數注注: 此題必須用鏈式法則來解此題必須用鏈式法則來解22()xyzxy 例例求求的的偏偏微微商商。導數導數7實用精品課件PPT8上下8上下.)( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 解：解：xyvyxu ,22令令),(arctanvufuezv 則則xvvfxuufxz )11(22arctanarctanvuexevv )(2xy )(22222arctan

6、yxyyxxexy )2(arctanyxexy 練習練習8實用精品課件PPT9上下9上下yvvfyuufyz xvueyevav1)11(22arctanarctan )(22222arctanyxxyxyexy )2(arctanxyexy .)( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 xyvyxu ,22令令),(arctanvufuezv 則則9實用精品課件PPT10上下10上下)2(arctanxyexy dyyzdxxzdz )2()2(arctandyxydxyxexy .)( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 xvvfxuufxz )2(arct

7、anyxexy yvvfyuufyz 考研考研題目題目10實用精品課件PPT11上下11上下幾種常見的形式幾種常見的形式（1）若）若z= f(u,v), u=u (x), v= v (x) 只有一個自變量只有一個自變量 dxdvvfdxduufdxdz uvxz= f)()(),(xzxvxufz 則則這時這時11實用精品課件PPT12上下12上下(2)若若z= f(u), u=u(x,y), u是是一個中間變量一個中間變量z=fuxyxududfxz yududfyz yxzyxufz,),( 12實用精品課件PPT13上下13上下(3)若若z=f (u,x,y), u= (x,y)z=fu

8、xyxyxfxuufxz yfyuufyz ),(),),(yxzyxyxfz 對于本形式，要注意以下幾點：對于本形式，要注意以下幾點：13實用精品課件PPT14上下14上下 注意注意1. 這里這里x, y具有具有雙重雙重身份：既作為自變身份：既作為自變量，也作為中間變量。量，也作為中間變量。2.:的的差差別別在在于于與與xfxz 前一個把前一個把x看作自變量，看作自變量，后一個把后一個把x看作中間變量?？醋髦虚g變量。 xfxuufxz yfyuufyz z=fuxyxy14實用精品課件PPT15上下15上下例例 設設z=xy+et, x=sint, y=cost. 求求 dtdztfdtdy

9、yfdtdxxfdtdz tyyetxxtyx )sin(lncos1cos12cos1(sin )cos(sin )lnsin.ttttttte 解解15實用精品課件PPT16上下16上下例例 設設u= f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求求yuxu ,u=fyxzxyxzzfxfxu zfyxxxf )cos(222yzzfyfyu .)cos(222zfyxyyf 解解練習練習16實用精品課件PPT17上下17上下例例 設設z= f(x2-y2,exy),f 有連續(xù)偏導數有連續(xù)偏導數求求yzxz ,z=fuvyxxy則則設設,22xyevyxu xvvfxuufxz xyyev

10、fxuf 2vfyeufxxy 2.2vfxeufyyzxy 解解17實用精品課件PPT18上下18上下例例 設設z= f (x2-y2,exy), f 有連續(xù)偏導數求有連續(xù)偏導數求2zy x z=fuvyxxy則則設設,22xyevyxu .2vfxeufyyzxy 解解2()zzy xxy )2(vfxeufyxxy 2222222()()xyxyxyfufvffyexyeuxu vxvvfufvxev uxvx z=fuvyxxy18實用精品課件PPT19上下19上下例例解解 yzfuxy vxyyxvxyu ,令令yyyxyxyfx)()(1 yvvyvyuufx )()()(1 1)

11、()()(1 vyvxufx _,).()(12 xyzfyxyxyfxz則則具有二階連續(xù)微商，具有二階連續(xù)微商， 導數導數,19實用精品課件PPT20上下20上下)()()(vyvuf 2zy x )(yzx xvvyxvvxuuf )()()( )(11)()(yxyvyuf )()()(yxyyxxyf y yz例例),(yxvxyu _,).()(12 xyzfyxyxyfxz則則具有二階連續(xù)微商，具有二階連續(xù)微商， 導數導數,20實用精品課件PPT21上下21上下解法二解法二1)()()(1 yxyyxxxyfxyz )()()(yxyyxxyf )()()(yxyyxxyf y 例

12、例 yxz2_,).()(12 xyzfyxyxyfxz則則具有二階連續(xù)微商，具有二階連續(xù)微商， 導數導數,21實用精品課件PPT22上下22上下隱函數微分法隱函數微分法(1.二元方程確定的一元隱函數二元方程確定的一元隱函數) 設設F(x,y)=0確定確定y是是x的可微函數的可微函數y=y(x),則則 Fx,y(x) 0 ,可知，可知，F通過通過y是是x的函數。的函數。 0 dxdyFFdxdFyxFxyx，則則有有若若0 yF.yxFFdxdy 二、復合函數微分法的應用二、復合函數微分法的應用利用復合函數微分法利用復合函數微分法22實用精品課件PPT23上下23上下022.1 dxdyyxy

13、xdxdy 222.( , )1F x yxy令令,2,2yFxFyx 則則yxyxFFdxdyyx 22的的函函數數的的微微商商，所所確確定定的的如如求求xyx122 導數導數23實用精品課件PPT24上下24上下例的的函函數數，是是確確定定設設方方程程xyyxxy1 .dxdy求求解1),( yxxyyxF設設1,1,xyFyFx yxFFdxdy 則則.11 xy練習練習24實用精品課件PPT25上下25上下2. 三元方程確定的二元隱函數三元方程確定的二元隱函數設設F(x,y,z)=0確定確定z是是x,y的函數的函數,根據鏈式法則有根據鏈式法則有0 xzFFzx0 yzFFzy，則則若若

14、0 zF.,zyzxFFyzFFxz Fxyzxy25實用精品課件PPT26上下26上下例例),(333yxfzaxyzz 確確定定設設方方程程.,yzxz 求求解解333) ,(axyzzzyxF 設設.33,3,32xyzFxzFyzFzyx 時時，當當0332 xyzzxFFxz xyzyz3332 ,2xyzyz zyFFyz xyzxz3332 .2xyzxz 26實用精品課件PPT27上下27上下例例,0 xyzez設設2.zx y 求解,),(xyzezyxFz 令令.,xyeFxzFyzFzzyx zxFFxz ,xyeyzz zyFFyz .xyexzz 2)()()(xyexyzeyzyzyzxyezzz .)(32222xyezyxexyzzezzz 2zx y ()zyx 27實用精品課件PPT28上下28上下小節(jié)小節(jié)xvvfxuufxz yvvfyuufyz 復合函數求導法則復合函數求導法則.,zyzxFFyzFFxz 隱函數求導法則隱函數求導法則設設F(x,y,z)=0確定確定z是是x,y的函數的函數,根據鏈式法則有根據鏈式法則有作業(yè)作業(yè): 5.3節(jié)節(jié) 1