第二部分模糊控制(一、二)

1、 與自動控制是在自動控制理論的基礎上發(fā)展起來的一樣，模糊控制是在模糊數(shù)學的基礎上發(fā)展起來的。只有掌握了模糊數(shù)學相關的知識，才能實現(xiàn)模糊控制。給定一個論域，論域中具有某種相同屬性的元素的全體稱為集合。集合常用大寫字母A、B、C等來表示，集合的元素可用列舉法（枚舉法）和描述法表示。 列舉法：將集合的元素一一列出， 如：A=a1，a2，a3，an。 描述法：通過對元素的定義來描述集合。 如：Axx0 and x/2=自然數(shù)1) 普通集合的基本概念被討論的對象的全體稱作論域。論域常用大寫字母U、X、Y、Z等來表示。2.1 普通集合及其運算規(guī)則論域中的每個對象稱為元素。元素常用小寫字母a、b、x、y等來

2、表示。若某集合包含論域里的全部元素，則稱該集合為全集。全集常用E來表示。不包含論域中任何元素的集合稱作空集?？占脕肀硎?。設A、B是論域U上的兩個集合，若集合A上的所有元素都能在集合B中找到，則稱集合A是集合B的子集。記作A B。集合相等設A、B為同一論域上的兩個集合，若A B，且B A，則稱集合A與集合B相等。記作A=B。設A、B為同一論域上的集合，則A與B的并集 、交集 、補集 分別定義為：()AB()AB( )AABu uAoruBABu uAanduBAu uA風的強弱人的胖瘦年齡大小個子高低 在模糊數(shù)學中，我們稱沒有明確邊界（沒有清晰外延）的集合為模糊集合。常用大寫字母下加波浪線的形

3、式來表示，如 、 等。 元素屬于模糊集合的程度用隸屬度或模糊度隸屬度或模糊度來表示。 用于計算隸屬度的函數(shù)稱為隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)。AB1) 模糊集合的概念隸屬度隸屬度即論域元素屬于模糊集合的程度。用 來表示。隸屬度的值為0，1閉區(qū)間上的一個數(shù)，其值越大，表示該元素屬于模糊集合的程度越高，反之則越低。計算隸屬度的函數(shù)稱為隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)。用 表示。( )Ax( )Aix 隸屬度和隸屬函數(shù)的表示形式看起來很相似，但是它們的意義是完全不一樣的。 指論域中特定元素xi屬于A的隸屬度，而 中的x是一個變量，可表示論域中的任一元素。( )Aix( )Ax12 ,nUx xx12(),(),(),AAAnAx

4、xx1212()()()AAAnnxxxAxxx例：設論域U=鋼筆，衣服，臺燈，紙，它們屬于學習用品的隸屬度分別為:1， 0， 0.6， 0.8，則模糊集合學習用品可分別用向量表示法和扎德表示法表示如下：100.60.8學習用品 （）100.60.8=學習用品鋼筆衣服臺燈紙10.60.8=學習用品鋼筆臺燈紙當論域當論域U由無限個元素組成時由無限個元素組成時，可用扎德表示法表示AAxAx（ ）xU上式表示模糊集合 由論域U上無限多個元素與其相應的隸屬度關系組成。如扎德給出的計算老年人模糊集合的隸屬函數(shù)為:其論域為0，200的連續(xù)區(qū)間，論域上任一元素的隸屬度，可通過隸屬函數(shù)求得。當論域當論域U為連

5、續(xù)區(qū)域時為連續(xù)區(qū)域時,模糊集合可用隸屬函數(shù)來表示201( )51 ()50Axx050 x50200 xU用模糊統(tǒng)計法確定隸屬度的基本思想*00()limAnuAun的次數(shù)例：用模糊統(tǒng)計法確定27歲的人屬于“青年人”模糊集合的 隸屬度。武漢工業(yè)大學張南倫教授調(diào)查統(tǒng)計結果如下：表2-1 關于“青年人”年齡的調(diào)查*27101(27)lim0.78129Ann青年人的次數(shù) 求取論域中足夠多元素的隸屬度，根據(jù)這些隸屬度求出隸屬函數(shù)。具體步驟為：求取論域中足夠多元素的隸屬度； 求隸屬函數(shù)曲線。以論域元素為橫坐標，隸屬度為縱坐標，畫出足夠多元素的隸屬度（點），將這些點連起來，得到所求模糊集合的隸屬函數(shù)曲線

