《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程教學(xué)大綱

1、 讀書時(shí)，我愿在每一個(gè)美好思想的面前停留，就像在每一條真理面前停留一樣。愛(ài)默生實(shí)變函數(shù)與泛函分析課程教學(xué)大綱一、課程基本信息課程代碼：110047課程名稱：實(shí)變函數(shù)與泛函分析英文名稱：Real variable analysis And Functional analysis課程類別：專業(yè)基礎(chǔ)課學(xué) 時(shí)：50學(xué)分：3適用對(duì)象：信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科考核方式：考試，平時(shí)成績(jī)30，期末成績(jī)70先修課程：數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)二、課程簡(jiǎn)介中文簡(jiǎn)介：實(shí)變函數(shù)起源于對(duì)連續(xù)而不可微函數(shù)以及Riemann可積函數(shù)等的透徹研究，在點(diǎn)集論的基礎(chǔ)上討論分析數(shù)學(xué)中一些最基本的概念和性質(zhì)，其主要內(nèi)容是引入Lebesgue積

2、分并克服了Riemann積分的不足。它是數(shù)學(xué)分析的繼續(xù)、深化和推廣，是一門培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要課程，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。泛函分析起源于經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理邊值問(wèn)題和變分問(wèn)題，同時(shí)概括了經(jīng)典分析的許多重要概念，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的分支，它綜合運(yùn)用了分析、代數(shù)與幾何的觀點(diǎn)和方法研究、分析數(shù)學(xué)和工程問(wèn)題，其理論與方法具有高度概括性和廣泛應(yīng)用性的特點(diǎn)。 英文簡(jiǎn)介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields

3、 such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis thinking and reasoni

4、ng.三、課程性質(zhì)與教學(xué)目的本課程是在實(shí)變函數(shù)與泛函分析基本理論的基礎(chǔ)上，著重泛函分析的應(yīng)用，教學(xué)的目的是豐富學(xué)生的知識(shí)和培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本課程就其實(shí)質(zhì)來(lái)說(shuō)是方法性的，但對(duì)于應(yīng)用學(xué)科的學(xué)生來(lái)說(shuō)，作為授課的目的，則是知識(shí)性的，故在教學(xué)方法和內(nèi)容的選擇上來(lái)說(shuō)，只能讓學(xué)生了解那些體現(xiàn)實(shí)變函數(shù)與泛函分析基本特征的思想內(nèi)容，冗難的證明過(guò)程應(yīng)盡量避免。本課程要求如下：1. 理解和掌握集合間的關(guān)系和集與映射間的關(guān)系，了解度量空間的相關(guān)概念和Lebesgue可測(cè)集的有關(guān)內(nèi)容和性質(zhì)。2. 了解可測(cè)函數(shù)的概念，構(gòu)造，以及函數(shù)列的收斂性質(zhì)。3. 了解Lebesgue積分的概念，掌握收斂定理。4. 理解賦

5、范線性空間和內(nèi)積空間的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。5. 理解線性算子理論和有界線性泛函理論，了解三個(gè)基本定理。四、教學(xué)內(nèi)容及要求 第一章 集合與測(cè)度（一） 目的與要求1 使學(xué)生認(rèn)識(shí)集族的交并關(guān)系，映射及其性質(zhì)，集的對(duì)等，可數(shù)集合，度量空間的概念和度量空間中的點(diǎn)集，直線上的測(cè)度和可測(cè)集，Lebesgue測(cè)度及相關(guān)理論；2 本章要求學(xué)生了解集族的交并關(guān)系，了解度量空間的概念和測(cè)度及可測(cè)集的概念。（二） 教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 集合與映射1 主要內(nèi)容 集族的交并關(guān)系，映射及其性質(zhì)，集的對(duì)等。2 基本概念和知識(shí)點(diǎn) 集族的交并關(guān)系，映射，集的對(duì)等，可數(shù)集合。3 問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求）了解集族的交并關(guān)系，理解映射，集的對(duì)等，可

