傅里葉分析及其應(yīng)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1傅里葉分析及其應(yīng)用傅里葉分析及其應(yīng)用 目 次第一章 緒論第二章 傅里葉分析的產(chǎn)生與發(fā)展第三章 傅里葉變換第四章 在偏微分方程中的應(yīng)用 結(jié)論第1頁(yè)/共33頁(yè)第一章 緒論 傅里葉分析是分析學(xué)中的一個(gè)重要分支，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，雖然早在18世紀(jì)初期，就有關(guān)三角級(jí)數(shù)的論述已在D.Bernoulli，DAlembert，L.Euler等人的工作中出現(xiàn)，但真正重要的一步是法國(guó)數(shù)學(xué)家Fourier邁出的，他在著作熱的解析理論中，系統(tǒng)地運(yùn)用了三角級(jí)數(shù)和三角積分來(lái)處理熱傳導(dǎo)問(wèn)題。 此后，眾多數(shù)學(xué)家，如Dirichlet，Riemann， Lipschitz以及Jordan等都曾從事于這一領(lǐng)域的研究，不僅彌

2、補(bǔ)了Fourier工作中的不足，而且極大地發(fā)展了以Fourier命名的級(jí)數(shù)理論，擴(kuò)大了傅里葉分析的應(yīng)用范圍，還使得這一理論成為研究周期現(xiàn)象（各種振動(dòng)，行星運(yùn)動(dòng)，波動(dòng)與通訊等）不可缺少的工具。第2頁(yè)/共33頁(yè)第一章 緒論結(jié)構(gòu)安排傅里葉分析的產(chǎn)生傅里葉分析的發(fā)展傅里葉變換的定義傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的主要類型傅里葉變換應(yīng)用于波動(dòng)方程傅里葉變換應(yīng)用于非線性偏微分方程結(jié)論第3頁(yè)/共33頁(yè)第二章 傅里葉分析的產(chǎn)生法國(guó)科學(xué)家傅里葉由于當(dāng)時(shí)工業(yè)上處理金屬的需要，從事著熱傳導(dǎo)的研究。1807年向巴黎科學(xué)院呈交的題為熱的解析理論在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出了任意周期

3、函數(shù)都可以用三角基來(lái)表示的想法第4頁(yè)/共33頁(yè)第二章 傅里葉分析的產(chǎn)生01(cossin)2kkkaakx bkxikxkkc e 實(shí)型三角級(jí)數(shù)，其中 ， ， 是實(shí)數(shù)列0aka(0,1,2,)kb k 復(fù)型三角級(jí)數(shù)，其中 是復(fù)數(shù)列(0, 1, 2, )kc k 1,cos ,sin ,cos,sin,xxkxkx三角函數(shù)系(0,1,2,)ikxek 三角函數(shù)系（復(fù)數(shù)形式）第5頁(yè)/共33頁(yè)第二章 傅里葉分析的產(chǎn)生01( )=(cossin)2kkkaf xakx bkx實(shí)型Fourier級(jí)數(shù)1( )cos, 0,1,2,kaf xkxdx k1( )sin, 1,2,kbf xkxdxk實(shí)型Fo

4、urier級(jí)數(shù)的系數(shù)由公式?jīng)Q定( )=ikxkkf xc e復(fù)型Fourier級(jí)數(shù)1( )( )2ikxkkccff x edx復(fù)型Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)由公式?jīng)Q定第6頁(yè)/共33頁(yè)第二章 傅里葉分析的發(fā)展早期發(fā)展概況狄利克雷是歷史上第一個(gè)給出函數(shù) 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于它自身的充分條件的數(shù)學(xué)家未得到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證傅里葉提出任意函數(shù)可以用級(jí)數(shù)表示( )fxDirichlet-Jordan判別法黎曼在用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示函數(shù)的論文中，為了使更廣的一類函數(shù)可以用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，第一次明確地提出了現(xiàn)在稱之為黎曼積分的概念及其性質(zhì)。對(duì)傅里葉系數(shù)的積分求解有重要意義第7頁(yè)/共33頁(yè)第二章 傅里葉分析的發(fā)展近代

