特殊的平行四邊形_菱形

1、2.2.特殊的平行四邊形特殊的平行四邊形菱形菱形 w什么樣的圖形叫做菱形什么樣的圖形叫做菱形? ?菱形的定義菱形的定義: :一組鄰邊相等的平行四邊形一組鄰邊相等的平行四邊形 叫做菱形。叫做菱形。w菱形有哪些性質(zhì)菱形有哪些性質(zhì)? ? 想一想想一想w定理定理: :菱形的四條邊都相等菱形的四條邊都相等w定理定理: :菱形的對角線互相垂直菱形的對角線互相垂直, ,并且每條對角線并且每條對角線平分一組對角平分一組對角具有平行四邊形的一切性質(zhì)具有平行四邊形的一切性質(zhì)菱形既是軸對稱圖形菱形既是軸對稱圖形, ,又是中心對稱圖形又是中心對稱圖形。菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)w定理定理: :菱形的四條邊都相等菱形的四條邊

2、都相等. .已知已知: :如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .證明證明: : 四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形, ,AB=AD,AB=AD,四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形. .AB=CD,AD=BC.AB=CD,AD=BC.求證求證:AB=BC=CD=DA.:AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=AD.AB=BC=CD=AD.C CB BD DA Aw定理定理: :菱形的兩條對角線互相垂直菱形的兩條對角線互相垂直, ,并且每條對角并且每條對角 線平分一組對角線平分一組對角. .已知已知: :如圖如圖,AC,BD,AC,BD是菱形是菱形

3、ABCDABCD的兩條對角線的兩條對角線,AC,BD,AC,BD相相 交于點交于點O.O.求證求證: (1).ACBD;: (1).ACBD; (2).AC (2).AC平分平分BADBAD和和BCD,BCD, BD BD平分平分ADCADC和和ABC. ABC. D DB BC CA AO O 證明：證明：四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形 ABAD(菱形的四條邊都相等菱形的四條邊都相等) OBOD(菱形的對角線互相平分菱形的對角線互相平分) ACBD，AC平分平分BAD，(等腰三角形頂角的平分等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合) 同理

4、同理 AC平分平分BCD， BD平分平分ABC和和ADC菱形的菱形的 兩條對角線互相平分兩條對角線互相平分菱形的兩組對邊平行且相等菱形的兩組對邊平行且相等邊邊對角線對角線角角數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)語言菱形的四條邊相等菱形的四條邊相等菱形的兩組對角分別相等菱形的兩組對角分別相等菱形的鄰角互補(bǔ)菱形的鄰角互補(bǔ)菱形的兩條對角線互相垂直平分，菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。并且每一條對角線平分一組對角。四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形 = AD BC AB CD= AB=BC=CD=DAADCBO DAC=BAC DCA=BCA ADB=CDB ABD=CBD ACBD OA=OC;O

5、B=OD DAB=DCB ADC=ABC DAB+ABC= 180 【菱形的面積公式【菱形的面積公式】菱形是菱形是特殊的平行四邊形特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形的面積嗎面積公式計算菱形的面積嗎?菱形ABCDOES菱形=BCAE思考思考:計算菱形的面積除了上式方法外計算菱形的面積除了上式方法外,利利用對角線能用對角線能 計算菱形的面積公式嗎計算菱形的面積公式嗎? 21ABCD=SABD+SBCD= ACBD S菱形菱形面積：面積：S菱形菱形=底底高高=對角線乘積的一半對角線乘積的一半為什么為什么? ABCD例例1 1 如圖，菱形花壇如圖，菱形花壇A

6、BCDABCD的邊長為的邊長為20m20m， ABCABC6060度，沿著菱形的對角線修建了度，沿著菱形的對角線修建了兩條小路兩條小路ACAC和和BDBD，求兩條小路的長和花，求兩條小路的長和花壇的面積（分別精確到壇的面積（分別精確到0.01m0.01m和和0.01m 0.01m ）OOw例例1.1.已知已知: :如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD是邊長為是邊長為13cm13cm的菱形的菱形, ,其中對角線其中對角線BDBD長長10cm.10cm.求求:(1).:(1).對角線對角線ACAC的長度的長度; ; (2). (2).菱形菱形ABCDABCD的面積的面積. .解解:(1):(

7、1) 四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形, , AE=CE BE= AE=CE BE= =2=2ABDABD的面積的面積.5102121cmBDDEACBD AED=90AED=900 0, ,在在RtRtAED中中,由勾股定理得由勾股定理得:(2)(2)菱形菱形ABCDABCD的面積的面積= =ABDABD的面積的面積+ +CBDCBD的面積的面積.122521322cmDEADAEAC=2AE=2AC=2AE=212=24(cm).12=24(cm).AEBD 212D DB BC CA AE E.12012102122cm菱形的面積等于兩條菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半對角線乘

