第2章多因素方差分析

1、1第二章第二章 多因素方差分析多因素方差分析第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 第二節(jié)第二節(jié) 基本概念基本概念第三節(jié)第三節(jié) 多因素方差分析多因素方差分析第四節(jié)第四節(jié) 協(xié)方差分析第五節(jié)第五節(jié) 多因子方差應用實例與計多因子方差應用實例與計算機實現(xiàn)算機實現(xiàn)2概述：概述： 單因素方差分析是檢驗多個樣本均數(shù)間單因素方差分析是檢驗多個樣本均數(shù)間差別有無統(tǒng)計學意義的統(tǒng)計學方法。差別有無統(tǒng)計學意義的統(tǒng)計學方法。 在醫(yī)學領(lǐng)域中，還經(jīng)常碰到研究多個因在醫(yī)學領(lǐng)域中，還經(jīng)常碰到研究多個因素對某個觀察指標的作用的問題素對某個觀察指標的作用的問題 。 多因素方差分析是分析兩個及兩個以上多因素方差分析是分析兩個及兩個以上因素對觀察指標

2、影響的統(tǒng)計方法。因素對觀察指標影響的統(tǒng)計方法。3第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 方差分析中，影響觀察指標的因素稱為方差分析中，影響觀察指標的因素稱為因子（因子（factor);factor);因子所處的狀態(tài)稱為因子的因子所處的狀態(tài)稱為因子的一個水平（一個水平（level of factor);level of factor);各因子水平各因子水平的組合稱為處理（的組合稱為處理（treatment).treatment).4第二節(jié)第二節(jié) 基本概念基本概念一一 方差分析的基本思想方差分析的基本思想二二 主效應和單獨效應主效應和單獨效應三三 交互作用交互作用 5一、方差分析基本思想一、方差分析基本思想n 將

3、全部觀測值的總變異按影響結(jié)果的諸因素分解為相應的若干部分變異，構(gòu)造出反映各部分變異作用的統(tǒng)計量，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建假設(shè)檢驗統(tǒng)計量，以實現(xiàn)對總體參數(shù)的推斷。6主效應和單獨效應主效應和單獨效應n主效應主效應(main effect)(main effect)：某一因素各個水平間的平：某一因素各個水平間的平均差別均差別 n單獨效應單獨效應(simple effect):(simple effect):n指其它因素水平固定在一個水平時，某一因素不同指其它因素水平固定在一個水平時，某一因素不同水平之間均數(shù)的差別。水平之間均數(shù)的差別。7二、主效應二、主效應n n n 8二因子方差分析二因子方差分析n例：例：

4、a a、b b兩藥治療缺鐵性貧血兩藥治療缺鐵性貧血2424例，試驗結(jié)果如下例，試驗結(jié)果如下： 四種療法治療缺鐵性貧血后紅細胞增加數(shù)（四種療法治療缺鐵性貧血后紅細胞增加數(shù)（10101212/l/l） 療法療法 紅細胞增加數(shù)紅細胞增加數(shù) 總體均數(shù)記總體均數(shù)記號號 一般療法一般療法 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9 0.7 一般療法加一般療法加a a藥藥 1.3 1.2 1.1 1.3 1.2 1.1 一般療法加一般療法加b b藥藥 0.9 1.1 1.00.9 1.1 1.0一般療法加一般療法加a a藥加藥加b b藥藥 2.1 2.2 2.0 2.1 2.2 2.0 112112229研究目

5、的研究目的 本例研究目的之一為本例研究目的之一為a a藥的使用是藥的使用是否會引起病人的紅細胞數(shù)變化。否會引起病人的紅細胞數(shù)變化。 研究目的之二為研究目的之二為b b藥的使用是否會引藥的使用是否會引起病人的紅細胞數(shù)的變化。起病人的紅細胞數(shù)的變化。n 10研究目的研究目的 研究目的之三為a藥與b藥是否有交互作用。所謂有協(xié)同作用，是指同時用a、b兩藥起的作用大于單獨用a藥和b藥的作用之和。所謂有拮抗作用，是指同時用a、b兩藥起的作用小于單獨用a藥各b藥的作用之和。11研究目的研究目的 不論協(xié)同或拮抗作用均意味著a、b藥同時使用的作用不等于單獨作用之和。兩藥有無協(xié)同作用或拮抗作用，只要檢驗假設(shè)：12

