高中數(shù)學選修簡單曲線的極坐標方程時PPT學習教案

1、會計學1高中數(shù)學選修簡單曲線的極坐標方程時高中數(shù)學選修簡單曲線的極坐標方程時3 3、極坐標與直角坐標的互化公式極坐標與直角坐標的互化公式復習復習1、極坐標系的四要素、極坐標系的四要素2 2、點與其極坐標一一對應的條件、點與其極坐標一一對應的條件極點；極軸；長度單位；角度單位極點；極軸；長度單位；角度單位及它的正方向。及它的正方向。)0(tan,222 xxyyx sin,cos yx)2 , 0, 0 第1頁/共34頁 2 2、已知極坐標系中兩點、已知極坐標系中兩點 如何求線段如何求線段|PQ|PQ|的長？的長？19| PQ),2, 2( Q推廣：極坐標系內(nèi)兩點推廣：極坐標系內(nèi)兩點 的距離公式

2、：的距離公式：),(),(2211 QP)cos(2|PQ|21212221 探索？探索？1 1、極坐標系中點的對稱關系、極坐標系中點的對稱關系? ? 關于極軸所在直線對稱的點為關于極軸所在直線對稱的點為, , 關于極點對稱的點為關于極點對稱的點為, (3,)6P第2頁/共34頁365ABOx四、拓展：四、拓展：54120 3第3頁/共34頁（2）在極坐標系中，與點關）在極坐標系中，與點關于極軸所在直線對稱點的極坐標是于極軸所在直線對稱點的極坐標是；)3, 3( （3）在極坐標系中，若等邊）在極坐標系中，若等邊ABC的的兩個頂點，則頂點兩個頂點，則頂點C的的坐標是。坐標是。)45, 2(),4

3、, 2( BA3,3332 3,2 3,-44或第4頁/共34頁xC(a,0)OMA(,)第5頁/共34頁2 ,( , )cos2 cos .(1)(0,), (2 ,0)(1)2OAOAaMOAOMAMRt AMOOMOAMOAaOAa 解：圓經(jīng)過極點 。設圓與極軸的另一個交點是 ，那么設為圓上除點 ，以外的任意一點，那么。在中即 可以驗證，點的坐標滿足等式的點都在這個圓上。等式，可以驗證，坐標適合滿足的條件，另一方面坐標就是圓上任意一點的極所以，等式) 1 (),() 1 (OC(a,0)AxM(,)第6頁/共34頁xOMA(,)1,C a1,C a12 cos()a第7頁/共34頁第8頁

4、/共34頁二 求曲線的極坐標方程的步驟：與直角坐標系里的情況一樣建系建系 （適當?shù)臉O坐標系）（適當?shù)臉O坐標系）設點設點 （設（設M M（ ，) )為要求方程的曲線上任意一點）為要求方程的曲線上任意一點）列等式（構(gòu)造列等式（構(gòu)造，利用三角形邊角關系的定理列關于，利用三角形邊角關系的定理列關于M M的等式）的等式） 將等式坐標化將等式坐標化化簡化簡 （此方程此方程f(,)=0即為曲線的方程）即為曲線的方程）第9頁/共34頁例例1、已知圓、已知圓O的半徑為的半徑為r，建立怎樣的極坐，建立怎樣的極坐標系，可以使圓的極坐標方程簡單？標系，可以使圓的極坐標方程簡單？xOrM第10頁/共34頁簡單。上比式合

5、時的極坐標方程在形顯然，使極點與圓心重即為圓上任意一點，則設都等于半徑何特征就是它們的極徑幾圖），那么圓上各點的為極軸建立坐標系（如出發(fā)的一條射線為極點，從解：如果以圓心) 1 (,),(.rrOMMrOO第11頁/共34頁5 3cos5sin已知一個圓的極坐標方程是，求在直角坐標系下圓心坐思考：標和半徑。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解： 兩邊同乘以 得即化為直角坐標為即所以圓心為半徑是你可以用極坐標方程直接來求嗎？你可以用極坐標方程直接來求嗎？第12頁/共34頁3110(cossin)10cos()2

6、26(5,),56解：原式可化為所以圓心為半徑為11( ,)(0)2 cos()aaaaO結(jié)論：圓心為半徑為 ，圓的極坐標方程為 ，此圓過極點 。5 3cos5sin已知一個圓的極坐標方程是 ，求圓心坐標和半徑。第13頁/共34頁 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2第14頁/共34頁解解:設設P(,)為圓周上任意一點為圓周上任意一點,如下圖所示如下圖所示,在在OCP中中,CP=r,OC=1,OP=.根據(jù)余弦定理根據(jù)余弦定理,得得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos(-1),即即r2=21+2-21cos(-1).也就是也就是2-21cos(-1)+

7、(21-r2)=0.這就是圓在極坐標系中的一般方程這就是圓在極坐標系中的一般方程.1:,A(85.,),3變式在極坐標平面上 求圓心半徑為 的圓的方程第15頁/共34頁1.以極坐標系中的點以極坐標系中的點(1,1)為圓心，為圓心，1為半徑的圓的方程是為半徑的圓的方程是( ) 1 12 21 12 24 42 24 42 2 sin.Dcos.Csin.Bcos.A方程是什么？化為直角坐標、曲線的極坐標方程sin424)2(22 yx第16頁/共34頁3cos()4、極坐標方程所表示的曲線是（ ）A、雙曲線、雙曲線 B、橢圓、橢圓 C、拋物線、拋物線 D、圓、圓D為半徑的圓。為圓心，以解：該方程

