不定積分習(xí)題

1、習(xí)題課（六）內(nèi)容： 不定積分的概念及積分方法基本要求：1理解原函數(shù)與不定積分的概念。 2掌握不定積分的性質(zhì)及不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。 3掌握不定積分的積分方法。 4會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)、無(wú)理函數(shù)、三角函數(shù)有理式的不定積分。內(nèi)容與方法精講：一 原函數(shù)與不定積分的概念1 原函數(shù)定義：在區(qū)間上，若（即），稱函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。2 原函數(shù)存在的條件：若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)。則在區(qū)間上有原函數(shù)。3 不定積分：函數(shù)在區(qū)間上的所有原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分，記作.4 不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：（1） 先積分再求導(dǎo)（或微分） ，或 ；（2） 先求導(dǎo)（或微分）再積分 ，或 .5 不定積分的線性性：（1）；（2

2、）. 二基本積分公式（略）三不定積分的方法1 拆項(xiàng)積分法：利用不定積分的線性性，將一個(gè)復(fù)雜的不定積分拆成若干個(gè)基本積分公式中的積分，從而進(jìn)行積分。（關(guān)鍵體現(xiàn)在拆項(xiàng)上，例如：通過(guò)有理化；利用三角公式；在分子上加一項(xiàng)，減一項(xiàng)等都是常用的手段）。2 湊微分法：.主要用來(lái)解決復(fù)合函數(shù)的積分（確切地說(shuō)是復(fù)合函數(shù)與之間變量導(dǎo)數(shù)之積的積分）。要熟練常用的幾個(gè)湊微分式子： （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11） 多用于解決無(wú)理函數(shù)的積分。要掌握幾個(gè)常用的固定換元：換元名稱被積函數(shù)特點(diǎn)具體換元公式換元目的三角換元含有去根號(hào)化為有理函數(shù)或三

3、角函數(shù)有理式的積分含有含有根式換元根式換元含有含有倒代換分母冪次比分子冪次較高降低分母冪次4 分部積分法： 或 主要用來(lái)解決兩類不同的簡(jiǎn)單函數(shù)乘積的積分。關(guān)鍵是掌握好與的選取，原則是好找原函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單，積分積分容易（至少不難）。要掌握以下幾種常見(jiàn)類型的分部積分：被積函數(shù)類型條件取作取作目的冪函數(shù)三角函數(shù)正整數(shù)次冪冪函數(shù)三角函數(shù)降低冪次冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)正整數(shù)次冪冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)降低冪次冪函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)實(shí)數(shù)次冪對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)去掉對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)反三角函數(shù)實(shí)數(shù)次冪反三角函數(shù)冪函數(shù)去掉反三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)與任取，用兩次分部積分，出現(xiàn)“打回頭”四幾類特殊函數(shù)的積分例題精講1若，求函數(shù) 解：（本題考核導(dǎo)

4、數(shù)與積分的關(guān)系。給出不定積分，求被積函數(shù)，只需對(duì)等式兩邊求導(dǎo)） 對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，有2若函數(shù)滿足，且，求函數(shù) 解：（本題也是考核導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系。給出導(dǎo)數(shù)，求原函數(shù)，只需對(duì)等式兩邊求積分。本題要注意積分變量是，或先將式子改寫(xiě)為，再兩邊求積分） 對(duì)等式兩邊同時(shí)求積分，有 所以，由，得，于是3設(shè)函數(shù) 求不定積分 解：（這是分段函數(shù)求不定積分問(wèn)題，要注意原函數(shù)在分界點(diǎn)處應(yīng)連續(xù)） 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 有，有，得. 所以，4若的一個(gè)原函數(shù)為，求不定積分 解：（盡管這也是考核原函數(shù)概念的題目，但是由于在被積函數(shù)中出現(xiàn)了一個(gè)函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)乘積的形式，因此首先要進(jìn)行分部積分） 由的一個(gè)原函數(shù)為，即，所以.于是

5、，5設(shè)函數(shù)是在時(shí)的一個(gè)原函數(shù)，滿足，且，. 求函數(shù). 解：（本題還是考核原函數(shù)概念。由于在條件中同時(shí)出現(xiàn)了與，為方便都統(tǒng)一于，然后再積分） 由是的一個(gè)原函數(shù)及，有，對(duì)上式兩邊同時(shí)求積分，得 . 由及，得，且， 所以，.6求下列不定積分（本例都是典型的、常見(jiàn)的湊微分類型，有些題目要經(jīng)過(guò)多次湊微分） （1）； （2）； （2）； （4）； （5）； （6）. 解：（1） .（2） .（3）.（4） .（5）.（6） .7求下列不定積分（本例都是有理函數(shù)的積分，有理函數(shù)的積分不一定都拆成部分分式） （1）； （2）； （3）. 解：（1）(本題除了利用部分分式，沒(méi)有太好的辦法。) （2）(本題屬于型