6、兩因素有重復數(shù)據(jù)的方差分析變異分解兩因素有重復數(shù)據(jù)的方差分析變異分解n 方差分析表方差分析表n n 變異來源變異來源 ss df ms f pss df ms f p處理間模型處理間模型 2.9625 3 0.9875 98.75 0.0000 2.9625 3 0.9875 98.75 0.0000 因子因子a 1.6875 1 1.6875 168.75 0.0000a 1.6875 1 1.6875 168.75 0.0000因子因子b 0.9075 1 0.9075 90.75 0.0000b 0.9075 1 0.9075 90.75 0.0000a a與與b b的交互作用的交互作用

7、 0.3675 1 0.3675 36.75 0.0000 0.3675 1 0.3675 36.75 0.0000 誤差誤差 0.0800 8 0.0100 0.0800 8 0.0100 總的總的 3.0425 11 0.27663.0425 11 0.276613n n n 14注意：注意： 當因子當因子a與與b間的交互作用有統(tǒng)計學意義時，對間的交互作用有統(tǒng)計學意義時，對a（或（或b）的單獨作用的解釋須小心。本例，用）的單獨作用的解釋須小心。本例，用b藥時，用藥時，用a藥藥病人比不同時用病人比不同時用a藥的病人的紅細胞數(shù)均數(shù)大，不用藥的病人的紅細胞數(shù)均數(shù)大，不用b藥時，藥時，用用a藥病人

8、比不同時用藥病人比不同時用a藥的病人的紅細胞數(shù)均數(shù)也大，故藥的病人的紅細胞數(shù)均數(shù)也大，故可說明可說明a藥有效。但有時可能出現(xiàn)這種情況，用藥有效。但有時可能出現(xiàn)這種情況，用b藥時，用藥時，用a藥病人比不同時用藥病人比不同時用a藥的病人的紅細胞數(shù)均數(shù)大，不用藥的病人的紅細胞數(shù)均數(shù)大，不用b藥藥時，用時，用a藥病人比不同時用藥病人比不同時用a藥的病人的紅細胞數(shù)均數(shù)小，藥的病人的紅細胞數(shù)均數(shù)小，此時就不能簡單地說此時就不能簡單地說a藥有利于病人紅細胞數(shù)增加，需分別藥有利于病人紅細胞數(shù)增加，需分別就用就用b藥和不用藥和不用b藥兩種情況說明藥兩種情況說明a藥的作用。對藥的作用。對b作用的作作用的作用的解釋

9、也是如此。用的解釋也是如此。15三因子方差分析三因子方差分析 例題例題 某研究者以大白鼠作試驗，觀某研究者以大白鼠作試驗，觀察指標是肝重與體重之比（察指標是肝重與體重之比（5%5%），主要想），主要想了解正氟醚對觀察指標的作用，同時要考了解正氟醚對觀察指標的作用，同時要考察用生理鹽水和用戊巴比妥作為誘導藥對察用生理鹽水和用戊巴比妥作為誘導藥對正氟醚毒性作用有無影響，對不同性別大正氟醚毒性作用有無影響，對不同性別大白鼠誘導的作用有何不同，以及對不同性白鼠誘導的作用有何不同，以及對不同性別大白鼠正氟醚的作用是否相同。別大白鼠正氟醚的作用是否相同。16a因子因子 b因子因子 c因子因子 肝重與體重之

10、比肝重與體重之比 總體均數(shù)總體均數(shù)不用不用 生理鹽水生理鹽水 雌雌 5.26 5.68 5.83 111不用不用 生理鹽水生理鹽水 雄雄 5.00 5.52 5.38 112不用不用 戊巴比妥戊巴比妥 雌雌 5.87 5.50 6.20 121不用不用 戊巴比妥戊巴比妥 雄雄 6.13 6.46 5.21 122用用 生理鹽水生理鹽水 雌雌 5.42 5.60 5.70 211用用 生理鹽水生理鹽水 雄雄 6.30 7.02 5.90 212用用 戊巴比妥戊巴比妥 雌雌 4.64 4.60 5.44 221用用 戊巴比妥戊巴比妥 雄雄 6.02 5.70 5.48 2221718tests o

