高中數(shù)學人教高階微分方程習題課PPT學習教案

1、會計學1高中數(shù)學人教高階微分方程習題課高中數(shù)學人教高階微分方程習題課高階微分方程習題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習第1頁/共39頁高階微分方程習題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習第2頁/共39頁一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程第3頁/共39頁一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程第4頁/共39頁)()(xfyn 型只含x的項逐次積分),(yxfy 型 缺少y的項設(shè))(xpy 則)(xpy 類型特點解法降階方程 Cxxfynd)()1

2、(),(ddpxfxp ),(yyfy 型 缺少x的項設(shè))(xypy 則yppydd ),(ddpyfypp 基本思路通過變量代換化為低階微分方程l注對于初值問題,應(yīng)邊降階邊確定常數(shù).第5頁/共39頁一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程第6頁/共39頁一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程第7頁/共39頁記yxayxayxayyLnnnn)()()()(1) 1(1)( 1.nyyy,21是線性齊次方程0)( yL的n個線性無

3、關(guān)的特解nnyCyCyC 2211是齊次方程的通解.2. y是線性非齊次方程)()(xfyL 的一個特解,Y是對應(yīng)齊次方程0)( yL的通解,Yy 是線性非齊次方程)()(xfyL 的通解.3.1y是方程)()(1xfyL 的特解,2y是方程)()(2xfyL 的特解,21yyy 是方程)()()(21xfxfyL 的解.4.21, yy是方程)()(xfyL 的兩個解,21yy 是對應(yīng)齊次方程0)( yL的解.第8頁/共39頁一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程第9頁/共39頁一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高

4、階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程第10頁/共39頁二階常系數(shù)線性齊次方程l方程形式0 qyypyl求解方法寫出特征方程02 qprr解出特征根寫出對應(yīng)通解l通解公式特征根通解形式21,rr二相異實根xrxreCeCY2121 r重根rxexCCY)(21 i 二共軛復(fù)根12(cossin)xYeCxCx 第11頁/共39頁n階常系數(shù)線性齊次方程l方程形式0)2(2)1(1)( ypypypynnnnl特征方程02211 nnnnprprpr若r為特征方程的k重實根,則通解中含有rxkkexCxCC)(121 若為特征方程的k重復(fù)根,則

5、通解中含有 i 111212()cos()sinxkkkkeCC xC xxDD xD xx 第12頁/共39頁一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程第13頁/共39頁一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線性齊次方程(四) 常系數(shù)線性非齊次方程第14頁/共39頁二階常系數(shù)線性非齊次方程l方程形式)(xfqyypy l求解步驟求出對應(yīng)齊次方程的通解;Y求出非齊次方程的一個特解; y寫出非齊次方程的一個通解. yYyl特解求法待定系數(shù)法第15頁/共39頁l特解形式( )

6、( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx (1)(2)( )cos( )sinkxmmyx eRxxRxx +i 不是特征方程的根k=0+i 是特征方程的根k=1(1)(2)( ),( )mmRxRx為m次多項式max , ml n ( )( )xmf xePx ( )kxmyx Qx e 不是特征方程的根k=0 是特征方程的單根k=1 是特征方程的重根k=2(1)(2)第16頁/共39頁高階微分方程習題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習第17頁/共39頁高階微分方程習題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習第18頁/共39頁二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）

7、高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第19頁/共39頁二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第20頁/共39頁u例1(1)求下列微分方程的通解或特解yxyyx 2220122 yyy(2)1)0(, 1)0(,222 yyyyyy4)0(, 1)0(, 0)0(,1322 yyyyxxy(3)(4)第21頁/共39頁二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第22頁/共39

8、頁二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第23頁/共39頁u例2u例3u例4已知微分方程是否是023 xxx的三個特解為,2321tttextexex 問ttteCteCeC22112 微分方程的通解(其中是C1,C2任意常數(shù))，為什么？ 已知textexttcos5,cos21 022 xxx是微分方程的兩個特解,問teCteCxttcos5cos21 是否是方程的通解?則該方程的通解為:(A)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù))(),(),(321xyxyxy均是二階線性)()()(xfyxqyxpy 322

9、11yyCyC 3212211)(yCCyCyC 3212211)1 (yCCyCyC 3212211)1 (yCCyCyC (B)(C)(D)非齊次方程的解,第24頁/共39頁二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第25頁/共39頁二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第26頁/共39頁u例5 寫出下列方程的通解形式(不必求解)(1)1653 xxeyyy(2)xxxyyycossin65 (3

10、)2sin3(cos102xxeyyyx (4)xxxxyyycossin10672 u例6 設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù),且滿足方程 xxttftxexf02d)()()(求).(xf第27頁/共39頁二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第28頁/共39頁二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第29頁/共39頁u例7u例8u例9設(shè)微分方程xcebyyay ,)1 (2xxexey cba,的值及通解.

11、的一個特解為求求具有特解xxxeyxeyey3,2,321 的三階常系數(shù)齊次線性微分方程.設(shè)xxxxxxxeexeyexeyexey 23221,是某二階求此方程.常系數(shù)非齊次線性微分方程的三個解,第30頁/共39頁二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第31頁/共39頁二、題型練習（一）可降階的高階微分方程（二）高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線性方程的解（四）高階常系數(shù)線性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第32頁/共39頁（五）應(yīng)用題1幾何應(yīng)用2物理應(yīng)用第33頁/共39頁（五）應(yīng)用題1幾何應(yīng)用

12、2物理應(yīng)用第34頁/共39頁關(guān)鍵量曲率： 3221yy u例10 在上半平面內(nèi)求一條凹的曲線，其上任一點P(x,y)處的曲率等于此曲線在該點的法線段PQ的長度的倒數(shù)（Q是法線與x軸的交點）且曲線在點(1,1)處的切線與x軸平行。u例11已知曲線y=y(x)(x0)過原點，位于x軸上方，且曲線上任一點M(x0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸，直線x=x0所圍成的面積與該點橫坐標的和，求此曲線方程。u例12 一曲線過原點，且曲線上任一點M(x,y)處的切線斜率在數(shù)值上等于從原點到點M的弧長，求該曲線方程。第35頁/共39頁（五）應(yīng)用題1幾何應(yīng)用2物理應(yīng)用第36頁/共39頁（五）應(yīng)用題1幾何應(yīng)用2物理應(yīng)用第37頁/共39頁u例13 一鏈條