五年高考真題分類匯編第五章：數列

1、五年高考真題分類匯編：數列一.選擇題1.（2015重慶高考，理2）在等差數列中，若=4，=2，則=（）A、-1 B、0 C、1 D、6【解析】選B. 由等差數列的性質得.2.(2015福建高考，理8)若 是函數 的兩個不同的零點，且 這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【解析】選D. 由韋達定理得，則，當適當排序后成等比數列時，必為等比中項，故，當適當排序后成等差數列時，必不是等差中項，當是等差中項時，解得，；當是等差中項時，解得，綜上所述，所以3.(2015北京高考，理6)設是等差數列. 下列結論中正確的是（ ）A若，則 B若，則

2、C若，則 D若，則【解析】選C先分析四個答案支，A舉一反例，而，A錯誤，B舉同樣反例，而，B錯誤，下面針對C進行研究，是等差數列，若，則設公差為，則，數列各項均為正，由于，則.4.(2015浙江高考，理3)已知是等差數列，公差不為零，前項和是，若，成等比數列，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B.5.（2015新課標全國卷I，文7）已知是公差為1的等差數列，為的前項和，若，則（ ） （A） （B） （C） （D）【解析】選B. 公差，解得=，.6.（2014遼寧高考文科9）設等差數列的公差為,若數列為遞減數列,則【解題提示】 依照遞減數列的定義，得，再由指數函數性質得結合等差數列的定義即

3、可解決問題【解析】選D.由于數列為遞減數列，得，再由指數函數性質得，由等差數列的公差為知，所以7.（2014福建高考理科3）等差數列的前項和，若，則( ) 【解題指南】利用公式，聯(lián)系基本量建立方程求解【解析】C.由題，解得，所以8.（2014遼寧高考理科8）設等差數列的公差為,若數列為遞減數列,則【解題提示】 依照遞減數列的定義，得，再由指數函數性質得結合等差數列的定義即可解決問題【解析】選C.由于數列為遞減數列，得，再由指數函數性質得，由等差數列的公差為知，所以9. （2014遼寧高考文科9）設等差數列的公差為,若數列為遞減數列,則【解題提示】 依照遞減數列的定義，得，再由指數函數性質得結合

4、等差數列的定義即可解決問題【解析】選D.由于數列為遞減數列，得，再由指數函數性質得，由等差數列的公差為知，所以 10（2014重慶高考文科2）在等差數列中, 則 （ ）A. B. C. D.【解題提示】根據題設條件求出公差,進而可求出的值.【解析】選B.設公差為,因為所以解得 所以11. （2014天津高考文科5）設是首項為，公差為的等差數列，為其前n項和，若成等比數列，則=（ ）A.2 B.-2 C. D.【解析】選D.因為成等比數列，所以即，解得12. (2014新課標全國卷高考文科數學T5)等差數列的公差為2,若a2,a4,a8成等比數列,則的前n項和Sn= ()A.n(n+1) B.n

5、(n-1) C. D. 【解題提示】利用a2,a4,a8成等比數列求得公差,然后利用等差數列求和公式求和.【解析】選A.因為d=2,a2,a4,a8成等比,所以=a2a8,即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,a1=2.所以利用等差數列的求和公式可求得Sn=n(n+1).13.（2013福建高考理）已知等比數列an的公比為q，記bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，則以下結論一定正確的是 ()A數列bn為等差數列，公差為qmB數列bn為等比數列，公比為q2mC數列cn為等比數列，公比為qm2D數列cn為等比

6、數列，公比為qmm【解析】選C本題考查等比數列的定義與通項公式、等差數列前n項和的公式等基礎知識，意在考查考生轉化和化歸能力、公式應用能力和運算求解能力等比數列an的通項公式ana1qn1，所以cnam(n1)1am(n1)2am(n1)ma1qm(n1)a1qm(n1)1a1qm(n1)m1aqm(n1)m(n1)1m(n1)m1aqm2(n1)aqm2(n1)，因為qm2，所以數列cn為等比數列，公比為qm2.14（2013遼寧高考理）下面是關于公差d0的等差數列an的四個命題：p1：數列an是遞增數列；p2：數列nan是遞增數列；p3：數列是遞增數列；p4：數列an3nd是遞增數列其中的

