數列求和的各種方法

1、 數列求和的方法教學目標1熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式2掌握非等差、等比數列求和的幾種常見方法3能在具體的問題情境中識別數列的等差關系或等比關系，并能用相關知識解決相應的問題教學內容知識梳理1求數列的前n項和的方法(1)公式法等差數列的前n項和公式snna1.等比數列的前n項和公式()當q1時，snna1；()當q1時，sn.常見的數列的前n項和：， 1+3+5+(2n1)=，等(2)分組轉化法把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解(3)裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項(4)倒序相加法這是推導等差數列前n項和時所用的方法，將一個

2、數列倒過來排序，如果原數列相加時，若有公因式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數列可用倒序相加法求和(5)錯位相減法這是推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，主要用于求anbn的前n項和，其中an和bn分別是等差數列和等比數列(6)并項求和法一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.2. 常見的裂項公式(1)；(2)()；(3)()；(4)；(5)()(6)設等差數列an的公差為d，則()數列求和題型考點一 公式法求和1.(2016新課標全

3、國)已知an是公差為3的等差數列，數列bn滿足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通項公式；(2)求bn的前n項和.2.(2013新課標全國，17)已知等差數列an的公差不為零，a125，且a1，a11，a13成等比數列.(1)求an的通項公式；(2)求a1a4a7a3n2.變式訓練1.(2015四川，16)設數列an(n1，2，3，)的前n項和sn滿足sn2ana1，且a1，a21，a3成等差數列. (1)求數列an的通項公式； (2)設數列的前n項和為tn，求tn.2.(2014福建，17)在等比數列an中，a23，a581.(1)求an；(2)設bnlog3an，求數列b

4、n的前n項和sn.考點二 錯位相減法1.(山東)已知數列 的前n項和sn=3n2+8n，是等差數列，且 （）求數列的通項公式；（）令 求數列的前n項和tn.2.(2015天津，18)已知數列an滿足an2qan(q為實數，且q1)，nn*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差數列.(1)求q的值和an的通項公式；(2)設bn，nn*，求數列bn的前n項和.變式訓練1.(2014江西，17)已知首項都是1的兩個數列an，bn(bn0，nn*)滿足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求數列cn的通項公式；(2)若bn3n1，求數列an的前n項和sn.2.(2014四川

5、，19)設等差數列an的公差為d，點(an，bn)在函數f(x)2x的圖象上(nn*).(1)若a12，點(a8，4b7)在函數f(x)的圖象上，求數列an的前n項和sn；(2)若a11，函數f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2，求數列的前n項和tn.3.(2015湖北，18)設等差數列an的公差為d，前n項和為sn，等比數列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，s10100.(1)求數列an，bn的通項公式；(2)當d1時，記cn，求數列cn的前n項和tn.4(2015山東，18)設數列an的前n項和為sn.已知2sn3n3.(1)求an的通項公式；(2)若數列b

6、n滿足anbnlog3an，求bn的前n項和tn.5.(2015浙江，17)已知數列an和bn滿足a12，b11，an12an(nn*)，b1b2b3bnbn11(nn*).(1)求an與bn；(2)記數列anbn的前n項和為tn，求tn.6.(2015湖南，19)設數列an的前n項和為sn，已知a11，a22，且an23snsn13, nn*.(1)證明：an23an；(2)求sn.考點三 分組求和法1.(2015福建，17)在等差數列an中，a24，a4a715.(1)求數列an的通項公式；(2)設bnn，求b1b2b3b10的值.2.(2014湖南，16)已知數列an的前n項和sn，nn

7、*.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn(1)nan，求數列bn的前2n項和.變式訓練1.(2014北京，15)已知an是等差數列，滿足a13，a412，數列bn滿足b14，b420，且bnan為等比數列.(1)求數列an和bn的通項公式；(2)求數列bn的前n項和.考點四 裂項相消法1.(2015新課標全國，17)sn為數列an的前n項和已知an0，a2an4sn3.(1)求an的通項公式；(2)設bn，求數列bn的前n項和2.(2011新課標全國，17)等比數列an的各項均為正數，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數列an的通項公式；(2)設bnlog3a1log3a2log3a

8、n，求數列的前n項和3.(2015安徽，18)已知數列an是遞增的等比數列，且a1a49，a2a38.(1)求數列an的通項公式；(2)設sn為數列an的前n項和，bn，求數列bn的前n項和tn.變式訓練1.(2013江西，16)正項數列an滿足：a(2n1)an2n0.(1)求數列an的通項公式an；(2)令bn，求數列bn的前n項和tn.2.(2013大綱全國，17)等差數列an中，a74，a192a9.(1)求an的通項公式；(2)設bn，求數列bn的前n項和sn.3.在數列an中，a11，當n2時，其前n項和sn滿足san.(1)求sn的表達式；(2)設bn，求bn的前n項和tn.考點