6、； 求隸屬函數(shù)。將求得的隸屬函數(shù)曲線與常用隸屬函數(shù)曲線相比較，取形狀相似的隸屬函數(shù)曲線所對應的函數(shù)，修改其參數(shù)，使修改參數(shù)后的隸屬函數(shù)的曲線與所求隸屬函數(shù)曲線一致或非常接近。此時，修改參數(shù)后的函數(shù)即為所求模糊集合的隸屬函數(shù)。隸屬函數(shù)的確定表2-2 1535歲的人屬于青年人的隸屬度由表2-1可分別計算出1535歲的人屬于模糊集合“青年人”的隸屬度，計算結果如下表：例：根據(jù)張南倫教授的統(tǒng)計結果，求 青年人模糊集合的隸屬函數(shù)。根據(jù)表2-2的計算結果，以年齡為橫坐標，隸屬度為縱坐標，繪出隸屬函數(shù)曲線如下圖所示。21182412410024.51()5xxxx青年人（ ）所求隸屬函數(shù)曲線與降半哥西型函數(shù)

7、曲線較相似，降半哥西型隸屬函數(shù)為：11,0,01()xaxaxxa （ ）修改降半哥西型隸屬函數(shù)參數(shù)，使其函數(shù)曲線與所求隸屬函數(shù)曲線非常接近。此時取=1/25，a=24.5，=2。參數(shù)修改后的降半哥西型函數(shù)即為模糊集合“青年人”的隸屬函數(shù)。即：設 、 為論域U上的兩個模糊集合。則 與 的并集( )、交集（ ）、補集（ ）也是論域上的模糊集合。BAAABABAB并集并集：將對應的論域元素的隸屬度兩兩取大。交集交集：將對應的論域元素的隸屬度兩兩取小。 關系是指對兩個普通集合的直積施加某種條件限制后得到的序偶集合。常用R表示。例：A=（1，3，5），B=（2，4，6）則直積集合為：AB =(1，2)

8、 (1，4) (1，6) (3，2) (3，4) (3，6) (5，2) (5，4) (5，6)對其施加ab的條件限制，則滿足條件的集合為：ABab=(3，2) (5，2) (5，4)對AB施加ab的條件限制后得到的新的集合定義為關系，記做R。則：Rab=(3，2) (5，2) (5，4)。關系R可以用矩陣形式來表示。一般形式為：11121120()1()nijijmmmnrrrxyRRrrxyRrrr ，（ ），其中，則對上例有：當論域元素有限時，模糊關系當論域元素有限時，模糊關系R可用扎德表示法表示和模糊關系矩陣可用扎德表示法表示和模糊關系矩陣來表示。來表示。例：設A和B為兩個不同論域上的

9、普通集合，A=（1 2 3），B=（1 2 3 4 5），對AB施加 ab的模糊條件限制后得到一個模糊關系為：0.50.810.50.80.51314152 42 535R （， ）（， ）（， ）（ ， ）（ ， ）（ ， ）或000.50.810000.50.800000.5R120()1001Rabababab，（）當論域為連續(xù)區(qū)間時，模糊關系當論域為連續(xù)區(qū)間時，模糊關系R可用隸屬函數(shù)來表示?？捎秒`屬函數(shù)來表示。RS( )ijRr()ijSs1,2,im1,2,jnTRS并運算：交運算：補運算：max( ,)()ijijijijijtr srsTRSmin( ,)()ijijijijij

10、tr srsTR1ijijtr 模糊關系矩陣的轉置與普通矩陣的轉置相似，即將行和列互相交換，記作 。 TR例如：0.10.20.30.40.50.60.70.80.9R0.1 0.4 0.70.2 0.5 0.80.3 0.6 0.9TR設同一論域上的兩個模糊關系矩陣， ， ，( )ijRr()ijSs1,2,im1,2,jn，。若所有的 ，則稱 包含 ，或 包含于 ，記作 。ijijrsRSSRRSijijrs若所有的 ，則稱 與 相等。記作 。SRSR(4)合成運算回憶普通矩陣的乘法運算121231 12 41 22 51 32 6344563 14 43 24 53 34 6912151

11、92633 TR S設模糊關系 ， ，則 對 的合成定義為：( )ijm nRr()jkn lSsSR()ikm lTt1()nikijjkjtrs 模糊關系矩陣的合成與普通矩陣的乘法運算過程一樣，運算符號不同。2RR R3RR R R模糊集合的直積3）模糊推理TA BAB三個模糊集合的直積定義為：()()LA B CA BCA BCL運算表示將括號內(nèi)的矩陣按行寫成mn維列向量的形式設 、 分別為不同論域上的模糊集合，則 對 的直積定義為：ABAB例：設模糊集合(0.50.70.3)A (0.80.2)B (0.90.4)C 。求A B C解：0.50.50.20.70.80.20.70.20