7、真命題為 ()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p4【解析】選D本題主要考查等差數列的通項公式和數列單調性的判斷，意在以數列為載體，考查考生對一次函數、二次函數和反比例函數的掌握情況設ana1(n1)ddna1d，它是遞增數列，所以p1為真命題；若an3n12，則滿足已知，但nan3n212n并非遞增數列，所以p2為假命題；若ann1，則滿足已知，但1是遞減數列，所以p3為假命題；設an3nd4dna1d，它是遞增數列，所以p4為真命題15（2013新課標高考理）設等差數列an的前n項和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，則m ()A3 B4 C5 D6【解析】選C本題考查等差

8、數列的定義、通項公式和前n項和公式，意在考查考生通過等差數列的定義、通項公式、前n項和公式求解基本量的能力根據已知條件，得到am和am1，再根據等差數列的定義得到公差d，最后建立關于a1和m的方程組求解由Sm12，Sm0，Sm13，得amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差數列的公差為dam1am321， 由得解得選C.16（2013新課標高考理）設AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，AnBnCn的面積為Sn，n1,2,3，.若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，則 ()ASn為遞減數列B.Sn為遞增數列CS2n1為遞增數列，S2n為遞減數列DS2n1為遞減數列

9、，S2n為遞增數列【解析】選B本題考查三角形面積公式和歸納推理等知識，意在考查考生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，對考生的歸納推理能力、邏輯思維能力要求較高已知b1c1，b1c12a1，a2a1，故b2c1b1b1，c2b1c1c1，b2c2a12a1，b2c20，即b2c2，b2c2(b1c1)2b1c1b1c1.又a3a2a1，所以b3c2b2b2，c3b2c2c2，b3c32a22a1，b3c3c2b20，即b3c3，b3c3(b2c2)2b2c2b2c2b1c1.又AnBnCn的面積為Sn ，其中p(anbncn)，p(pan)和p2(bncn)p都為定值，bncn逐漸遞增，

10、所以數列Sn為遞增數列，選擇B.17（2013新課標高考理）等比數列an的前n項和為Sn.已知S3 a2 10a1 ，a59，則a1 () A. B C. D 【解析】選C本題考查等比數列的基本知識，包括等比數列的前n項和及通項公式，屬于基礎題，考查考生的基本運算能力由題知q1，則S3a1q10a1，得q29，又a5a1q49，則a1，故選C. 18（2013江西高考理）等比數列x,3x3,6x6，的第四項等于 ()A24 B0 C12 D24【解析】選A本題考查等比數列的通項以及等比數列的性質，意在考查考生的運算能力及對基礎知識的掌握情況由等比數列的前三項為x,3x3,6x6，可得(3x3)

11、2x(6x6)，解得x3或x1(此時3x30，不合題意，舍去)，故該等比數列的首項x3，公比q2，所以第四項為(6x6)q24.19（2013大綱卷高考理）已知數列an滿足3an1an0，a2，則an的前10項和等于 ()A6(1310) B.(1310)C3(1310) D3(1310)【解析】選C本題考查等比數列的定義和前n項和公式由3an1an0得an1an，所以an為等比數列，公比為，由a2得a14，所以由等比數列前n項和公式得S103(1310)，故選C.20（2013安徽高考理）設Sn為等差數列an的前n項和，S84a3，a72，則a9 ()A6 B4 C2 D2【解析】選A本題主

12、要考查等差數列的基礎知識和基本運算，意在考查考生的運算求解能力根據等差數列的定義和性質可得，S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.21（2013大綱卷高考理）已知數列an滿足 3an1an0，a2，則an的前10項和等于 ()A6(1310) B.(1310) C3(1310) D. 3(1310)【解析】選C本題主要考查等比數列的判定、等比數列的前n項和公式因為3an1an0，即，又a2，所以數列an是以a14為首項，q為公比的等比數列，所以S1031103(1310)22（2013新課標高考理）設首項為1，公比為的等比數列an的前n項和為Sn，則 ()