6、, 可以湊成型) （3）(本題由于分母的冪次相對(duì)于分子的冪次較高, 因此應(yīng)當(dāng)用到代換.) 令, 則, 于是 8求下列不定積分（本例都是三角函數(shù)有理式的積分，能不用萬(wàn)能代換的，盡量不用萬(wàn)能代換，通常都可以用湊微分求解） （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）（本題屬于型） （2）（本題屬于型，可作代換. 也可以直接湊微分） （3）（本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是要統(tǒng)一角度，二是要將分母上的兩項(xiàng)之和化為一項(xiàng)） （4）（本題解法很多，下面僅介紹幾種有代表型的解法） 方法一：本題可以通過(guò)拆項(xiàng)的方法求解 方法二（伴侶型積分）：記，. 則 兩式相加，得方法三：為將分母化為一項(xiàng)，分子、分母同乘，則 方法

7、四：分子、分母同乘，通過(guò)兩角和公式將分母喚為一項(xiàng)，則 方法五：分子、分母同除，然后令，則，于是方法六：用萬(wàn)能代換，令，則 9求下列不定積分（本例都是無(wú)理函數(shù)積分，如果能夠通過(guò)湊微分求解，當(dāng)然最好；如果不能用湊微分求解，就要設(shè)法去根號(hào)）（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）本題屬于類型，直接湊微分即可，當(dāng)然也可以用三角代換 方法一： 方法二：令，則，于是 （2）方法一：時(shí)，令， 時(shí)，方法類似，結(jié)果為方法二：本題也可以通過(guò)雙曲函數(shù)代換達(dá)到去根號(hào)的目的。當(dāng)時(shí)，令ch（），（當(dāng)時(shí)，方法類似，結(jié)果相同） 方法三：本題特別，作代換，也可以達(dá)到去根號(hào)的目的。 當(dāng)時(shí)，令，則，于是 當(dāng)時(shí)，方法類似，令，

8、則，結(jié)果相同 方法四：由于分母上x(chóng)的冪次比分子上x(chóng)的冪次高一些，因此可考慮倒代換，令，則. 于是，當(dāng)時(shí)，有 . 當(dāng)時(shí)，. （3）本題解法也較多，各種解法的目的都是取根號(hào)。 方法一：按類型作。 令，則，于是 方法二：分子、分母同乘，轉(zhuǎn)化為型 （注：轉(zhuǎn)化為后，也可以用代換求解） 方法三：令，則，于是 （4）本題不是常見(jiàn)的典型題，這里出現(xiàn)了復(fù)合函數(shù)，當(dāng)一時(shí)看不到解法時(shí)，可以考慮用中間變量作代換進(jìn)行試解。如該題可考慮的換元有：、或，通過(guò)試解，發(fā)現(xiàn)第二和第四種換元更好一些。 方法一：不妨設(shè)（時(shí)也類似）令，則，于是 （注：轉(zhuǎn)化為后，也可以再作代換求解） 方法二：令，則，于是 10求下列不定積分（本例都屬于

9、分部積分類型） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）， （6）. 解：（1）本題屬于冪函數(shù)（正整數(shù)次冪）三角函數(shù)類型的積分，要試圖先將三角函數(shù)湊到微分號(hào)后面，即先求出三角函數(shù)部分的積分。 （2）本題屬于冪函數(shù)（非正整數(shù)次冪）對(duì)數(shù)函數(shù)類型的積分，要試圖先將冪函數(shù)湊到微分號(hào)后面，微分號(hào)外面只留對(duì)數(shù)函數(shù)。 （3）本題屬于冪函數(shù)（非正整數(shù)次冪）反三角函數(shù)類型的積分，要試圖先將冪函數(shù)湊到微分號(hào)后面，微分號(hào)外面只留反三角函數(shù)。 （4）本題也屬于冪函數(shù)（非正整數(shù)次冪）反三角函數(shù)類型的積分，直接將冪函數(shù)湊到微分號(hào)后面有一定困難，可以先單獨(dú)進(jìn)行這部分的積分。因?yàn)?， 所以 （5）本題屬于冪函數(shù)（正整數(shù)

10、次冪）指數(shù)函數(shù)類型的積分，要試圖先將指數(shù)函數(shù)湊到微分號(hào)后面。 對(duì)積分，令，則，于是 （6）本題比較特殊，困難在于含有對(duì)數(shù)函數(shù)，這時(shí)可以先將對(duì)數(shù)以外的東西湊到微分號(hào)內(nèi)，微分號(hào)外只留對(duì)數(shù)函數(shù)，通過(guò)分部積分進(jìn)行試解。 11求下列不定積分（本例又是一種積分類型。在這種積分中，其中有一部分是不能進(jìn)行積分的（即原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示），這一部分暫時(shí)不要管它，先對(duì)其它部分進(jìn)行積分，在積分過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生出不能進(jìn)行積分的部分的相反的值，從而將那部分抵消掉） （1）； （2）. 解：（1） （2） 同步練習(xí):1求. ( )2求. ( )3求. ( )4求. ( )5求. ( )6求. ( )7求. ( )8求. ( )9求. ( )10求. (