11、f between-subjects effectstests of between-subjects effectsdependent variable: y4.218a7.6033.591.016769.0811769.0814582.977.0002.017e-0312.017e-03.012.9147.707e-0217.707e-02.459.508.7991.7994.763.0441.90411.90411.346.0045.227e-0215.227e-02.311.5851.33511.3357.954.0124.860e-0214.860e-02.290.5982.6851

12、6.168775.984246.90323sourcecorrected modelinterceptabca * bb * ca * ca * b * cerrortotalcorrected totaltype iii sumof squaresdfmean squarefsig.r squared = .611 (adjusted r squared = .441)a. 19方差分析的隨機效應模型方差分析的隨機效應模型一一 隨機效應模型隨機效應模型 二二 固定效應模型固定效應模型 20一、固定效應和隨機效應模型的定義一、固定效應和隨機效應模型的定義n 方差分析中的因子有選擇型與隨機型之分

13、，若方差分析中的因子有選擇型與隨機型之分，若數(shù)據(jù)資料中涉及到因子水平是研究者關(guān)心的因子水數(shù)據(jù)資料中涉及到因子水平是研究者關(guān)心的因子水平全體，則該因子屬于選擇型因子；相應的模型稱平全體，則該因子屬于選擇型因子；相應的模型稱為固定效應模型。為固定效應模型。 21一、固定效應和隨機效應模型的定義一、固定效應和隨機效應模型的定義 若數(shù)據(jù)資料中涉及到因子水平只是研究者關(guān)心的因子水平總體的一個樣本，則該因子屬于隨機型因子；若你的研究中有某些因子是隨機型因子或全為隨機型因子時，方差分析的模型與固定效應模型相同，但關(guān)于主效應、和交互效應的假定及f統(tǒng)計量的計算公式有些不同。22n它們的計算公式為：它們的計算公式

14、為： n abaamsmsf abbmsmsfbeababmsmsf23 實例實例 某醫(yī)院管理者欲了解血壓計與量血壓某醫(yī)院管理者欲了解血壓計與量血壓的醫(yī)生對血壓測定結(jié)果是否有影響。他在醫(yī)的醫(yī)生對血壓測定結(jié)果是否有影響。他在醫(yī)院中隨機抽取院中隨機抽取3 3臺血壓計，臺血壓計，4 4名醫(yī)生，對名醫(yī)生，對2424名名體檢者測量血壓，下面是舒張壓的觀察結(jié)果，體檢者測量血壓，下面是舒張壓的觀察結(jié)果，請作分析請作分析。 24 血壓計血壓計 醫(yī)生甲（醫(yī)生甲（b=1b=1） 醫(yī)生乙醫(yī)生乙(b=2) (b=2) 醫(yī)生丙醫(yī)生丙(b=3) (b=3) 醫(yī)生丁醫(yī)生丁(b=4)(b=4)a=1 60 , 97 84 ,

15、 63 70 , 99 74 , 68a=1 60 , 97 84 , 63 70 , 99 74 , 68a=2 91 , 60 85 , 88 90 , 74 76 , 62 a=2 91 , 60 85 , 88 90 , 74 76 , 62 a=3 85 , 67 90 , 71 65 , 79 75 , 96 a=3 85 , 67 90 , 71 65 , 79 75 , 96 25 n 用隨機效應模型作為方差分析時，離均差平方和與自由度的計算與固定效應相同，但無效假設(shè)與f統(tǒng)計量的計算有所不同。26 n 27tests of between-subjects effectstes

16、ts of between-subjects effectsdependent variable: y145548.3751.a.12.25026.125.055.947666.7506111.125b100.125333.375.300.824666.7506111.125b666.7506111.125.491.8032715.50012226.292csourcehypothesiserrorintercepthypothesiserrorahypothesiserrorbhypothesiserrora * btype iii sumof squaresdfmean squarefsi

