等價(jià)無(wú)窮小量的運(yùn)用

1、無(wú)窮觀(guān)下等價(jià)無(wú)窮小量的運(yùn)用 摘 要：本文簡(jiǎn)要介紹了無(wú)窮觀(guān)思想的發(fā)展歷程及等價(jià)無(wú)窮小量出現(xiàn)的背景，了解相關(guān)的數(shù)學(xué)史有助于更深入的學(xué)習(xí)無(wú)窮觀(guān)的思想。掌握等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)，可以在求解極限和判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性中靈活運(yùn)用。本文通過(guò)對(duì)不同條件下等價(jià)無(wú)窮小量的應(yīng)用的舉例，切實(shí)體會(huì)到運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量是使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的有效手段。同時(shí)還要避免錯(cuò)誤的利用等價(jià)無(wú)窮小量。 關(guān)鍵詞：無(wú)窮觀(guān)；等價(jià)無(wú)窮??；極限Abstract:This paper briefly introduces the development progress of infinite views and the background of eq

2、uivalence infinitesimal, knowing the relevant math history is beneficial for the deep learning of the infinite views and grasping the qualities of equivalence infinitesimal contributes to the flexible application in solving the limitation and judging the positive series. According to the applied exa

3、mples of infinitesimal in different conditions, we realize that using the equivalence infinitesimal is the equivalence infinitesimal is the effective way to make complex problems simplified.And at the same time we should avoid using the equivalence infinitesimal mistakenly.Key words: the infinite vi

4、ew;equivalence infinitesimal;limit史鑒使人明智，詩(shī)歌使人巧慧，數(shù)學(xué)使人精細(xì)，博物使人深沉，倫理之學(xué)使人莊重，邏輯與修辭使人善變。教育發(fā)展至今，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為必不可少的一門(mén)學(xué)科就是因?yàn)椤皵?shù)學(xué)使人精細(xì)”。由于數(shù)學(xué)的抽象程度高，因此數(shù)學(xué)理論并不是一目了然的，需要進(jìn)行深入的分析論證，經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考才能得到理解。這種理解要靠學(xué)生自己的領(lǐng)悟才能獲得，而領(lǐng)悟又靠對(duì)思維過(guò)程的不斷更新才能達(dá)到。因此，獨(dú)立思考，隨時(shí)對(duì)思維過(guò)程進(jìn)行反思，及時(shí)地獲取新知識(shí)和新方法，是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要手段，隨之形成嚴(yán)密的思維方式。兩千年來(lái)的三次數(shù)學(xué)危機(jī)都與，如因?yàn)闊o(wú)理數(shù)的出現(xiàn)在古希臘引起第一次危機(jī)，因?yàn)?

5、“無(wú)窮小悖論” 在歐洲引起第二次危機(jī)，因?yàn)?“羅素悖論”而引起第三次危機(jī)。可以說(shuō)，“無(wú)窮” 是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要條件。無(wú)窮這個(gè)數(shù)學(xué)中的基本概念，更是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念。大學(xué)數(shù)學(xué)中高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中，首先是了解無(wú)窮觀(guān)思想這對(duì)于數(shù)學(xué)相關(guān)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有著直接的影響。1 無(wú)窮思想的出現(xiàn)與發(fā)展 17世紀(jì)下半葉，牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立的積分學(xué)，用了無(wú)窮小量的概念，但因?qū)ζ浣忉尯磺?，出現(xiàn)了貝克萊悖論，導(dǎo)致數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。19世紀(jì)，柯西、魏爾斯特拉斯等人引入極限論、實(shí)數(shù)論，使微積分理論嚴(yán)格化，從而避免了貝克萊悖論，圓滿(mǎn)解決了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。然而與此同時(shí)，極限方法代替了無(wú)限小量方

6、法。無(wú)窮小量作為“消失了的幽魂”被排斥在了數(shù)學(xué)殿堂之外。1960年，美國(guó)數(shù)理邏輯學(xué)家A魯濱遜指出:現(xiàn)代數(shù)理邏輯的概念和方法為“無(wú)限小”、“無(wú)限大”作為“數(shù)”進(jìn)入微積分提供了合適的框架，無(wú)窮小量堂而皇之地重返數(shù)壇，成為邏輯上站得住腳的數(shù)學(xué)中的一員，被認(rèn)為是“復(fù)活了的無(wú)窮小”。這樣微積分創(chuàng)立300年后，第一個(gè)嚴(yán)格的無(wú)窮小理論才發(fā)展起來(lái)。回顧微積分學(xué)發(fā)展的歷史，無(wú)窮小分析法極限方法無(wú)窮小分析法，否定之否定，微積分學(xué)基礎(chǔ)獲得了進(jìn)一步發(fā)展。認(rèn)真考察無(wú)窮在數(shù)學(xué)中的發(fā)展歷程，可以注意到在無(wú)窮思想中一直存在著兩種觀(guān)念：實(shí)無(wú)限思想和潛無(wú)限思想。所謂實(shí)無(wú)限思想是指：把無(wú)限的整體本身作為一個(gè)現(xiàn)成的單位，是已經(jīng)構(gòu)造完