6、數(shù)集合。 第二節(jié) 度量空間1 主要內(nèi)容 度量空間的概念，度量空間中的點(diǎn)集。2 基本概念和知識(shí)點(diǎn) 度量空間，收斂性，度量空間的拓?fù)洹? 問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求）理解度量空間的概念，理解度量空間的拓?fù)洌ò擞嘘P(guān)概念）。第三節(jié) Lebesgue可測(cè)集1 主要內(nèi)容 直線上點(diǎn)集的構(gòu)造，Cantor三分集，Lebesgue可測(cè)集及測(cè)度的相關(guān)性質(zhì)。2 基本概念和知識(shí)點(diǎn) 構(gòu)造區(qū)間，Cantor三分集，Lebesgue可測(cè)集，型集和型集。3 問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 了解直線上點(diǎn)集的構(gòu)造區(qū)間，熟悉Cantor三分集，了解Lebesgue可測(cè)集，型集和型集。（三） 課后練習(xí) 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習(xí) P19之

7、1，2，3，6，8。 第二節(jié)課后練習(xí) P20之9，11，13，14，16，17；抄題18-28。 第三節(jié)課后練習(xí) P20之2932，36，37；抄題36，37。（四） 教學(xué)方法與手段本章教學(xué)主要采用課堂講授的方法。 第二章 可測(cè)函數(shù)（一）目的與要求要讓學(xué)生理解簡(jiǎn)單函數(shù)和可測(cè)函數(shù)，了解可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)和構(gòu)造，了解可測(cè)函數(shù)列的極限。（二）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 簡(jiǎn)單函數(shù)與可測(cè)函數(shù)1 主要內(nèi)容 簡(jiǎn)單函數(shù)，簡(jiǎn)單函數(shù)的表示和運(yùn)算，可測(cè)函數(shù)，可測(cè)函數(shù)的判定。2 基本概念和知識(shí)點(diǎn) 簡(jiǎn)單函數(shù)，可測(cè)函數(shù)。3 問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 了解簡(jiǎn)單函數(shù)及其表示和運(yùn)算，理解可測(cè)函數(shù)的概念。 第二節(jié) 可測(cè)函數(shù)的性質(zhì) 1主要內(nèi)容 可測(cè)

8、函數(shù)的運(yùn)算，可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造，Lusin定理。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 可測(cè)函數(shù)的運(yùn)算，可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造，Lusin定理。 3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 了解可測(cè)函數(shù)的運(yùn)算，了解可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造，理解Lusin定理。 第三節(jié) 可測(cè)函數(shù)列的收斂性 1主要內(nèi)容 Egoroff定理，依測(cè)度收斂概念，Lebesgue定理，Riesz定理。 2基本概念和知識(shí)點(diǎn) Egoroff定理，依測(cè)度收斂概念，Lebesgue定理，Riesz定理。 3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 了解三個(gè)定理和依測(cè)度收斂的概念。（三）課后練習(xí) 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習(xí) P38之2，3，6；抄題 第二節(jié)課后練習(xí) P38之7；抄題 10，12，13，1

9、4。 第三節(jié)課后練習(xí) P38之23；抄題 25，26，27。（四）教學(xué)方法與手段 本章教學(xué)主要采用課堂講授的方法。 第三章 Lebesgue積分（一）目的與要求 1本章介紹Lebesgue積分的概念與性質(zhì)，積分收斂定理，Lebesgue積分與Riemann積分的關(guān)系，積分與微分， Fubini定理； 2要求學(xué)生理解Lebesgue積分的概念與性質(zhì)，掌握Fubini定理。（二）教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) Lebesgue積分的概念與性質(zhì)1主要內(nèi)容 逐步講解了可測(cè)函數(shù)的積分，區(qū)分有積分和可積性，講解了積分的性質(zhì)。 讀書時(shí)，我愿在每一個(gè)美好思想的面前停留，就像在每一條真理面前停留一樣。愛(ài)默生2基本概念和知識(shí)點(diǎn)

10、 有積分和可積性，積分的性質(zhì)。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 了解積分的定義，了解積分的性質(zhì)。 第二節(jié) 積分收斂定理1主要內(nèi)容 Levi定理，F(xiàn)atou定理，逐項(xiàng)積分定理，Lebesgue控制收斂定理。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) Levi定理，F(xiàn)atou定理，逐項(xiàng)積分定理，Lebesgue控制收斂定理。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 理解四個(gè)定理的作用。 第三節(jié) Lebesgue積分與Riemann積分的關(guān)系1主要內(nèi)容 定理3.21和定理3.22，給出了Riemann可積的充要條件。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 定理3.21和定理3.22。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 了解定理3.21和定理3.22的內(nèi)容。 第四節(jié) 積分與微分