8、可以化為21)4,21()4cos(第17頁/共34頁41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：第18頁/共34頁410cos()3、圓 的圓心坐標是)0 , 5( 、A)3, 5(、B)3, 5(、C)32, 5(、D（ ）C5(2,)2A、寫出圓心在點處且過極點的圓的極坐標方程，并把它化成直角坐標方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解： 化為直角坐標系為即第19頁/共34頁2126:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圓圓試判斷兩圓的位置關系。所以兩圓相外切。半徑為，圓心半徑為圓心坐標方

9、程為解：將兩圓都化為直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC第20頁/共34頁78cosOCONON、從極點 作圓 ： 的弦，求的中點的軌跡方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4cosCrOCCMMONCMONM解：如圖，圓 的圓心半徑連結(jié)，是弦的中點所以，動點的軌跡方程是 第21頁/共34頁思考：思考：在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中過點過點(3,0)且與且與x軸垂直的直線方程為軸垂直的直線方程為 ;過點過點(2,3)且與且與y軸垂直的直線方程為軸垂直的直線方程為 x=3y=3四四 直線的極坐標方程：直線的極坐標方程：

10、第22頁/共34頁例例1：求過極點，傾斜角為求過極點，傾斜角為 的射線的極坐標方程。的射線的極坐標方程。4 oMx4 (0)4 第23頁/共34頁（2）求過極點，傾斜角為）求過極點，傾斜角為 的射線的極坐標方程。的射線的極坐標方程。54 5(0)4 （3）求過極點，傾斜角為）求過極點，傾斜角為 的直線的極坐標方程的直線的極坐標方程。4 (0)4 5(0)4 和和第24頁/共34頁 和前面的直角坐標系里直線方程的表示形和前面的直角坐標系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？方便，要用兩條射線組合而成

11、。原因在哪？0 為了彌補這個不足，可以考慮允許極徑可以為了彌補這個不足，可以考慮允許極徑可以取全體實數(shù)。則上面的直線的極坐標方程可取全體實數(shù)。則上面的直線的極坐標方程可以表示為以表示為()4R 或或5()4R 第25頁/共34頁例例2、求過點求過點A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的，且垂直于極軸的直線直線L的極坐標方程。（學生們先自己嘗試的極坐標方程。（學生們先自己嘗試做）做）解：如圖，建立極坐標系，設點解：如圖，建立極坐標系，設點( , )M ox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA即即cosa 可以驗證，點可以驗證，點A的坐標也滿足上式。的坐標也滿足上式。為直線為直線

12、L上除點上除點A外的任意一點，外的任意一點，連接連接OM交流做題心得歸納解題步驟：第26頁/共34頁求直線的極坐標方程步驟求直線的極坐標方程步驟1、據(jù)題意畫出草圖；、據(jù)題意畫出草圖；2、設點、設點 是直線上任意一點；是直線上任意一點；( , )M 3、連接、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關于、根據(jù)幾何條件建立關于 的方的方程，程， 并化簡；并化簡；, 5、檢驗并確認所得的方程即為所求。、檢驗并確認所得的方程即為所求。第27頁/共34頁 練習練習1求過點求過點A (a, /2)(a0)，且平行于，且平行于極軸的直線極軸的直線L的極坐標方程。的極坐標方程。解：如圖，建立極坐標系，解：如圖，建立極坐

13、標系，設點設點 為直線為直線L上除點上除點A外的任意一點，連接外的任意一點，連接OM( , )M 在在 中有中有 Rt MOA 即即可以驗證，點可以驗證，點A的坐標也滿足上式。的坐標也滿足上式。Mox A sin aIOMI sinAMO=IOAI第28頁/共34頁課堂練習課堂練習2 設點設點A的極坐標為的極坐標為 ，直線，直線 過點過點( ,0)a ll解：如圖，建立極坐標系，設點解：如圖，建立極坐標系，設點( , )M 為直線為直線 上異于上異于A點的任意一點，連接點的任意一點，連接OM，l在在 中，由正弦定理中，由正弦定理 得得MOA sin()sin()a 即即sin()sina顯然顯

14、然A點也滿足上方程點也滿足上方程A且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標方程。的極坐標方程?；喌没喌?oMx A第29頁/共34頁例例3：設點設點P的極坐標為的極坐標為 ，直線，直線 過點過點P且且與極軸所成的角為與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標方程。的極坐標方程。 11(,) lloxMP 1 1 A解：如圖，設點解：如圖，設點( , )M 的任意一點，連接的任意一點，連接OM，則，則,OMxOM1O P 1xO P 為直線上除點為直線上除點P外外由點由點P的極坐標知的極坐標知設直線設直線L與極軸交于點與極軸交于點A。則在。則在 中中MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin() 11sin()sin()顯然點顯然點P的坐標也是上式的解。的坐標也是上式的解。即即OMPOPOPMOMsinsin第30頁/共34頁練習練習3 求過點求過點P(4, /3)且與極