5、以來(lái)的發(fā)展概況Lebesgue（勒貝格）積分理論發(fā)散級(jí)數(shù)的求和理論推進(jìn)了黎曼的工作Fejer（費(fèi)耶爾）求法Luzin(盧津)猜想Lebesgue積分Lebesgue測(cè)度新的求和方法重要的進(jìn)展復(fù)變函數(shù)論方法經(jīng)典的 空間概念pH傅里葉級(jí)數(shù)與單位圓內(nèi)解析函數(shù)的理論有著非常密切的聯(lián)系第8頁(yè)/共33頁(yè)第二章 傅里葉分析的發(fā)展近代以來(lái)的發(fā)展概況極大函數(shù)50年代以后的研究，逐漸向多維和抽象空間推廣考爾德倫贊格蒙奇異積分理論滿足偏微分方程等許多數(shù)學(xué)分支發(fā)展的需要標(biāo)志了傅里葉分析進(jìn)入了一個(gè)新的歷史時(shí)期研究一類相當(dāng)廣泛的奇異積分算子0()( ) lim( )x yx yTf xf y dyx y 第9頁(yè)/共33頁(yè)

6、第三章 傅里葉變換傅里葉變換的基本定義 考慮定義在 的函數(shù)，設(shè) 稱：為 的Fourier變換。同時(shí)、稱為 的Fourier積分。(, ) ( )fLR2( )( )ixtf tf x edxff2( )ixtf t edt第10頁(yè)/共33頁(yè)第三章 傅里葉變換傅里葉變換的基本性質(zhì)（1）線性：傅里葉變換是一種線性運(yùn)算。1122( )() ( )()f tF jf tF j1212( )( )()()af tbf taF jbF j即其中a,b均為常數(shù)，其證明只需要根據(jù)傅里葉變換的定義既可以得出。第11頁(yè)/共33頁(yè)第三章 傅里葉變換傅里葉變換的基本性質(zhì)（2）奇偶虛實(shí)性：( )( )f tF則( )(

7、)ftF （3）對(duì)稱性：( )( ) f tF則( )2()F tf （4）尺度變換性：( )( )f tF則1( )( )f atFaa第12頁(yè)/共33頁(yè)第三章 傅里葉變換傅里葉變換的主要類型簡(jiǎn)稱全稱英文全稱信號(hào)連續(xù)性信號(hào)周期DTFT離散時(shí)間傅里葉變換Discrete-time Fourier Transform離散非周期FT傅里葉變換Fourier Transform連續(xù)非周期FS傅里葉級(jí)數(shù)Fourier Series連續(xù)周期DFS離散傅里葉級(jí)數(shù)Discrete Fourier Series離散周期DFT離散傅里葉變換Discrete Fourier Transform離散非周期第13頁(yè)/

8、共33頁(yè)第三章 傅里葉變換連續(xù)傅里葉變換 一般情況下，若“傅里葉變換”一詞的前面未加任何限定語(yǔ)，則指的是連續(xù)傅立葉變換。連續(xù)傅里葉變換是一個(gè)特殊的把一組函數(shù)映射為另一組函數(shù)的線性算子。不嚴(yán)格地說(shuō)，傅里葉變換就是把一個(gè)函數(shù)分解為組成該函數(shù)的連續(xù)頻率譜。離散傅里葉變換 離散時(shí)間傅里葉變換是傅里葉變換的一種。它將以離散時(shí)間 （其中 ，為采樣間隔）作為變量的函數(shù)（離散時(shí)間信號(hào)） 變換到連續(xù)的頻域，即產(chǎn)生這個(gè)離散時(shí)間信號(hào)的連續(xù)頻譜 ，值得注意的是這一頻譜是周期的。nTnZ ZT()f nT()iwF e第14頁(yè)/共33頁(yè)第三章 傅里葉變換快速傅里葉變換 由于加法運(yùn)算通常比乘法運(yùn)算快，所以快速算法的思想就