17、g.cannot compute the error degrees of freedom using satterthwaites method.a. ms(a * b)b. ms(error)c. 28方差分析的混合效應模型方差分析的混合效應模型n例題：設(shè)某人研究例題：設(shè)某人研究圍產(chǎn)期窒息圍產(chǎn)期窒息對新生兒中對新生兒中血中次黃血中次黃嘌呤濃度嘌呤濃度是否有影響，同時還了解是否有影響，同時還了解新生出生一小時新生出生一小時內(nèi)次黃嘌呤濃度是否有變化內(nèi)次黃嘌呤濃度是否有變化。他隨機抽取。他隨機抽取圍產(chǎn)期窒圍產(chǎn)期窒息息9 9名名，不窒息的正常新生兒不窒息的正常新生兒9 9名名（作為對照）對每（作為

18、對照）對每組的組的9 9名新生兒隨機安排三個不同時間，測定血中名新生兒隨機安排三個不同時間，測定血中次黃嘌呤濃度如下：次黃嘌呤濃度如下： 29 因子因子b因子因子a 出生時出生時 出生后出生后20分鐘分鐘 出生后出生后30分鐘分鐘對照組對照組 6.20 11.50 14.53 5.80 13.37 11.40 8.25 24.10 12.37圍產(chǎn)期圍產(chǎn)期 23.06 25.56 10.52窒息組窒息組 21.46 30.40 13.66 11.43 18.19 18.20 30n用混合效應作方差分析時，離均差平方和與自由度的計算與固定效應相同，但無效假設(shè)與f統(tǒng)計量不同。它們的計算公式為：n a

19、baamsmsf abbmsmsfbeababmsmsf31幾點說明1、每個處理均有觀察且有相同觀察例數(shù)（n),這種設(shè)計稱為完全、平衡設(shè)計。若每個處理均有觀察，但觀察例數(shù)不等，則屬于完全、不平衡設(shè)計。2、方差分析要求觀察值獨立且服從正態(tài)分布，還要求各處理組有相同的方差。在這三個條件中，對獨立性要求最嚴，對正態(tài)性要求最寬，當各處理組有相同觀察例數(shù)時。對方差齊性的要求也不嚴。32n 本章僅介紹二因子、三因子方差分析，二因子本章僅介紹二因子、三因子方差分析，二因子方差模型中除了各因子的主效應外，還有兩因子的方差模型中除了各因子的主效應外，還有兩因子的一級交互作用項；三因子模型中除了主效應，每兩一級交

20、互作用項；三因子模型中除了主效應，每兩因子的交互效應外，還有三因子的二級交互效應；因子的交互效應外，還有三因子的二級交互效應；四因子模型中除主效應，每兩因子一級交互效應，四因子模型中除主效應，每兩因子一級交互效應，三因子的二級交互效應；還有四因子的三級交互作三因子的二級交互效應；還有四因子的三級交互作用項；五因子及五個以上的因子的模型以此類推。用項；五因子及五個以上的因子的模型以此類推。 33第四節(jié)第四節(jié) 協(xié)方差分析協(xié)方差分析一一 概述概述 二二 協(xié)方差的基本相思協(xié)方差的基本相思 三三 應用條件應用條件 34概述概述n檢驗兩個或兩個以上均數(shù)間差別的顯著性，可考慮用方差分檢驗兩個或兩個以上均數(shù)間

21、差別的顯著性，可考慮用方差分析。方差分析要求各比較組除了所施加的處理因素不同外，析。方差分析要求各比較組除了所施加的處理因素不同外，其它對觀察指標有影響因素的因素齊同或均衡，即要求控制其它對觀察指標有影響因素的因素齊同或均衡，即要求控制對觀察指標有影響的其它因素。在實際工作中，有時有些因?qū)τ^察指標有影響的其它因素。在實際工作中，有時有些因素無法控制或由于實驗設(shè)計的疏忽、實驗條件的限制等原因素無法控制或由于實驗設(shè)計的疏忽、實驗條件的限制等原因造成對觀察指標有影響的個別因素未加控制或難以控制。如造成對觀察指標有影響的個別因素未加控制或難以控制。如降壓藥物療效考核的臨床試驗中，病人的初始血壓水平對服