13、ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an【解析】選D本題主要考查等比數列的前n項和公式，對基本計算能力有一定要求由等比數列前n項和公式Sn，代入數據可得Sn32an.23（2013遼寧高考文）下面是關于公差d0的等差數列an的四個命題：p1：數列an是遞增數列；p2：數列nan是遞增數列；p3：數列是遞增數列；p4：數列an3nd是遞增數列其中的真命題為 ()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p4【解析】選D本題主要考查等差數列的通項公式和數列單調性的判斷，意在以數列為載體，考查考生對一次函數、二次函數和反比例函數的掌握情況設ana1(n1)ddna1d，它

14、是遞增數列，所以p1為真命題；若an3n12，則滿足已知，但nan3n212n并非遞增數列，所以p2為假命題；若ann1，則滿足已知，但1是遞減數列，所以p3為假命題；設an3nd4dna1d，它是遞增數列，所以p4為真命題24（2012重慶高考理）在等差數列an中，a21，a45，則an的前5項和S5 ()A7 B15 C20 D25【解析】選B 數列an的公差d2，則a11，a57，可得S515.25（2012遼寧高考理）在等差數列an中，已知a4a816，則該數列前11項和S11 ( )A58 B88 C143 D176【解析】選B 因為an是等差數列，所以a4a82a616a68，則該

15、數列的前11項和為S1111a688.26（2012四川高考理）設函數f(x)2xcos x，an是公差為的等差數列，f(a1)f(a2)f(a5)5，則f(a3)2a1a5 ()A0 B.2 C.2 D.2【解析】選D 設g(x)2xsin x，由已知等式得g(a1)g(a2)g(a5)0，則必有a30，即a3(否則若a30，則有(a1)(a5)(a2)(a4)2(a3)0，注意到g(x)是遞增的奇函數，g(a3)0，g(a1)g(a5)g(a5)，g(a1)g(a5)0，同理g(a2)g(a4)0，g(a1)g(a2)g(a5)0，這與“g(a1)g(a2)g(a5)0”相矛盾，因此a30

16、不可能；同理a30，a2a270，所以S1，S2，S50都是正數；當51n100，nN*時，同理S51，S52，S100也都是正數，所以正數的個數是100.28（2012大綱卷高考理）已知等差數列an的前n項和為Sn，a55，S515，則數列的前100項和為 ()A. B. C. D.【解析】選A 設數列an的公差為d，則a14d5，S55a1d15，得d1，a11，故an1(n1)1n，所以，所以S10011.29（2012湖北高考理）定義在(，0)(0，)上的函數f(x)，如果對于任意給定的等比數列an，f(an)仍是等比數列，則稱f(x)為“保等比數列函數”，現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上

17、的如下函數：f(x)x2; f(x)2x；f(x)； f(x)ln|x|.則其中是“保等比數列函數”的f(x)的序號為 ()A B C D【解析】選C 設等比數列an的公比為q，則a的公比為q2， 的公比為，其余的數列不是等比數列30（2012浙江高考理）設Sn是公差為d(d0)的無窮等差數列an的前n項和，則下列命題錯誤的是 ()A若d0，則數列Sn有最大項B若數列Sn有最大項，則d0C若數列Sn是遞增數列，則對任意nN*，均有Sn0D若對任意nN*，均有Sn0，則數列Sn是遞增數列【解析】選C A、B、D均正確，對于C，若首項為1，d2時就不成立31（2012福建高考理）等差數列an中，a