9、五 倒序相加法已知函數f(x)(xr)(1)證明：f(x)f(1x)；(2)若sf()f()f()，則s_.變式訓練1.設f(x)，若sf()f()f()，則s_.考點六 并項求和1.(2012新課標，16)數列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項和為_.2.(2014山東，19)在等差數列an中，已知公差d2，a2是a1與a4的等比中項.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn，記tnb1b2b3b4(1)nbn，求tn.變式訓練1.(2014山東理，19)已知等差數列an的公差為2，前n項和為sn，且s1，s2，s4成等比數列.(1)求數列an的通項公式；(2)令bn(1)n

10、1，求數列bn的前n項和tn.2.(2013湖南，15)設sn為數列an的前n項和，sn(1)nan，nn*，則：(1)a3_；(2)s1s2s100_.考點七 數列|an|的前n項和問題1.(2011北京，11)在等比數列an中，若a1，a44，則公比q_；|a1|a2|an|_變式訓練1.(2013浙江，19)在公差為d的等差數列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比數列.(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.考點八 周期數列1.已知數列2 008,2 009,1，2 008，2 009，這個數列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個

11、數列的前2 014項之和s2 014等于()a2 008 b2 010 c1 d0變式訓練1.(2012福建)數列an的通項公式anncos，其前n項和為sn，則s2 012等于()a.1 006 b.2 012 c.503 d.0考點九 數列與不等式的應用 1(2014新課標全國，17)已知數列an滿足a11，an13an1.(1)證明是等比數列，并求an的通項公式；(2)證明60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由2(2013廣東，19)設數列an的前n項和為sn.已知a11，an1n2n，nn*.(1)求a2的值；(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數n，有1

12、時，記cn，求數列cn的前n項和tn.解(1)由題意有，即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是tn1，tn.可得tn23，故tn6.4(2015山東，18)設數列an的前n項和為sn.已知2sn3n3.(1)求an的通項公式；(2)若數列bn滿足anbnlog3an，求bn的前n項和tn.解(1)因為2sn3n3，所以2a133，故a13，當n1時，2sn13n13，此時2an2sn2sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因為anbnlog3an，所以b1，當n1時，bn31nlog33n1(n1)31n.所以t1b1；當n1時，tnb1b2b3bn(

13、131232(n1)31n)，所以3tn1(130231(n1)32n)，兩式相減，得2tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以tn，經檢驗，n1時也適合綜上可得tn.5.(2015浙江，17)已知數列an和bn滿足a12，b11，an12an(nn*)，b1b2b3bnbn11(nn*).(1)求an與bn；(2)記數列anbn的前n項和為tn，求tn.解(1)由a12，an12an，得an2n(nn*).由題意知：當n1時，b1b21，故b22.當n2時，bnbn1bn，整理得，所以bnn(nn*).(2)由(1)知anbnn2n.因此tn2222323n2n，2tn2

14、2223324n2n1，所以tn2tn222232nn2n1.故tn(n1)2n12(nn*).6.(2015湖南，19)設數列an的前n項和為sn，已知a11，a22，且an23snsn13, nn*.(1)證明：an23an；(2)求sn.(1)證明由條件，對任意nn*，有an23snsn13，因而對任意nn*，n2，有an13sn1sn3.兩式相減，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33s1s233a1(a1a2)33a1，故對一切nn*，an23an.(2)解由(1)知，an0，所以3.于是數列a2n1是首項a11，公比為3等比數列；數列a2n是

15、首項a22，公比為3的等比數列.因此a2n13n1，a2n23n1.于是s2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1).從而s2n1s2na2n23n1(53n21).綜上所述，sn考點三 分組求和法1.(2015福建，17)在等差數列an中，a24，a4a715.(1)求數列an的通項公式；(2)設bnn，求b1b2b3b10的值.解(1)設等差數列an的公差為d，由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2

16、112)55211532 101.2.(2014湖南，16)已知數列an的前n項和sn，nn*.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn(1)nan，求數列bn的前2n項和.解(1)當n1時，a1s11；當n2時，ansnsn1n.故數列an的通項公式為ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.記數列bn的前2n項和為t2n，則t2n(212222n)(12342n).記a212222n，b12342n，則a22n12，b(12)(34)(2n1)2nn.故數列bn的前2n項和t2nab22n1n2.變式訓練1.(2014北京，15)已知an是等差數列，滿足a13，a412，數列bn滿足b

17、14，b420，且bnan為等比數列.(1)求數列an和bn的通項公式；(2)求數列bn的前n項和.解(1)設等差數列an的公差為d，由題意得d3.所以ana1(n1)d3n(n1，2，).設等比數列bnan的公比為q，由題意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.從而bn3n2n1(n1，2，).(2)由(1)知bn3n2n1(n1，2，).數列3n的前n項和為n(n1)，數列2n1的前n項和為12n1.所以，數列bn的前n項和為n(n1)2n1.考點四 裂項相消法1.(2015新課標全國，17)sn為數列an的前n項和已知an0，a2an4sn3.(1)求an的通項公式；

18、(2)設bn，求數列bn的前n項和解(1)由a2an4sn3，可知a2an14sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)，a13.所以an是首項為3，公差為2的等差數列，通項公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設數列bn的前n項和為tn，則tnb1b2bn .2.(2011新課標全國，17)等比數列an的各項均為正數，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數列an的通項公式；(2)設bnlog3a1log3a2log3an，求數列的前n項和解(1)設數列an的公比