12、.30.30.2TA BAB0.50.50.40.20.20.20.70.70.4()0.90.40.20.20.20.30.30.30.20.20.2LA B CA BC 復合詞、否定詞和聯(lián)接詞復合詞復合詞=修飾詞修飾詞+原子詞原子詞放在原子詞的前面對原子詞進行修飾的詞。如極、非常、相當、比較、略、稍微等。表示概念的最小單位。如：好、差、胖等。常用修飾詞的隸屬函數(shù)為：極非常相當比較略稍微1.25AA相當4AA極2AA非常0.75AA比較0.5AA略0.25AA稍微集中化算子散漫化算子語氣算子語氣算子否定詞“非”的隸屬函數(shù)：聯(lián)接詞“或”的隸屬函數(shù)：聯(lián)接詞“與”的隸屬函數(shù)：否定詞和聯(lián)接詞共有三個

13、：“與”、“或”、“非”，它們是人們表達意思的常用詞，為進行模糊數(shù)學的運算，定義其隸屬函數(shù)如下：否定詞、聯(lián)接詞A BABA BAB1AA 三種基本類型的模糊條件語句在程序設計中，經(jīng)常用到的三種條件語句if 條件 then 語句if 條件 then 語句1 else 語句2if 條件1 and 條件2 then 語句三種普通條件語句模糊條件語句簡記形式if A then Bif A then B else Cif A and B then C模糊推理Zadeh推理法是假言推理在模糊事件情況下的一種近似推理方法。1AR若 ，則 ；如今 ；結論 A1B B1A扎德推理的邏輯結構為：Zadeh推理結構

14、()()ABAE()()A BA C()LA B CA BC若 則 型AB1AR若 ，則 ；如今 ；結論 A1B B1A若 則 否則 型ABC若 ，則 否則 ；如今 ；結論ABC1A1B 1AR若 且 則 型ABC若 且 ，則 ；如今 且 ；結論ABC1A1B111() L TCABR對上式模糊關系，可用模糊關系矩陣表示為：上式中E為全稱矩陣,（與A同維的單位向量）。相應的模糊推理為：A若 則B型( , )( )( )1( )ABABAx yxyx()ABRA BA E11ABBAR(i)(ii)控制策略如：若水位偏低，則開大閥門。模糊控制器模糊控制器條件語句AB 設 、 分別是論域X、Y上的

15、模糊集合，其隸屬函數(shù)分別 為 、 。又設 是XY論域上描述模糊條件語句“ ”的模糊關系，其隸屬函數(shù)為：( )Ax( )ByABRA若 則B型ABx12345y 1 2 3 4 5小小大大相應的模糊推理結論為：A若 則B否則C型()()RA BA C1AR1B 設模糊集合 的論域為X， 和 的論域為Y。則由 “ ” 條件語句所決定的在XY上的模糊關系 為：ABCRA若 則B否則C型(i)(ii)控制策略如：若水位偏低，則開大閥門，否則關小閥門。ABC模糊控制器模糊控制器條件語句或() ()RA BA CU取大取大相應的模糊推理結論為：A若 且B則C型A若 且B則C型ABC()LRA B CA B

16、C111() L TCABR11() L TAB11()ABL運算表示將括號內(nèi)的矩陣按行寫成mn維列向量的形式(i)(ii)控制策略如：若水位偏低，且繼續(xù)快速下降，則將閥門開到最大。模糊控制器模糊控制器條件語句ABC(i)在模糊控制中，模糊條件語句的條件對應于模糊控制器的輸入，語句則對應于輸出。(ii)每一條模糊條件語句對應一種控制策略。(iii)控制策略模糊條件語句模糊關系模糊推理推理結論(模糊集合形式表示的輸出控制量)()()ABAE()()A BA C()LA B CA BC1AR1B 若 且 則 型ABC1AR1B 111() L TCABR若 則 型AB若 則 否則 型ABC 類型

17、模糊關系R 模糊推理 掌握了三種基本的模糊條件語句后，一些較復雜的模糊條件語句的模糊關系和推理結論可以在三種基本的模糊條件語句基礎上擴展而得到。幾種模糊條件語句的擴展if AandBthenCelseDif AthenBelseC可在上進行擴展，ifAandBandCthenD可在上進行擴展，if A andB then Cif AorBthenCorD可在上進行擴展，ifAthenB可在和上進行擴展，ifAandBthenCandDif AandBthenCif AandBthenD如：模糊條件語句擴展的基本原則是：推理結論均為模糊條件與模糊關系的合成；模糊關系擴展時，如果兩個模糊集合用and相連，模糊關系中進行直積運算；如果兩個模糊集合用or相連，模糊關系中進行并運算。if AandBthenCelseDif AthenBelseC可在上進行擴展，例：擴展模糊關系和推理結論：()()RABCABD111() L TCABR()()RA BA C1AR1B 原模糊關系和推理結論：ifAandBandCthenD可在上進行擴展，if A andB then C擴展模糊關系和推理結論：1111() L TDABCR原模糊關系和推理結論：RA B C111(