圓和線的位置關(guān)系教案

1、圖示 公共點個數(shù) 位置關(guān)系 d,r數(shù)量關(guān)系 0 相離drA 1 相切 d=rA B 2相交0dr直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計 杭州市長征中學(xué) 朱成萬一、教學(xué)內(nèi)容解析 高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修2（人教A）第四章第42節(jié)直線與圓的位置關(guān)系主要介紹了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的方程的應(yīng)用等內(nèi)容，大致安排四課時教學(xué)本節(jié)課是第42節(jié)第一課時內(nèi)容，是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了直線方程、直線與直線的位置關(guān)系、圓的方程等之后，用解析法研究直線與圓的位置關(guān)系在平面幾何對直線與圓之間的關(guān)系進行了定性的研究，即依照它們公共點的個數(shù)來判定它們的位置關(guān)系但在實際問題中，我們會經(jīng)常遇到直線與圓的位置關(guān)系的定量刻

2、畫問題，如當(dāng)直線與圓有公共點時，其公共點的準(zhǔn)確位置的確定問題，這是平面幾何沒有解決好的問題學(xué)習(xí)了坐標(biāo)法后，可以通過建立平面直角坐標(biāo)系，使得直線與圓可以用方程表示，從而將直線與圓的位置關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為直線的方程與圓的方程之間的數(shù)量關(guān)系的研究當(dāng)直線與圓有公共點時，公共點位置的確定就轉(zhuǎn)化為求解直線的方程與圓的方程的公共解 依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系，是運用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后比較這個距離與圓的半徑的大小，并作出位置關(guān)系的判斷，仍然是用坐標(biāo)法解決問題（幾何意義相對直觀些）研究直線與圓的位置關(guān)系，一是從幾何角度直觀判斷，二是通過直線與圓的方程從“數(shù)”

3、的角度進行研究這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想本節(jié)課教學(xué)重點：用解析法判斷直線與圓的位置關(guān)系二、教學(xué)目標(biāo)解析1了解直線與圓的三種位置關(guān)系的含義及圖示2會用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離d，并根據(jù)d與半徑r的大小判斷直線與圓的位置關(guān)系3理解直線與圓的位置關(guān)系可以通過直線與圓的方程所組成的方程組的解的個數(shù)來確定4當(dāng)直線與圓有公共點時，能通過聯(lián)解方程組得出直線與圓的公共點的坐標(biāo)5當(dāng)直線與圓相交時，會求圓的弦長，以及能解決與弦長相關(guān)的簡單問題6通過直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)化處理，使學(xué)生進一步認識到坐標(biāo)系是聯(lián)系“數(shù)”與“形”的橋梁，從而更深刻地體會坐標(biāo)法思想三、教學(xué)問題診斷學(xué)生在初中平面幾何中已經(jīng)接觸過直線

4、與圓的位置關(guān)系，學(xué)習(xí)了直線方程、圓的方程、兩直線的位置關(guān)系以及點到直線的距離之后，具備利用方程研究兩條直線的位置關(guān)系的基本能力為什么要對直線與圓的位置關(guān)系進行定量刻畫？這是學(xué)生學(xué)習(xí)時可能遇到的第一個學(xué)習(xí)障礙這個問題可以結(jié)合“臺風(fēng)問題”進行說明：我們?nèi)绾慰坍嬢喆_始受臺風(fēng)影響的位置？這是平面幾何沒有解決的問題，必需借助坐標(biāo)系，才能精確刻畫利用直線的方程與圓的方程進行直線與圓的位置關(guān)系的研究時，會遇上求方程組的解，求圓心到直線的距離等大量的代數(shù)計算問題，由于有些問題（特別是像臺風(fēng)這樣的實際問題）中的數(shù)據(jù)較復(fù)雜，可能導(dǎo)致學(xué)生計算出錯，這是第二個學(xué)習(xí)障礙，也是教學(xué)難點之一教學(xué)時不能因為這個問題而使教學(xué)