9、是要盡量減少乘法運(yùn)算。例如ab+ac=a(b+c)，用左式計(jì)算要做兩次乘法，而用右式計(jì)算則只要做一次乘法。101, 0,1,1NknnkNkaA WnNN由上式計(jì)算 時(shí)，對(duì)每個(gè)確定的n，要做N次乘法，總共要做 次乘法。若用一下快速算法（把一些相同的項(xiàng)合并），當(dāng) 時(shí)，就可以把乘法總數(shù)由 減少到 。當(dāng)數(shù)很大時(shí)，計(jì)算速度明顯提高。這種“快速傅里葉變換”的算法是1965年由Cooley-Tukey提出的na2N2mN2N2ln2NN第15頁(yè)/共33頁(yè)第三章 傅里葉變換傅里葉變換數(shù)字信號(hào)處理圖像處理密碼學(xué)偏微分方程經(jīng)濟(jì)學(xué)光學(xué)儀器第16頁(yè)/共33頁(yè)第四章 在偏微分方程中的應(yīng)用在偏微分方程中的應(yīng)用波動(dòng)方程

10、波動(dòng)方程或稱波方程（wave equation）是一種重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動(dòng)現(xiàn)象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波和水波。波動(dòng)方程抽象自聲學(xué)，電磁學(xué)，和流體力學(xué)等領(lǐng)域。 波動(dòng)方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，其最簡(jiǎn)可表達(dá)為：關(guān)于位置 和時(shí)間 的標(biāo)量函數(shù)滿足222( , )ucuf x tt 第17頁(yè)/共33頁(yè)求解波動(dòng)方程柯西問(wèn)題的通解首先限制所涉及的函數(shù)都來(lái)自一個(gè)特定的空間()dS R()():sup()( ),dddx RS RfCRxf xx 考慮d-維波動(dòng)方程的Cauchy(柯西)問(wèn)題：22( ,0)( ) ,()( ,0)( )dtuutu xf xf gS R

11、u xg x其中第四章 在偏微分方程中的應(yīng)用在偏微分方程中的應(yīng)用第18頁(yè)/共33頁(yè)求解波動(dòng)方程柯西問(wèn)題的通解 假設(shè) 為該波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題的解。我們使用的技巧是對(duì)空間變量 作Fourier變換，降低求解的難度。u1,dxx 利用Fourier變換的求導(dǎo)性質(zhì)，對(duì)原偏微分方程兩端做定義為2( )( ),dixdRff x edxR 的Fourier變換，得到關(guān)于 的一個(gè)常微分方程，易得通解為：t( , )( )cos(2)( )sin(2)utAtBt 其中 ， 是由初始條件決定的關(guān)于 的函數(shù)。( )A( )B第四章 在偏微分方程中的應(yīng)用在偏微分方程中的應(yīng)用第19頁(yè)/共33頁(yè)求解波動(dòng)方程柯西

12、問(wèn)題的通解再對(duì)初始條件進(jìn)行Fourier變換，得到：在對(duì)上式關(guān)于 作Fourier逆變換，得到：(2)( , )( )cos(2)( )2tutftg 2(2)( , )( )cos(2)( )2dixRtu x tftged 之后驗(yàn)證，通過(guò)Fourier變換、Fourier逆變換所得的解確實(shí)為原方程的解，即解滿足波動(dòng)方程，亦滿足初始條件第四章 在偏微分方程中的應(yīng)用在偏微分方程中的應(yīng)用第20頁(yè)/共33頁(yè)實(shí)例，1-維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題1-維的波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題可以表示為：2222( ,0)( ) ( ,0)( )tuuxtu xf xuxg x利用上面解出的通式，可以獲得解得表達(dá)式：2sin

13、(2)( , )( )cos(2)( )2ixtu xtftged 第四章 在偏微分方程中的應(yīng)用在偏微分方程中的應(yīng)用第21頁(yè)/共33頁(yè)實(shí)例，1-維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題利用化簡(jiǎn)，得：221cos(2)()2itittee 22sin(2)1()24i ti tteei 11( , )( ()()( )22x tx tuxtf x tf x tg ydy 即為DAlembert公式。第四章 在偏微分方程中的應(yīng)用在偏微分方程中的應(yīng)用第22頁(yè)/共33頁(yè)非線性偏微分方程簡(jiǎn)述 所謂的非線性偏微分方程，是指在偏微分方程中含有未知函數(shù)和（或）未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的高次項(xiàng)，而不能寫成如下線性形式（以兩個(gè)自變量的二階線性微分