19、為q.由a9a2a6，得a9a，所以q2.由條件可知q0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故數列an的通項公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n)，故2()，2.所以數列的前n項和為.3.(2015安徽，18)已知數列an是遞增的等比數列，且a1a49，a2a38.(1)求數列an的通項公式；(2)設sn為數列an的前n項和，bn，求數列bn的前n項和tn.解(1)由題設知a1a4a2a38.又a1a49.可解得或(舍去).由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)sn2n1，又bn，所以tnb1b2bn1.變式訓練1.(2013江

20、西，16)正項數列an滿足：a(2n1)an2n0.(1)求數列an的通項公式an；(2)令bn，求數列bn的前n項和tn.解(1)由a(2n1)an2n0，得(an2n)(an1)0.由于an是正項數列，所以an2n.(2)由an2n，bn，則bn，tn.2.(2013大綱全國，17)等差數列an中，a74，a192a9.(1)求an的通項公式；(2)設bn，求數列bn的前n項和sn.解(1)設等差數列an的公差為d，則ana1(n1)d.由得解得a11，d.an的通項公式為an.(2)bn，sn.3.在數列an中，a11，當n2時，其前n項和sn滿足san.(1)求sn的表達式；(2)設b

21、n，求bn的前n項和tn.答案（1）可求得（2）考點五 倒序相加法1.已知函數f(x)(xr)證明：f(x)f(1x)；變式訓練1.設f(x)，若sf()f()f()，則s_.考點六 并項求和1.(2012新課標，16)數列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項和為_.理科解析當n2k時，a2k1a2k4k1，當n2k1時，a2ka2k14k3，a2k1a2k12，a2k3a2k12，a2k1a2k3，a1a5a61.a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(2601)30611 830.答案1 830文科解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a

22、1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案d2.(2014山東，19)在等差數列an中，已知公差d2，a2是a1與a4的等比中項.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn，記tnb1b2b3b4(1)nbn，求tn.解(1)由題意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12.所以數列an的通項公式為an2n.(2)

23、由題意知bnan(n1).所以tn122334(1)nn(n1).因為bn1bn2(n1)，可得當n為偶數時，tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，當n為奇數時，tntn1(bn)n(n1).所以tn變式訓練1.(2014山東理，19)已知等差數列an的公差為2，前n項和為sn，且s1，s2，s4成等比數列.(1)求數列an的通項公式；(2)令bn(1)n1，求數列bn的前n項和tn.解(1)因為s1a1，s22a122a12，s44a124a112，由題意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.當n為偶數時，

24、tn1.當n為奇數時，tn1.所以tn2.(2013湖南，15)設sn為數列an的前n項和，sn(1)nan，nn*，則：(1)a3_；(2)s1s2s100_.解析(1)sn(1)nan.當n3時，a1a2a3a3，當n4時，a1a2a3a4a4，a1a2a3，由知a3.(2)sn(1)nan當n為奇數時，兩式相減得an1an1an，an；當n為偶數時，兩式相減得an1an1an，即an2an1，故ansns1s2s100.答案(1)(2)考點七 數列|an|的前n項和問題1.(2011北京，11)在等比數列an中，若a1，a44，則公比q_；|a1|a2|an|_解析q38，q2，則an(

25、2)n1，|a1|a2|a3|an|122n22n1.答案22n1變式訓練1.(2013浙江，19)在公差為d的等差數列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比數列.(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解(1)由題意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4，ann11，nn*或an4n6，nn*.(2)設數列an的前n項和為sn，d0，由(1)得d1，ann11，則當n11時，|a1|a2|a3|an|snn2n.當n12時，|a1|a2|a3|an|sn2s11n2n110，綜上所述：|a1|a2|a3|an|考點八 周期數列1.已知數列

26、2 008,2 009,1，2 008，2 009，這個數列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數列的前2 014項之和s2 014等于()a2 008 b2 010 c1 d0答案 b變式訓練1.(2012福建)數列an的通項公式anncos，其前n項和為sn，則s2 012等于()a.1 006 b.2 012 c.503 d.0答案 a考點九 數列與不等式的應用 1(2014新課標全國，17)已知數列an滿足a11，an13an1.(1)證明是等比數列，并求an的通項公式；(2)證明.證明(1)由an13an1得an13又a1，所以是首項為，公比為3的等比數列an，因

27、此an的通項公式為an.(2)由(1)知.因為當n1時，3n123n1，所以.于是1.所以60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由解(1)設數列an的公差為d，依題意，2，2d，24d成等比數列，故有(2d)22(24d)，化簡得d24d0，解得d0或d4.當d0時，an2；當d4時，an2(n1)44n2，從而得數列an的通項公式為an2或an4n2.(2)當an2時，sn2n.顯然2n60n800成立當an4n2時，sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值為41.綜上，當an2時，不存在滿足題意的n；當an4n2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.2(