5、偏離重點，必要時可使用信息技術(shù)工具解決這個問題本節(jié)課教學(xué)難點：理解可以通過直線與圓的方程所組成的方程組的解來確定它們的位置關(guān)系四、教學(xué)過程設(shè)計1問題情境問題1一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為50km的圓形區(qū)域已知港口位于臺風(fēng)中心正北70km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？設(shè)計意圖：讓學(xué)生感受臺風(fēng)這個實際問題中所蘊含的直線與圓的位置關(guān)系，思考解決問題的方案 通過實際問題引入，讓學(xué)生體會生活中的數(shù)學(xué)，突出研究直線與圓的位置關(guān)系的重要意義師生活動：讓學(xué)生進行討論、交流，啟發(fā)學(xué)生由圖形獲取判斷直線與圓的

6、位置關(guān)系的直觀認知，引入新課師：你怎么判斷輪船受不受影響？生：臺風(fēng)所在的圓與輪船航線所在直線是否相交師：（板書標(biāo)題）這個問題，其實可以歸結(jié)為直線與圓的位置關(guān)系學(xué)生解決方法一：設(shè)O為臺風(fēng)中心，A為輪船開始位置，B為港口位置，在OAB中，O到AB的距離=，因此受影響2揭示課題直線與圓的位置關(guān)系問題2前面問題可以轉(zhuǎn)化為直線圓的位置關(guān)系問題請問，直線與圓的位置關(guān)系有幾種？在平面幾何中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？設(shè)計意圖：從已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，建立新舊知識之間的聯(lián)系，構(gòu)建學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，不斷加深對問題的理解師生活動：引導(dǎo)學(xué)生回憶義務(wù)教育階段判斷直線與圓的位置關(guān)系的思想過程可以展示下面的表格

7、，使問題直觀形象直線與圓的位置關(guān)系公共點個數(shù)與的關(guān)系圖形相交兩個相切一個相離沒有3直線與圓位置關(guān)系的判斷問題3：方法一是用平面幾何知識判斷直線與圓的位置關(guān)系，你能根據(jù)直線與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系嗎？設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生用直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，體驗坐標(biāo)法的思想方法師生活動：通過教師追問，引起學(xué)生思考師：要求圓與直線的方程，首先要建立坐標(biāo)？那如何建立坐標(biāo)？生：以臺風(fēng)中心為原點，以東西方向為軸，建立直角坐標(biāo)系師：（追問）坐標(biāo)系還可以有其他建法嗎？生：以港口所在位置為原點，以輪船所在位置為原點（選擇一種，師生共同完成）方法二：如圖，以臺風(fēng)中心為原點，以東西方向為軸，建立直角坐標(biāo)系

8、，其中，取10km為單位長度則臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓的方程為，圓心O（0，0），半徑5，輪船航線所在的直線的方程為，直線與圓相交問題4：這是利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判別直線與圓的位置關(guān)系（稱此法為“法”）請問用“法”的一般步驟如何？設(shè)計意圖：對判斷直線與圓的位置關(guān)系步驟進行小結(jié)，對知識進行梳理，使學(xué)生有“操作規(guī)范”，培養(yǎng)歸納能力，同時也滲透了算法思想師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析歸納：（1）建立平面直角坐標(biāo)系；（2）求出直線方程，圓心坐標(biāo)與圓的半徑；（3）求出圓心到直線的距離（4）比較與的大小，確定直線與圓的位置關(guān)系當(dāng)時，直線與圓相離；當(dāng)時，直線與圓相切；當(dāng)時，直線與圓相交問題5

