具有隨機需求的可替換商品的最優(yōu)庫存決策

1、.具有隨機需求的可替換產(chǎn)品的庫存決策摘要： 在這篇文章中，我們考慮的是一個隨機模型，這個隨機模型是由具有單周期的庫存結(jié)構(gòu)的兩種產(chǎn)品組成的。如果形式需要的話，這兩種產(chǎn)品可以相互替換。替換的發(fā)生是一種可能性，但是這種可能是由收入水品引起的。文章將要證明的是期望的利潤（平均利潤）是凹的，這樣我們就可以為這兩種茶品找到最優(yōu)的庫存產(chǎn)品文章將會比較沒有替換的單獨替換的優(yōu)化庫存水平。文章將會證明單獨替換的情況下最優(yōu)的訂單數(shù)量可以增加或者減少替換的收入導(dǎo)語：在本文中我們考慮的是具有單一周期的的時間段庫存結(jié)構(gòu)的產(chǎn)品，但是這兩種產(chǎn)品在形式需要的情況下可以相互替換。擁有單周期的庫存結(jié)構(gòu)的問題，我們叫做經(jīng)典的“報童問

2、題”。我們的替換模型中，當(dāng)某種產(chǎn)品的一個組件的需要超過了供給，而其他的組件的需要都少于供給，那么由這些組件組成的產(chǎn)品當(dāng)庫存缺貨的時候，可用的庫存就會被替換他。（也就是說這種產(chǎn)品成為了被替換產(chǎn)品）。我們假設(shè)產(chǎn)品替換的發(fā)生是一種可能性，但是這種可能性是由原始產(chǎn)品的銷售價格和被替換產(chǎn)品的銷售價格造成的。這種收入的差異反映在給消費者提供的福利和執(zhí)行替換的成本。文章中利用別人論文的結(jié)果找到了短期的解決方案，并且被應(yīng)用在長期的優(yōu)化。單周期的庫存模型通常用于分析易腐爛、保質(zhì)期短的產(chǎn)品的庫存。報紙、烘培食品、季節(jié)性商品容易被分成這種類別。而且這個模型已經(jīng)被應(yīng)用于很多場合，但是這篇文章的重點是研究可替換商品。例

3、如，加州南部的超市廣告的政策，如果顧客購買的特定價格的商品是缺貨的時候，顧客可以買相同的價格的產(chǎn)品。McGillvray and Sliver【8】調(diào)查了 替換在庫存決策的有效性 和 所有組件都有可變的存儲的花費和缺貨懲罰。他們的模型認為當(dāng)在售產(chǎn)品缺貨的時候，顧客去買另一種可替換的產(chǎn)品是一種固定的可能性。在這個模型中做了兩個工作：1、考慮總的替換性為1 的情況下從可替換產(chǎn)品中獲得的利潤2、對比沒有替換的情況下從可替換產(chǎn)品中獲得的利潤。他們研究的結(jié)果表明：1、總的可置換性為1 的時候會降低最優(yōu)的訂單量2、當(dāng)可替換的物品的庫存非常小的時候或者發(fā)生可替換的概率小的時候，這種情況下，替換的影響就會非常

4、小。Parlar and Goyal【10】在McGillvray and Sliver的模型上研究了單周期的兩種產(chǎn)品的庫存模型。替代的可能性是按一定的概率來出現(xiàn)的。也就是說在一件物品在生命周期快要結(jié)束的時候發(fā)聲了缺貨，但是另一種物品是有多余的，此時發(fā)生替換的概率就是一個在0-1之間的常數(shù)。他們的模型中還假設(shè)收入不會受到產(chǎn)品替換的影響。Parlar 【9】研究的模型是一個雙頭壟斷模型，每一頭都會提供一種單獨的產(chǎn)品，當(dāng)一種產(chǎn)品發(fā)生缺貨的時候，替換就發(fā)生了。我們的工作：模型和Parlar 是一致的，但是解決的方法是不一樣的。尤其是，1、當(dāng)兩種產(chǎn)品可以相互替換的時候，我們的要求都是兩種產(chǎn)品的需求大于