7、成了的東西，換言之，即是把無(wú)限對(duì)象看成為可以自我完成的過(guò)程或無(wú)窮整體。所謂潛無(wú)限思想是指：把無(wú)限看做永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長(zhǎng)著被不斷產(chǎn)生出來(lái)的東西來(lái)解釋?zhuān)凰肋h(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，視無(wú)限為永遠(yuǎn)在延伸著的（即不斷在創(chuàng)造著的永遠(yuǎn)完成不了的）過(guò)程。數(shù)學(xué)中無(wú)限的歷史實(shí)際上是兩者在數(shù)學(xué)中合理性的歷史。亞里士多德只承認(rèn)潛無(wú)限，使其在古希臘數(shù)學(xué)中占統(tǒng)治地位。 集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)，集合論還可以看成是研究無(wú)窮的理論。準(zhǔn)確把握大學(xué)數(shù)學(xué)極限論及集合論的無(wú)窮概念，基本有這三種類(lèi)型：無(wú)窮大、無(wú)窮小及無(wú)窮多，對(duì)應(yīng)到高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析及集合論中無(wú)窮概念為： 定義 (1) 設(shè) 是一個(gè)定數(shù), 是的鄰

8、域內(nèi)有定義的函數(shù). 如果,存在 ,使得當(dāng)時(shí), 總有, 則稱(chēng) 是函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限, 記為 . (2) 如果,則稱(chēng)當(dāng)是無(wú)窮小量. (3) 如果對(duì)任意給定的 ,存在,使得當(dāng)時(shí),總有,則稱(chēng)函數(shù) 當(dāng) 時(shí)是無(wú)窮大量,記為.類(lèi)似還有數(shù)列極限相應(yīng)的無(wú)窮大量、無(wú)窮小量概念,單側(cè)極限無(wú)窮大量、無(wú)窮小量,無(wú)窮遠(yuǎn)處的無(wú)窮大量、無(wú)窮小量等概念。 引理 設(shè)是一個(gè)定數(shù)，是在的鄰域內(nèi)有定義的函數(shù).則： （1）如果，則. （2）如果，且在的鄰域內(nèi)，則. 引理的結(jié)論即為：無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量，無(wú)窮大量與無(wú)窮小量互為反演關(guān)系，從而二者的的關(guān)系是：知道了其中一個(gè)的性質(zhì)也就相應(yīng)的知道了另一個(gè)的性質(zhì)。2

9、等價(jià)無(wú)窮小的概念定義 在某一極限過(guò)程中，以零為極限的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量。 定義 設(shè)函數(shù)與當(dāng)都是無(wú)窮小，且，若有，則稱(chēng)與是等價(jià)無(wú)窮小，記作若，則顯然其實(shí)所謂“等價(jià)”就是無(wú)窮小和趨于0的速度相當(dāng)。例如：，稱(chēng)在的過(guò)程中與為等價(jià)無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)等價(jià)無(wú)窮小。3 等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用3.1 等價(jià)無(wú)窮小在求函數(shù)極限中的應(yīng)用 極限的方法是數(shù)學(xué)分析最根本的方法之一，存在性與求法是極限的兩大問(wèn)題。在求極限時(shí)，正確使用等價(jià)無(wú)窮小代換，可以簡(jiǎn)化計(jì)算。約定：以下均假定極限是對(duì)同一自變量的變化過(guò)程而言，定理及證明中僅以某一類(lèi)極限過(guò)程為代表，其他情況類(lèi)似可得。當(dāng)時(shí)，有 （1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， （

10、7）， （8）， （9）， （10） 定理 設(shè)在同一極限過(guò)程的兩個(gè)無(wú)窮小量的比式中，若將它們都換以自己的等價(jià)無(wú)窮小量，則所得比式的極限值不變。證明： 設(shè)在同一極限過(guò)程中，均為無(wú)窮小量，且，于是，此定理是求極限更加方便，如果把無(wú)窮小量換上表達(dá)式比較簡(jiǎn)單的等價(jià)無(wú)窮小量，就可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。例 求解： 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，= 例 求解： 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，=例 求解： 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，=推論 在求同一極限過(guò)程的兩個(gè)無(wú)窮小量比的極限時(shí)，若將分子或分母一方換以等價(jià)無(wú)窮小量，則比的極限值不變。例 求解： 錯(cuò)誤的解法：當(dāng)時(shí)，所以，=正確的解法：當(dāng)時(shí)，所以，=注意：再利用等價(jià)無(wú)窮小作代換時(shí)，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)