9、：對于平面直角坐標(biāo)系中的直線和，聯(lián)立方程組，我們有如下一些結(jié)論：與相交，方程組有唯一解；與平行，方程組無；與平行，方程組有無窮組解你能用類比的思想，研究直線與圓的位置關(guān)系嗎？設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過對兩條直線的位置關(guān)系的研究過程，回顧坐標(biāo)法思想的重要作用并通過類比，使學(xué)生獲得用坐標(biāo)法研究直線與圓的位置關(guān)系的想法與結(jié)論抽象判斷直線與圓的位置關(guān)系的思路與方法師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生得出：聯(lián)立方程組，我們有如下一些結(jié)論：圓與直線相切，方程組有唯一解；圓與直線相交，方程組有兩組解；圓與直線相離，方程組有無解方法三：聯(lián)立方程組，消去，得，因為 所以，方程組有兩組解，直線與圓相交問題6：根據(jù)方程組是否

10、有解來判斷直線與圓的位置關(guān)系的步驟如何？設(shè)計意圖：根據(jù)方程組是否有解來判斷直線與圓位置關(guān)系的步驟進行小結(jié)，對知識進行梳理，使學(xué)生有“操作規(guī)范”，培養(yǎng)歸納能力，同時也滲透了算法思想師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納：（1）將直線方程與圓方程聯(lián)立成方程組；（2）通過消元，得到一個一元二次方程；（3）求出其判別式的值；（4）判斷的符號：若0，則直線與圓相交； 若0，則直線與圓相切；若0，則直線與圓相離問題7：我們研究了判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，可以用平面幾何知識定性刻畫，也可以用解析幾何的知識，根據(jù)直線與圓的方程來刻畫如果要求輪船在哪個具體位置開始受到臺風(fēng)影響，如何刻畫？設(shè)計意圖：體驗平面幾何與解

11、析幾何的各自解法平面幾何可以定性刻畫，解析幾何可以精確刻畫，體驗坐標(biāo)法的優(yōu)越性師生活動：教師引導(dǎo)，師生共同解決生：求出交點，就是開始受影響的位置 解出：x=3,y=4或x=4,y=3 即，在臺風(fēng)中心的東30，偏北40處，開始受到影響師：一般來說，平面幾何可以定性的刻畫直線與圓的位置關(guān)系，但在精確刻畫它們位置關(guān)系時，解析幾何就顯得“得心應(yīng)手”，顯示出它的優(yōu)越性4例題示范例1如圖，已知直線：和圓心為的圓，（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）如果相交，求它們交點的坐標(biāo)設(shè)計意圖：通過例題鞏固判斷直線與圓的位置關(guān)系方法，關(guān)注量與量之間的關(guān)系使學(xué)生體驗用坐標(biāo)法研究直線與圓的位置關(guān)系的想法與結(jié)論師生活動：教

12、師引導(dǎo)學(xué)生分析解答分析：方法一，判斷直線與圓的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解；方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑大小的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系問題8在判斷直線與圓的位置關(guān)系的不同方法中，你選擇哪一種？設(shè)計意圖：兩種方法的選擇，體驗各自的優(yōu)越性和其中蘊含的思想方法師生活動：學(xué)生討論選擇5弦長問題例1 變式：求弦AB的長度設(shè)計意圖：直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)他們相交時，學(xué)習(xí)弦長的求法師生活動：學(xué)生思考解決，可能有兩種方法：方法一：因為兩個交點坐標(biāo)分別是，所以用兩點距離公式方法二：構(gòu)造直角三角形，先求弦心距，再求弦長例題2：已知過點M（3，3）的直線l被圓x2y24y210所截得的弦長為4，求直線l的方程生：先獨立解決，然后看課本，規(guī)范解題師：設(shè)直線方程為，它的前提是斜率存在對于斜率不存在的情況用幾何畫板演示（答案為：x2y90，或2xy30）6課堂小結(jié)問題9判斷直線與圓的位置關(guān)系有哪些方法?問題10當(dāng)直線與圓相交時,如何求弦長?設(shè)計意圖：鞏固所學(xué)知識，