8、積的一半菱形的判別方法菱形的判別方法: :n一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形. .n四條邊都相等的四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形. .n對角線互相垂直的平行四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形. .n 對角線互相垂直平分的四邊形是菱形對角線互相垂直平分的四邊形是菱形. .怎樣判別一個四邊形怎樣判別一個四邊形( (平行四邊形平行四邊形) )是菱形是菱形? ?一、選擇題：一、選擇題：1.1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ） A.A.對角相等對角相等B.B.對邊相等對邊相等 C.C.對角線互相垂直對角線互

9、相垂直D.D.對角線相等對角線相等2. 2. 下列命題正確的是（下列命題正確的是（ ） A A 、兩鄰邊相等的四邊形是菱形、兩鄰邊相等的四邊形是菱形 B B、一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形是菱形、一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形是菱形 C C、對角線垂直且一組鄰邊相等的四邊形是菱形、對角線垂直且一組鄰邊相等的四邊形是菱形 D D、對角線垂直的四邊形是菱形、對角線垂直的四邊形是菱形3. 3. 在菱形在菱形ABCDABCD中中, ,若若ADC=120ADC=120, ,則則BD:ACBD:AC等于等于 ( )( ) A. 1:2 B.1 :3 C. A. 1:2 B.1 :3 C. ：1 D

10、. 11 D. 1：4. 4. 菱形菱形ABCDABCD中中,AEBC,AEBC于于E, E, 若若S S菱形菱形ABCD=24,ABCD=24, 則則AE=6,AE=6,則菱形則菱形ABCDABCD的邊長為的邊長為 ( () ) A. 4 B A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 . 5 C. 6 D. 7 33CBDA6.6.（20102010年懷化市）如圖，在菱形年懷化市）如圖，在菱形ABCDABCD中，中，對角線對角線AC=4AC=4，BAD=120BAD=120，則菱形則菱形ABCDABCD的周長為（的周長為（ ）A A20 B20 B18 C18 C16 D16 D15155.5

11、.（20102010年天津市）下列命題中年天津市）下列命題中正確正確的是（的是（ ）（A A）對角線相等的四邊形是菱形）對角線相等的四邊形是菱形 （B B）對角線互相垂直的四邊形是菱形）對角線互相垂直的四邊形是菱形（C C）對角線相等的平行四邊形是菱形）對角線相等的平行四邊形是菱形（D D）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形452AOCOC ，(2 1)，(12 )，(211) ，(121)， 7.7.（20092009年長春）年長春）菱形菱形 OABC OABC 在平面直角坐標(biāo)系中的在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，位置如圖所示， 則點則點B B 的坐標(biāo)為（的

12、坐標(biāo)為（ ） A B.C. D.xyOCBADCCEF二、填空：二、填空：1.1. （20092009年天津市）年天津市）我們把依次連接任意一個我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形若一個四邊形若一個四邊形ABCD的中點四邊形是一個菱形，的中點四邊形是一個菱形，則四邊形則四邊形ABCD需滿足條件需滿足條件 ABCHDEFG2.菱形的兩條對角線長之比是菱形的兩條對角線長之比是5：3，它們的差是，它們的差是4厘米，厘米，則這個菱形的面積是則這個菱形的面積是 3.已知菱形已知菱形ABCD的兩條對角線的兩條對角線AC與與BD相交于點相交于

13、點O,且且AC=8cm,BD=6cm，則菱形的周長，則菱形的周長= 面積面積= AC=BD3020 244. 已知菱形已知菱形ABCD中中,AEBC于于E,AFCD于于F,你能判斷你能判斷AE與與AF的關(guān)系嗎？的關(guān)系嗎？ABCDEF5.（2010珠海）珠海）如圖，如圖，P P是菱形是菱形ABCDABCD對角線對角線BDBD上一點，上一點，PEABPEAB于點于點E E，PEPE4cm4cm，則點則點P到到BC的距離是的距離是_cm. 4相等相等(2010湖北省荊門市湖北省荊門市) (本題滿分本題滿分9分分)將三角形紙片將三角形紙片ABC(ABAC)沿過點沿過點A的直線折疊，使得的直線折疊，使得

14、AC落在落在AB邊邊上，折痕為上，折痕為AD，展平紙片，如圖，展平紙片，如圖(1)；再次折疊該三角形；再次折疊該三角形紙片，使得點紙片，使得點A與點與點D重合，折痕為重合，折痕為EF，再次展平后連接，再次展平后連接DE、DF，如圖，如圖2，證明：四邊形，證明：四邊形AEDF是菱形是菱形 (1) (2)?A?B?D?C?C?D?B?F?A?E 4 3 2 1?E?A?F?B?D?C?C?D?B?A證明：由第一次折疊可知：證明：由第一次折疊可知：AD為為CAB的平分線，的平分線， 12 2分分 由第二次折疊可知：由第二次折疊可知：CABEDF， 34 4分分 AD是公共邊，是公共邊， AED AF