18、1a510，a47，則數列an的公差 ()A1 B2 C3 D4【解析】選B 在等差數列an中，a1a510，2a310，a35，又a47，所求的公差為2.32（2012安徽高考理）公比為2的等比數列an的各項都是正數，且a3a1116，則log2a10 ()A4 B5 C6 D7【解析】選B 由題意可知a3a11a16，因為an為正項等比數列，所以a74，所以log2a10log2(a723)log2255.33（2012新課標高考理）已知an為等比數列，a4a72，a5a68，則a1a10 ()A7 B5 C5 D7【解析】選D 設數列an的公比為q，由得或所以或所以或所以a1a107.3

19、4（2012湖北高考文）定義在(，0)(0，)上的函數f(x)，如果對于任意給定的等比數列an，f(an)仍是等比數列，則稱f(x)為“保等比數列函數”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.則其中是“保等比數列函數”的f(x)的序號為 ()A B C D【解析】選C 根據“保等比數列函數”的概念逐個判斷若an是等比數列，則a，也是等比數列，2an不一定是等比數列，ln|an|不一定是等比數列35（2012四川高考文）設函數f(x)(x3)3x1，an是公差不為0的等差數列，f(a1)f(a2)f(a7)14，則a1a2a7 ()A0

20、B7 C14 D21【解析】選D f(a1)f(a2)f(a7)(a13)3(a23)3(a73)3(a13)(a23)(a73)1414，(a13)3(a23)3(a73)3(a13)(a73)0.(a13)3(a23)3(a73)37(a43)0.(a13)3(a73)3(a1a76)(a13)2(a73)2(a13)(a73)2(a43)(a43)227d2，其中該數列公差為d.同理(a23)3(a63)32(a43)(a43)212d2，(a33)3(a53)32(a43)(a43)23d2(a13)3(a23)3(a73)37(a43)2(a43)(a43)227d22(a43)(a

21、43)212d22(a43)(a43)33d2(a43)37(a43)(a43)7(a43)284d270.d0，7(a43)284d270.a430，a43.a1a2a77a47321.36（2012遼寧高考文）在等差數列an中，已知a4a816，則a2a10 ()A12 B16 C20 D24【解析】選B 因為數列an是等差數列，所以a2a10a4a816.37（2012福建高考文）數列an的通項公式anncos ，其前n項和為Sn，則S2 012等于 ()A1 006 B2 012 C503 D0【解析】選A 由題意知，a1a2a3a42，a5a6a7a82，a4k1a4k2a4k3a4

22、k42，kN，故S2 01250321 006.38（2012安徽高考文）公比為2的等比數列an的各項都是正數，且a3a1116，則a5 ()A1 B2 C4 D8【解析】選A 因為a3a11a，又數列an的各項都是正數，所以解得a74，由a7a5224a5，求得a51.39（2012北京高考文）已知an為等比數列下面結論中正確的是 ()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，則a1a2 D若a3a1，則a4a2【解析】選B 設公比為q，對于選項A，當a10)，因為所有AnBn平行且a11，a22，所以S梯形AnBnBn1An1S梯形A1B1B2A23m，當n2時，故aa，aa，aa，aa，

23、以上各式累乘可得：a(3n2)a，因為a11，所以an.【答案】an65（2013重慶高考理）已知an是等差數列，a11，公差d0，Sn為其前n項和，若a1，a2，a5成等比數列，則S8_.【解析】本題考查等差、等比數列的基本量運算，意在考查考生的基本運算能力因為an為等差數列，且a1，a2，a5成等比數列，所以a1(a14d)(a1d)2，解得d2a12，所以S864.【答案】6466（2013新課標高考理）若數列an的前n項和Snan，則an的通項公式是an_.【解析】本題考查等比數列的定義、Sn與an之間的關系，意在考查考生利用分類討論思想和等比數列的定義求解an的能力求解本題時，按照n

24、1和n2兩種情況分類解答，當n2時，由已知得到Sn1an1，然后作差得an的表達形式，再利用等比數列的定義和通項公式求解當n1時，由已知Snan，得a1a1，即a11；當n2時，由已知得到Sn1an1，所以anSnSn1anan1, 所以an2an1，所以數列an為以1為首項，以2為公比的等比數列，所以an(2)n1.【答案】(2)n167. （2013新課標高考理）等差數列an的前n項和為Sn ，已知S100，S1525，則nSn 的最小值為_【解析】本題考查等差數列的前n項和公式以及通過轉化利用函數的單調性判斷數列的單調性等知識，對學生分析、轉化、計算等能力要求較高由已知解得a13，d，那