5、最初供應(yīng)。2、當(dāng)一種產(chǎn)品的需求少于供應(yīng)的時候，剩余的產(chǎn)品將會以各自的殘余價值出售。3、當(dāng)一種產(chǎn)品的需求超過他的供應(yīng)的時候，就會付出缺貨的代價。然而，如果一種產(chǎn)品的需求少于供給，另一種產(chǎn)品的需求超過供給，這時就會在這兩種產(chǎn)品中間發(fā)生替換從而來減少這種由于產(chǎn)品對于和產(chǎn)品缺貨造成的損失。我們最終的目的是在替換性的影響下，商品將會有一個最優(yōu)的庫存水平。本文的其余部分被分為4個部分。1、 一般模型：兩種產(chǎn)品都可以作為彼此的替換商品，在這種情況下環(huán)境成本和收入模型都會被進行討論。通過差異化和公式化最優(yōu)訂單數(shù)量，證明了平均利潤是凹的，We thenprovethatifrevenueavailablefro

6、msubstitutionofoneproductforanotherincreases,onewillordermoreofthatgoodandlessoftheother. 2、 考慮的是一般模型中的特殊模型，一種產(chǎn)品是另一種產(chǎn)品的替換產(chǎn)品。公式化的給出了最優(yōu)的庫存水平的決策。證明了一種替換產(chǎn)品的情況下，隨著轉(zhuǎn)移利潤的增加可替換產(chǎn)品的最優(yōu)坤村誰將會升高，另一個產(chǎn)品的最優(yōu)庫存將會下降。作為推論將會比較有產(chǎn)品替換的最優(yōu)庫存水平和沒有產(chǎn)品替換的庫存水平3、 我們將會把注意力集中在兩種產(chǎn)品的最優(yōu)的庫存量模型：一般模型：兩種產(chǎn)品都可以作為彼此的替換產(chǎn)品。有以下的參數(shù)：1、 pi表示的是單位產(chǎn)品1和

7、2 的銷售價格 i=1,22、 Si表示的是單位產(chǎn)品的短缺代價 i=1,23、 Ci表示的是產(chǎn)品的的購買價格 i=1,24、 hi表示的是產(chǎn)品的剩余價值 i=1,25、 t1表示的是產(chǎn)品2被產(chǎn)品 1替換的利潤6、 t2表示的是產(chǎn)品1被產(chǎn)品 2替換的利潤7、 f(x,y) 產(chǎn)品1和2需求的聯(lián)合概率密度8、 T(Q1,Q2)總的期望的利潤 在訂單量為Q1和Q2 的情況下，Q1和Q2 被視為連續(xù)變量9、 (Q1*,Q2*)是使T(Q1,Q2)的最大的量 這些參數(shù)滿足以下的條件才是有意義的1、 銷售的價格大于購買的價格2、 購買的價格大于產(chǎn)品的剩余價值3、 產(chǎn)品i的替換利潤產(chǎn)品的i的剩余價值-產(chǎn)品j的短缺代價4、 產(chǎn)品的i銷售價格+產(chǎn)品j的殘值產(chǎn)品j的替換利潤+產(chǎn)品i的剩余殘值5、 i產(chǎn)品的銷售價格-j產(chǎn)品的缺貨代價產(chǎn)品j被產(chǎn)品i替換的利潤-產(chǎn)品i的缺貨代價上述條件的解釋：3、 如果一種產(chǎn)品被另一種產(chǎn)品替換，出售這種產(chǎn)品的利潤一定要至少等于作為替換產(chǎn)品的產(chǎn)品的剩余價值-作為替換產(chǎn)品的短缺的代價。如果這個條件都不滿足，那么就