11、1主要內(nèi)容 講解有界變差函數(shù)和絕對(duì)連續(xù)函數(shù)及相互關(guān)系。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 有界變差函數(shù)，絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 了解有界變差函數(shù)和它的表示，理解絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的作用。第五節(jié) Fubini定理1主要內(nèi)容 講解重積分交換積分次序的Fubini定理。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) Fubini定理。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 了解L及其上的測(cè)度，了解重積分和交換積分次序的Fubini定理。（三）課后練習(xí) 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習(xí) P68之1，2，3；抄題 5，6。 第二節(jié)課后練習(xí) P69之10，11；抄題 7，8，9。 第三節(jié)課后練習(xí) P69之12；抄題 第四節(jié)課后練習(xí) P69之18；抄題 1

12、9，24，26。 第五節(jié)課后練習(xí) P69之；抄題 （四）教學(xué)方法與手段 本章教學(xué)主要采用課堂講授的方法。 第四章 線性賦范空間（一）目的與要求 本章介紹線性賦范空間的各有關(guān)知識(shí)和概念，包括收斂性，完備性，列緊性，不動(dòng)點(diǎn)定理和拓?fù)淇臻g簡(jiǎn)介。（二）教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 線性空間1主要內(nèi)容 介紹了線性空間，基和維數(shù)，子空間和凸集，空間的同構(gòu)。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 線性空間，基和維數(shù)，子空間和凸集，空間的同構(gòu)。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 認(rèn)識(shí)無(wú)窮維空間和凸集。 第二節(jié) 線性賦范空間1主要內(nèi)容 范數(shù)，距離，H?lder不等式和Minkowski不等式。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 范數(shù)，距離，例，H?lder不等式和Mi

13、nkowski不等式。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求）理解線性空間的范數(shù)，距離，掌握H?lder不等式和Minkowski不等式。第三節(jié) 線性賦范空間中的收斂1主要內(nèi)容 講解收斂點(diǎn)列，等價(jià)范數(shù)，連續(xù)映射，稠密性和可分空間。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 收斂點(diǎn)列，等價(jià)范數(shù)，連續(xù)映射，稠密性和可分空間。 3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 理解收斂點(diǎn)列，等價(jià)范數(shù)，連續(xù)映射，稠密性和可分空間。第四節(jié) 空間的完備性1主要內(nèi)容 講解Cauchy列，Banach空間，子空間的完備性和賦范線性空間的完備化。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) Cauchy列，Banach空間，子空間的完備性，賦范線性空間的完備化。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 理解Cauc

14、hy列，Banach空間，子空間的完備性，掌握賦范線性空間的完備化和嵌入過(guò)程。第五節(jié) 列緊性與有限維空間1主要內(nèi)容 講解列緊的概念和性質(zhì)，有限維空間的特征和Riesz引理。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 列緊性，Riesz引理。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 理解集的列緊性，掌握Riesz引理。第六節(jié) 不動(dòng)點(diǎn)定理1主要內(nèi)容 講解Banach壓縮映像原理，Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) Banach壓縮映像原理，Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 理解Banach壓縮映像原理，了解Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理和Schauder不動(dòng)點(diǎn)

15、定理及其應(yīng)用。第七節(jié) 拓?fù)淇臻g簡(jiǎn)介1主要內(nèi)容 講解開(kāi)集，閉集，鄰域，拓?fù)洹?基本概念和知識(shí)點(diǎn) 開(kāi)集，閉集，鄰域，拓?fù)?，極限點(diǎn)。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 理解開(kāi)集，閉集，鄰域，拓?fù)?，極限點(diǎn)。 （三）課后練習(xí) 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習(xí) P95之1；抄題 第二節(jié)課后練習(xí) P95之2；抄題 第三節(jié)課后練習(xí) P95之4；抄題 第四節(jié)課后練習(xí) P95之3；抄題 第五節(jié)課后練習(xí) P95之8；抄題 讀書時(shí)，我愿在每一個(gè)美好思想的面前停留，就像在每一條真理面前停留一樣。愛(ài)默生 第六節(jié)課后練習(xí) P95之10；抄題 第七節(jié)課后練習(xí) （四）教學(xué)方法與手段 本章教學(xué)主要采用課堂講授的方法。 第五章 內(nèi)積空間（一）