22、降壓藥物療效考核的臨床試驗中，病人的初始血壓水平對服藥一段時間后血壓下降量有相當?shù)挠绊?，但病人初始血壓水藥一段時間后血壓下降量有相當?shù)挠绊?，但病人初始血壓水平是難以控制的。如果不考慮病人初始血壓水平的差異，直平是難以控制的。如果不考慮病人初始血壓水平的差異，直接用方差分析的方法比較不同處理組病人的平均血壓下降量，接用方差分析的方法比較不同處理組病人的平均血壓下降量，以評價藥物的降壓效果是不恰當。如何在比較兩組或多組均以評價藥物的降壓效果是不恰當。如何在比較兩組或多組均數(shù)間差別的同時扣除或均衡這些不可控因素的影響，可考慮數(shù)間差別的同時扣除或均衡這些不可控因素的影響，可考慮采用協(xié)方差分析方法采用協(xié)

23、方差分析方法35一、基本思想一、基本思想 協(xié)方差分析（協(xié)方差分析（analysis of covariance,ancova)analysis of covariance,ancova)是將線性回歸分析與方差分析結(jié)合起來的一種統(tǒng)計分析方法。是將線性回歸分析與方差分析結(jié)合起來的一種統(tǒng)計分析方法。在方差分析中，影響觀察指標在方差分析中，影響觀察指標y y的因素往往是一些定性變量，的因素往往是一些定性變量，而在線性回歸分析中，影響而在線性回歸分析中，影響y y的都是定量變量。協(xié)方差基本的都是定量變量。協(xié)方差基本思想就是將那些定量變量思想就是將那些定量變量x x（指未加控制或難以控制）對（指未加控制或

24、難以控制）對y y的的影響看作協(xié)變量（影響看作協(xié)變量（convariate)convariate)，建立應變量，建立應變量y y隨協(xié)變量隨協(xié)變量x x變變化的線性回歸關(guān)系，并利用這種回歸關(guān)系把化的線性回歸關(guān)系，并利用這種回歸關(guān)系把x x值化為相等后值化為相等后再進行各組再進行各組y y的修正均數(shù)（的修正均數(shù)（adjusted mean)adjusted mean)間比較的假設(shè)檢間比較的假設(shè)檢驗，其實質(zhì)就是從驗，其實質(zhì)就是從y y的總離均差平方和中扣除協(xié)變量的總離均差平方和中扣除協(xié)變量x x對對y y的的回歸平方和，對殘差平方和作進一步分解后再進行方差分析，回歸平方和，對殘差平方和作進一步分解后

25、再進行方差分析，以更好的評價各種處理的效應。以更好的評價各種處理的效應。36 應用條件應用條件 協(xié)方差分析（analysis of covariance,ancova)有兩個重要的應用條件：一是與方差分析的應用條件相同；二是各總體客觀存在線性回歸關(guān)系且斜率相同（回歸線平行），即要求各樣本回歸系數(shù)b本身有統(tǒng)計學意義而各樣本回歸系數(shù)b間的差別無統(tǒng)計學意義。因此進行協(xié)方差分析時，必須先對樣本資料進行方差齊性檢驗及回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗，若滿足這兩個條件或經(jīng)變量變換后滿足這兩個條件，才可作協(xié)方差分析。37 例 為研究a、b、c三種飼料對豬的催肥效果，用每種飼料喂8頭豬一段時間，測得每頭豬的初始重量（x）和

26、增量（y）數(shù)據(jù)見下表，試分析三種飼料對豬的催肥效果是否相同？完全隨機設(shè)計資料的協(xié)方差分析38n a 飼飼 料料 b 飼飼 料料 c 飼飼 料料 x1 y1 x 2 y2 x3 y3 1 15 85 17 97 22 89 2 13 83 16 90 24 91 3 11 65 18 100 20 83 4 12 76 18 95 23 95 5 12 80 21 103 25 100 6 16 91 22 106 27 102 7 14 84 19 99 30 105 8 17 90 18 94 32 11039n n n 離離 均均 差差 平平 方方 和及和及 積積 和和 估估 計計 誤誤 差差 變異來源變異來源 lxx lxy lyy ms f 總變異總變異 23 720.50 1080.75 2555