14、方程為例）的微分方程。( , )2 ( , )( , ) ( , )( , )( , )( , )xxxyyyxyAx yuBx yuCx yuDx yuEx yuF x yu f x y主要類型完全非線性半線性方程擬線性方程第四章 在偏微分方程中的應(yīng)用在偏微分方程中的應(yīng)用第23頁(yè)/共33頁(yè)求解原理 以非線性薛定諤方程為例，非線性薛定諤方程在 （1+1）維可寫為：2222uiui uuzx假設(shè)其解的形式為:( , )( )i zu x zNU x e則方程可化為:2222102UUN U Ux傅里葉變換傅里葉逆變換( )( )itxF tf x edx( )( )itxf xF t e dt第

15、四章 在偏微分方程中的應(yīng)用在偏微分方程中的應(yīng)用第24頁(yè)/共33頁(yè)求解原理對(duì)方程兩邊同時(shí)對(duì) x 做傅里葉變換，可得：22221()02itxitxUUN U U e dxe dxx應(yīng)用傅里葉變換的微分性質(zhì),可得：222()( )2itxNUU edxF tt222( )2( )itxitxtNU U edxF t e dtb xU第四章 在偏微分方程中的應(yīng)用在偏微分方程中的應(yīng)用第25頁(yè)/共33頁(yè)數(shù)值模擬 利用快速傅里葉變化的方法，設(shè)試探解為高斯函數(shù): 首先模擬N=1的解，這種情況的解析解為：22xUNe1( )sec ( ),2U xh x第四章 在偏微分方程中的應(yīng)用在偏微分方程中的應(yīng)用第26頁(yè)

16、/共33頁(yè)從左上小圖中可以明顯看出解析解和數(shù)值解兩條曲線基本重合；右上小圖顯示橫向上各點(diǎn)的傳播常數(shù) ；下方小圖顯示迭代次數(shù)與誤差的變化，可以看出當(dāng)?shù)螖?shù)大于20次后隨迭代次數(shù)增加，誤差在不斷縮小，并趨近于0。第27頁(yè)/共33頁(yè)當(dāng)N=1.5時(shí)，左上小圖顯示孤子解與解析解相吻合，右上小圖表示傳播常數(shù)也與解析解的傳播常數(shù)基本相一致；下方小圖顯示迭代次數(shù)與誤差的變化，可以看出隨迭代次數(shù)增加，誤差在不斷縮小，并趨近于0。第28頁(yè)/共33頁(yè)當(dāng)N=2時(shí)，左上小圖顯示孤子解與解析解相吻合，右上小圖傳播常數(shù)也與解析解的傳播常數(shù) ；下方小圖顯示迭代次數(shù)與誤差的變化，可以看出隨迭代次數(shù)增加，誤差在不斷縮小，并趨近于0。第29頁(yè)/共33頁(yè)第四章 傅里葉分析在偏微分方程中的應(yīng)用傅里葉分析在偏微分方程中的應(yīng)用 由于技術(shù)問(wèn)題N2時(shí),無(wú)法用matlab顯示出，目前還不清楚原因。綜上所述，應(yīng)用傅里葉變換得到了一種比較簡(jiǎn)單的迭代方法，而其數(shù)值模擬結(jié)果也顯示解析解和數(shù)值解基本吻合，結(jié)果也能比較快速的收斂并且隨著維數(shù)的增加迭代次數(shù)也在減少。第30頁(yè)/共33頁(yè)結(jié)論 對(duì)于Fourier分析的意義和作用，應(yīng)當(dāng)給予相當(dāng)高度的評(píng)價(jià)。Fourier分析隨著在自身領(lǐng)域的不斷發(fā)展，同時(shí)，也影響著其他廣闊的學(xué)科領(lǐng)域，從另一個(gè)角度看