16、目的與要求 1本章講解內(nèi)積空間與Hilbert空間，正交與正交補(bǔ)，正交分解定理，內(nèi)積空間中的Fourier級(jí)數(shù)； 2要求學(xué)生理解內(nèi)積和內(nèi)積空間的定義，理解Hilbert空間，了解正交與正交補(bǔ)，了解正交分解定理，了解內(nèi)積空間中的Fourier級(jí)數(shù)。（二）教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 內(nèi)積空間與Hilbert空間1主要內(nèi)容 講解內(nèi)積和內(nèi)積空間，常見(jiàn)Hilbert空間。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 內(nèi)積，內(nèi)積空間，Hilbert空間。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 理解內(nèi)積和內(nèi)積空間的定義，理解Hilber空間，了解幾個(gè)常見(jiàn)Hilbert空間。 第二節(jié) 正交與正交補(bǔ)1主要內(nèi)容 講解正交的概念，講解子空間的正交補(bǔ)概念。2基本概念

17、和知識(shí)點(diǎn) 正交，正交補(bǔ)。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 了解正交性和子空間的正交補(bǔ)。第三節(jié) 正交分解定理1主要內(nèi)容 講解變分引理和正交分解定理。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 變分引理，正交分解定理。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 了解變分引理和正交分解定理。第四節(jié) 內(nèi)積空間中的Fourier級(jí)數(shù)1主要內(nèi)容 講解正交化方法和過(guò)程，講解Fourier級(jí)數(shù)。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 正交化方法， Fourier級(jí)數(shù)。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 了解正交化方法和Fourier級(jí)數(shù)。 （三）課后練習(xí) 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習(xí) P107之4，5；抄題 第二節(jié)課后練習(xí) P106之1，2，3；抄題 第三節(jié)課后練習(xí) P107之5，6，

18、7；抄題第四節(jié)課后練習(xí) P107之9，10；抄題 （四）教學(xué)方法與手段本章教學(xué)主要采用課堂講授的方法。 第六章 有界線性算子與有界線性泛函（一）目的與要求 1本章介紹空間的有界線性算子，泛函三大定理，共軛空間與共軛算子以及幾種收斂性； 2要求學(xué)生理解有界線性算子的概念，共軛空間與共軛算子的概念，以及幾種收斂性，理解泛函三大定理。（二）教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 有界線性算子1主要內(nèi)容 講解線性算子和線性泛函，連續(xù)性與有界性，算子范數(shù)和算子空間。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 線性算子和線性泛函，連續(xù)性與有界性，算子范數(shù)和算子空間。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 理解線性算子和線性泛函的概念，理解連續(xù)性與有界性的等價(jià)，理解

19、算子范數(shù)和算子空間。 第二節(jié) 三大定理1主要內(nèi)容 講解開(kāi)映射定理和逆算子定理，共鳴定理和Hahn-Banach定理。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 映射定理和逆算子定理，共鳴定理，Hahn-Banach定理。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 理解三大定理的內(nèi)容。 第三節(jié) 共軛空間與共軛算子1主要內(nèi)容 講解共軛空間的概念及幾個(gè)共軛空間，共軛算子，Riesz表示定理，Hilbert空間上的共軛算子。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 共軛空間，共軛算子，Riesz表示定理，Hilbert空間上的共軛算子。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 理解共軛空間，共軛算子，Riesz表示定理，Hilbert空間的共軛算子。 第四節(jié) 幾種收斂性1主要內(nèi)容 講解強(qiáng)收斂性，弱收斂性。2基本概念和知識(shí)點(diǎn) 強(qiáng)收斂，弱收斂，泛函序列的收斂性。3問(wèn)題與應(yīng)用（能力要求） 理解強(qiáng)收斂性，弱收斂性，泛函序列的收斂性。 （三）課后練習(xí) 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習(xí) P137之1，2