人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講解第9章《9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)》(含解析)

1、9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)(重點(diǎn))2理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過(guò)對(duì)百分位數(shù)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2通過(guò)計(jì)算樣本的百分位數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值2計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)第2步，計(jì)算inp%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i1

2、)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)3四分位數(shù)25%,50%,75%這三個(gè)分位數(shù)把一組數(shù)據(jù)由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)思考：(1) 班級(jí)人數(shù)為50的班主任老師說(shuō)“90%的同學(xué)能夠考取本科院?！?，這里的“90%”是百分位數(shù)嗎？(2)“這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的第70百分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？提示(1)不是是指能夠考取本科院校的同學(xué)占同學(xué)總數(shù)的百分比(2)有70%的同學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)?cè)谛∮诨虻扔?5分1下列關(guān)于一組數(shù)據(jù)的第50分位數(shù)的說(shuō)法正確的是()A第50分位數(shù)就是中位數(shù)B總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于它的可能性一定是50%C它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)據(jù)D它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù)A由百分位數(shù)的意義

3、可知選項(xiàng)B，C，D錯(cuò)誤2數(shù)據(jù)7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位數(shù)是 84因?yàn)?30%2.4，故30%分位數(shù)是第三項(xiàng)數(shù)據(jù)8.4.3一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為 樣本數(shù)據(jù)低于10的比例為0.08 0.320.40，樣本數(shù)據(jù)低于14的比例為0.40 0.360.76，所以此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)在10,14內(nèi)，估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為104.百分位數(shù)的計(jì)算【例1】從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的質(zhì)量(單位：g)如下：79,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.

4、9,7.8,8.3,8.0.(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的第25,75,95百分位數(shù)(2)請(qǐng)你找出珍珠質(zhì)量較小的前15%的珍珠質(zhì)量(3)若用第25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個(gè)樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級(jí)的劃分標(biāo)準(zhǔn)解(1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，得78,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以1225%3,1275%9,1295%11.4，則第25百分位數(shù)是8.15，第75百分位數(shù)是8.75，第95百分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)據(jù)為9.9.(2)因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以1215%1.8，

5、則第15百分位數(shù)是第2個(gè)數(shù)據(jù)為7.9.即產(chǎn)品質(zhì)量較小的前15%的產(chǎn)品有2個(gè)，它們的質(zhì)量分別為7.8,7.9.(3)由(1)可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15 g，第50百分位數(shù)為8.5 g, 第95百分位數(shù)是9.9，所以質(zhì)量小于或等于8.15 g的珍珠為次品，質(zhì)量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠為合格品，質(zhì)量大于8.5 g且小于等于9.9的珍珠為優(yōu)等品，質(zhì)量大于9.9 g的珍珠為特優(yōu)品計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟(1)排列：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；(2)計(jì)算i：計(jì)算inp%；(3)定數(shù)：若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則

6、第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的15人的成績(jī)：78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，則這15人成績(jī)的第80百分位是( )A90B90.5C91D91.5B把成績(jī)按從小到大的順序排列為：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，因?yàn)?580%12，所以這15人成績(jī)的第80百分位是90.5.百分位數(shù)的綜合應(yīng)用探究問(wèn)題1第p百分位數(shù)有什么特點(diǎn)？提示總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p.2某組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中一定存在嗎？為什么？提示不一定

7、因?yàn)榘凑沼?jì)算第p百分位數(shù)的步驟，第2步計(jì)算所得的inp%如果是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，若第i項(xiàng)與第(i1)項(xiàng)數(shù)據(jù)不相等，則第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中就不存在【例2】某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過(guò)200千瓦時(shí)的部分按0.5元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過(guò)200千瓦時(shí)但不超過(guò)400千瓦時(shí)的部分按0.8元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過(guò)400千瓦時(shí)的部分按1.0元/千瓦時(shí)收費(fèi)(1)求某戶居民用電費(fèi)用y(單位：元)關(guān)于月用電量x(單位：千瓦時(shí))的函數(shù)解析式(2)為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量

8、，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過(guò)260元的占80%，求a，b的值(3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的75%分位數(shù)解(1)當(dāng)0x200時(shí)，y0.5x；當(dāng)200400時(shí)，y0.52000.82001.0(x400)x140.所以y與x之間的函數(shù)解析式為y(2)由(1)可知，當(dāng)y260時(shí)，x400，即用電量不超過(guò)400千瓦時(shí)的占80%，結(jié)合頻率分布直方圖可知解得a0.001 5，b0.002 0.(3)設(shè)75%分位數(shù)為m，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為(0.0010.0020.003)10060%，用電量不超過(guò)400千瓦時(shí)的占80%，所

9、以75%分位數(shù)為m在300,400)內(nèi)，所以0.6(m300)0.0020.75，解得m375千瓦時(shí)，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時(shí)根據(jù)例2的(2)題中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的15%分位數(shù)解設(shè)15%分位數(shù)為x，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為0.00110010%，用電量不超過(guò)200千瓦時(shí)的占30%，所以15%分位數(shù)為x在100,200)內(nèi)，所以0.1(x100)0.0020.15，解得x125千瓦時(shí)，即用電量的15%分位數(shù)為125千瓦時(shí)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)，首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算，其次估計(jì)百分位數(shù)在哪一組，再應(yīng)用方程的思想方法，設(shè)出百分位數(shù)

10、，解方程可得求一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)時(shí)，掌握其步驟：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；計(jì)算inp%；若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為i項(xiàng)與第(i1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)1判斷正誤(1)若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其第75%分位數(shù)大于第25%分位數(shù)()(2) 若一組樣本數(shù)據(jù)的第10%分位數(shù)是23，則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23.()(3)若一組樣本數(shù)據(jù)的第24%分位數(shù)是24，則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24.()提示(1)正確(2)錯(cuò)誤若一組樣本數(shù)據(jù)的第10%分位數(shù)是23，則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)小于或等于23.(3)正確答案(1)(2)(3)2下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是()21,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A3.2B3.0C4.4D2.5A把這組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：21,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，由i1025%2.5，不是整數(shù)，則第3個(gè)數(shù)據(jù)3.2，是第25百分位數(shù)3已知100個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說(shuō)法正確的是()A. 這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)