25、么nSnn2a1d.由于函數f(x)在x處取得極小值，因而檢驗n6時，6S648，而n7時，7S749.nSn 的最小值為49.【答案】4968（2013北京高考理）若等比數列an滿足a2a420，a3a540，則公比q_；前n項和Sn_.【解析】本題考查等比數列的通項公式和求和公式，考查方程思想以及考生的運算求解能力由題意知q2，又a2a420，故a1qa1q320，解得a12，所以Sn2n12.【答案】22n1269（2013廣東高考理）在等差數列an中，已知a3a810，則3a5a7_.【解析】本題主要考查等差數列，考查考生的運算能力利用等差數列的性質可快速求解因為a3a810，所以3a

26、5a72(a3a8)20.【答案】2070（2013湖北高考理）古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數如三角形數1,3,6,10，第n個三角形數為n2n.記第n個k邊形數為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：三角形數N(n,3)n2n，正方形數 N(n,4)n2，五邊形數 N(n,5)n2n，六邊形數 N(n,6)2n2n，可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)_.【解析】本題主要考查數列的相關知識，意在考查考生對等差數列的定義、通項公式的掌握程度N(n，k)akn2bkn(k3)，其中數列ak是以為首項，為公差的等差數列；數列bk是以為首項

27、，為公差的等差數列；所以N(n,24)11n210n，當n10時，N(10,24)1110210101 000.【答案】1 00071（2013北京高考文）若等比數列an滿足a2a420，a3a540，則公比q_；前n項和Sn_.【解析】本題主要考查等比數列的基礎知識，意在考查考生的計算能力由題知解得故Sn2n12.【答案】22n1272（2013重慶高考文）若2，a，b，c,9成等差數列，則ca_.【解析】本題主要考查等差數列的基本運算設公差為d，則d，所以ca2d.73（2013江蘇高考文）在正項等比數列an中，a5，a6a73.則滿足a1a2ana1a2an的最大正整數n的值為_【解析】

28、本題主要考查等比數列的基本性質，意在考查學生的運算能力設等比數列an的公比為q(q0)由a5，a6a73，可得(qq2)3，即q2q60，所以q2，所以an2n6，數列an的前n項和Sn2n525，所以a1a2an(a1an)2，由a1a2ana1a2an可得2n5252，由2n52，可求得n的最大值為12，而當n13時，2825213不成立，所以n的最大值為12.【答案】1274（2013江西高考文）某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數是前一天的2倍，則需要的最少天數n(nN*)等于_【解析】本題主要考查等比數列的概念與前n項和等基礎知識，考查實際建模的能力以

29、及分析、解決問題的能力設每天植樹的棵數組成的數列為an，由題意可知它是等比數列，且首項為2，公比為2，所以由題意可得100，即2n51，而2532,2664，nN*，所以n6.【答案】675（2013廣東高考文）設數列an是首項為1，公比為2的等比數列，則a1|a2|a3|a4|_.【解析】本題主要考查等比數列通項等知識，意在考查考生的運算求解能力依題意得a11，a22，a34，a48，所以a1|a2|a3|a4|15.【答案】1576（2013遼寧高考文）已知等比數列an是遞增數列，Sn是an的前n項和若a1，a3是方程x25x40的兩個根，則S6_.【解析】本題主要考查等比數列的性質、通項公式、求和公式，意在考查考生對等比數列公式的運用，以及等比數列性質的應用情況由題意得，a1a35，a1a34，由數列是遞增數列得，a11，a34，所以q2，代入等比數列的求和公式得S663.【答案】6377（2012廣東高考理）已知遞增的等差數列|an|滿足a11，a3a224，則an_.【解析】設等差數列an的公差為d，由已知得即解得由于等差數列an是遞增