11、才進(jìn)行互換，而以和差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，否則可能出現(xiàn)改變了它的無(wú)窮小量之比的階數(shù)情況。3.2 等價(jià)無(wú)窮小在近似計(jì)算中的應(yīng)用利用等價(jià)無(wú)窮小，在進(jìn)行近似計(jì)算時(shí)，有時(shí)可以起到意想不到的效果，如:例 求的近似值解： 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，=，而的準(zhǔn)確值在保留小數(shù)點(diǎn)后6位可得到2.005175,相對(duì)誤差為0.000016這已經(jīng)計(jì)算精度高了，所以可以用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)進(jìn)行近似計(jì)算。3.3 等價(jià)無(wú)窮小在簡(jiǎn)化冪指函數(shù)的應(yīng)用 通常把形式為的函數(shù)稱(chēng)為冪指函數(shù)。利用等價(jià)無(wú)窮小量簡(jiǎn)化冪指數(shù)，具體做法是先把恒等變形為后，再根據(jù)求連續(xù)函數(shù)的極限時(shí)，函數(shù)符號(hào)與極限可以交換次序的方法來(lái)計(jì)算，即 例 求解： 利用，所以，=例 求解：

12、當(dāng)時(shí)，所以，=例 求解：當(dāng)時(shí)， =所以，=3.4 等價(jià)無(wú)窮小在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用定理 設(shè)為時(shí)的同號(hào)無(wú)窮小量，則與具有相同的斂散性().例 判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性并證明（1） ，（2） 解：(1) 由-，因?yàn)?，因?yàn)闀r(shí)，而因?yàn)槭諗?，從而原?jí)數(shù)收斂。（2) = = =,因發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。 使用等級(jí)無(wú)窮小應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)使用等價(jià)無(wú)窮小代換法則求極限之前一定要判斷所求函數(shù)是否符合法則求。 (2)使用等價(jià)無(wú)窮小代換求兩個(gè)無(wú)窮小之比極限時(shí)，如果所求函數(shù)是分式，可用等價(jià)無(wú)窮小代換整個(gè)分子,也可代換整個(gè)分母，或整個(gè)分子、分母同時(shí)代換。(3) 在求有關(guān)無(wú)窮小極限的過(guò)程中，若無(wú)法滿(mǎn)足等價(jià)無(wú)窮小代換法則要求，

13、就要通過(guò)對(duì)所求極限函數(shù)的轉(zhuǎn)換分解、通分等方法把所求極限函數(shù)等價(jià)變形為適合滿(mǎn)足等價(jià)無(wú)窮小代換法則的極限函數(shù)。若在計(jì)算推理過(guò)程中確實(shí)需要其它方法來(lái)幫助解決問(wèn)題，則可以綜合使用其它方法。5 結(jié)語(yǔ)無(wú)窮小是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)概念, 貫穿于數(shù)學(xué)分析的始終。我們明白極限計(jì)算是大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，尤其在進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，極限思想廣泛應(yīng)用，而等價(jià)無(wú)窮小量代換又是極限運(yùn)算中的一種重要方法。但還是要具體問(wèn)題具體分析，同時(shí)結(jié)合洛必達(dá)法則，選擇合理恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解。利用等價(jià)無(wú)窮小量代換極限，主要是指在求解有關(guān)無(wú)窮小的極限問(wèn)題時(shí)利用等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算。通常與洛必達(dá)法則一起使用，目的是使解題步驟簡(jiǎn)化，減少運(yùn)算錯(cuò)誤。進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小量的代換原則是整體代換或?qū)ζ渲械囊蜃舆M(jìn)行代換。了解數(shù)學(xué)史我們發(fā)現(xiàn)無(wú)窮思想的發(fā)展并不是一帆風(fēng)順的，也是充滿(mǎn)爭(zhēng)論的，正是在不斷地爭(zhēng)論、不斷地思考中，我們的數(shù)學(xué)理論才不斷的完善、嚴(yán)謹(jǐn)。參考文獻(xiàn):1 胡作玄第三次數(shù)學(xué)危機(jī)M成都：四川人民出版社，19852 楊宗文，李有寶大學(xué)數(shù)學(xué)中的無(wú)窮觀(guān)J云南大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，30(2)：456-4603 陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，等數(shù)學(xué)分析(上冊(cè)，第二版）M北京：高等教育出版社，20034 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室高等數(shù)學(xué)(第一冊(cè)，第三版）M北京：高等教育出版社，19955 韓雪濤數(shù)學(xué)無(wú)窮思想的發(fā)展歷程J