15、D(ASA)6分分 AEAF，DEDF 又由第二次折疊可知：又由第二次折疊可知：AEED，AFDF AEEDDFAF 8分分 AEDF是菱形是菱形 9分分 將將ABC變?yōu)榈妊苯亲優(yōu)榈妊苯茿BC, B= 90 其他條件不變，其他條件不變，若若BC=2,求求CD的長的長. O F E D C B A4321提示：設(shè)提示：設(shè)CD=DF=DE=xBD=BE=2-xRtBDE中中2(2 x x)2 =x x2菱形是特殊的平行四邊形，它有什么性質(zhì)？菱形是特殊的平行四邊形，它有什么性質(zhì)？邊：對邊平行；鄰邊相等；四條邊都相等邊：對邊平行；鄰邊相等；四條邊都相等角：對角相等、鄰角互外角：對角相等、鄰角互外對

16、角線：對角線互相平分，互相垂直，對角線：對角線互相平分，互相垂直， 每條對角線平分一組對角每條對角線平分一組對角菱形是軸對稱圖形菱形是軸對稱圖形, ,是中心對稱圖形。是中心對稱圖形。菱形常用的判定方法菱形常用的判定方法：1 1一組鄰邊相等的一組鄰邊相等的平行四邊形平行四邊形 2 2四條邊相等的四條邊相等的四邊形四邊形 3 3對角線互相垂直的對角線互相垂直的平行四邊形平行四邊形 4.4.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形對角線互相垂直平分的四邊形是菱形本課本課 小結(jié)小結(jié)獨立獨立作業(yè)作業(yè)P99習(xí)題3.5 2,3題. 祝你成功！探究：如圖，以探究：如圖，以ABCABC的三邊為邊在的三邊為邊在BCBC的

17、同側(cè)分別作三的同側(cè)分別作三個等邊三角形，即個等邊三角形，即ABDABD、BCEBCE、ACFACF，請回答下列，請回答下列問題：問題：（1 1）四邊形）四邊形ADEFADEF是什么四邊形？是什么四邊形？ （2 2）當(dāng)）當(dāng)ABCABC滿足什么條件時，四邊形滿足什么條件時，四邊形ADEFADEF是菱形？是菱形？（3 3）當(dāng)）當(dāng)ABCABC滿足什么條件時，以滿足什么條件時，以A A、D D、E E、F F為頂點為頂點的四邊形不存在的四邊形不存在ABCDEF123結(jié)束寄語結(jié)束寄語嚴(yán)格性之于數(shù)學(xué)家嚴(yán)格性之于數(shù)學(xué)家, ,猶如道德猶如道德之于人之于人. .條理清晰，因果相應(yīng)條理清晰，因果相應(yīng), ,言必有言必

18、有據(jù)據(jù). .是初學(xué)證明者謹(jǐn)記和遵循是初學(xué)證明者謹(jǐn)記和遵循的原則的原則. .下課了下課了! !（2010年安徽）如圖，年安徽）如圖，ADFE，點，點B、C在在AD上，上， 12，BFBC求證：四邊形求證：四邊形BCEF是菱形是菱形若若ABBCCD，求證：，求證：ACF BDE特殊的性質(zhì)特殊的性質(zhì)w定理定理: :菱形的四條邊都相等菱形的四條邊都相等w定理定理: :菱形的對角線互相垂直菱形的對角線互相垂直, ,并且每條對角線平并且每條對角線平w 分一組對角分一組對角菱形的判別方法菱形的判別方法: :n一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形. .n四條邊都相等的四邊形是菱形四條邊

19、都相等的四邊形是菱形. .n對角線互相垂直的平行四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形. .n 對角線互相垂直平分的四邊形是菱形對角線互相垂直平分的四邊形是菱形. .本課本課 小結(jié)小結(jié)ABCB?DEP52（2010年連云港）年連云港）矩形紙片矩形紙片ABCD中，中，AB3，AD4，將紙片折疊，使點將紙片折疊，使點B落在邊落在邊CD上的上的B處，折痕為處，折痕為AE在在折痕折痕AE上存在一點上存在一點P到邊到邊CD的距離與到點的距離與到點B的距離相等，的距離相等，則此相等距離為則此相等距離為_答案答案 學(xué)以致用學(xué)以致用EFDABC已知，已知，ADAD是是ABCABC的角平分的角平分線，線，

20、DEACDEAC交交ABAB于點于點E E，DFABDFAB交交ACAC于點于點F F。求證：四邊形求證：四邊形AEDFAEDF是菱形。是菱形。 證明證明: :DEDEAAC,DFC,DFABAB, ,四邊形四邊形AEDFAEDF是平行四邊形是平行四邊形DEDEACAC, ,平行四邊形平行四邊形AEDFAEDF是菱形是菱形. .ADE=DAF.ADE=DAF.ADAD是是ABCABC的角平分線的角平分線, , DAE=DAF.DAE=DAF.AE=EDAE=ED. .DAE=ADE.DAE=ADE. 學(xué)以致用學(xué)以致用已知菱形已知菱形ABCDABCD中，中，E E、F F分別是分別是CBCB、CDCD上的點，上的點，且且BE=DFBE=DF。求證：求證： AEF=AF