從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)-文檔資料

1、12.6 從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）系統(tǒng)動態(tài)方程和系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）是控制系統(tǒng)兩種經(jīng)常使用的數(shù)學模型。動態(tài)方程不但體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入輸出的關系，而且還清楚地表達了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的關系。相比較，傳遞函數(shù)只體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入與輸出的關系。我們已知道，從傳遞函數(shù)到動態(tài)方程是個系統(tǒng)實現(xiàn)的問題，這是一個比較復雜的并且是非唯一的過程。但從動態(tài)方程到傳遞函數(shù)（陣）卻是一個唯一的、比較簡單的過程。2已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 式中 x x(t)系統(tǒng)n維狀態(tài)向量；u u(t)系統(tǒng)r維輸入向量；y y(t)系統(tǒng)m維輸出向量。 )()()()()()(ttttttDuCx

2、yBuAxx 3)()()()()()0()(ssssssDUCXYBUAXxsX)()()()()()(1ssssssBUAIXBUAXsX1Y( )C( IA) BDU( )( )U( )sssW ss 對上式兩端取拉氏變換，可得設初始條件x(0)=0，則有1( )C( IA) BDW ss 式中, ， mr 維。傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣4111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )rrmmmrwswswswswswsW swswsws W(S)為一個mr的傳遞函數(shù)陣，即：其中，wij(s)為一標量傳遞函數(shù)，它表示第j個系統(tǒng)輸入 對第i個系統(tǒng)輸出的傳遞作

3、用。51adj()( )()|IAcIAbcbIAsW ssdds1011111( )( )( )nnnnnnnnb sb sbsbY sW sU ssa sasa 對于單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)，按上式求出的W(s)為系統(tǒng)的標量傳遞函數(shù)，可表示為當系統(tǒng)的傳遞函數(shù)無零極點對消時，有6 (1)系統(tǒng)矩陣A A的特征多項式等于傳遞函數(shù)的分母多項式； (2)傳遞函數(shù)的極點就是A A的特征值。 由于系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不惟一，故建立的系統(tǒng)狀態(tài)表達式也不是惟一的。但是同一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣卻是惟一的。7 補例補例 ：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 試求其傳遞函數(shù)陣。)()(1101)()()(1101)()(3

4、210)()(21212121txtxtytututxtxtxtx8 解解: 傳遞函數(shù)陣為： 11( )()1011011231141(1)(2)(1)(2)2122G sC sIABsssssssss 9【例2-14】求下列動態(tài)方程的傳遞函數(shù)。 1102010,1,462 ,00021ABCD 解：1( )()WsC sIABD 1110246201010021sss 3226452ssss 10在MATLAB中，用SS2TF語句可以直接求出W(S)。A=-1 1 0;0 -1 0;0 0 -2;B=-2;1;1;C=4 6 2;D=0;NUM,DEN=ss2tf(A,B,C,D)end11

5、2.7 2.7 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 離散時間系統(tǒng)就是系統(tǒng)的輸入和輸出信號只在某些離散時刻取值的系統(tǒng)。 與離散時間系統(tǒng)相關的數(shù)學方法有差分方程，信號Z變換，以及系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。 離散時間系統(tǒng)一般用差分方程表示其輸入和輸出信號的關系。12設系統(tǒng)n階差分方程為：110110()(1)(1)( )()(1)(1)( )nmmy knay kna y ka y kb u kmbu kmb u kb u k 表示時刻 為采樣周期；， 分別為時刻 的輸入、輸出； 表征系統(tǒng)特征的常系數(shù)。 kkTT)(ky)(kukTiaib系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為輸出信號的Z變換與輸入信號的

6、Z變換之比: 11101110( )mmmmnnnb zbzb zbW zzaza za 與連續(xù)時間系統(tǒng)傳遞函數(shù)在形式上相同 .mn 其 中 13 同連續(xù)時間系統(tǒng)一樣，由離散時間系統(tǒng)差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達式的過程叫做離散系統(tǒng)的實現(xiàn)。 離散系統(tǒng)動態(tài)方程一般形式為：)()()()()()()()()() 1(kkkkkkkkkkuDxCyuHxGx 式中 x(k)系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量；u(k)系統(tǒng)的r維輸入向量（控制向量）；y(k)系統(tǒng)的m維輸出向量；G(k)nn線性離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣；H(k)nr線性離散系統(tǒng)的控制矩陣；C(k)mn線性離散系統(tǒng)的輸出矩陣；D(k)mr線性離散系

7、統(tǒng)的直接傳輸矩陣。 14 如果G G(k)，H H(k)，C C(k)，D D(k)均為常數(shù)矩陣，上式就變?yōu)榫€性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達式為： )()()()()() 1(kkkkkkDuCxyHuGxx15方塊圖表示如圖：單位延遲環(huán)節(jié)，具單位延遲環(huán)節(jié)，具有有T秒的時間延遲。秒的時間延遲。16u差分方程式化為狀態(tài)空間表達式差分方程式化為狀態(tài)空間表達式 1差分方程的輸入函數(shù)為差分方程的輸入函數(shù)為bu(k)時時 設系統(tǒng)的差分方程為 選取狀態(tài) 110()(1)(1)( )( )ny knay kna y ka y kbu k ) 1()() 1()()()(21nkykxkykxkykxn17則

8、高階差分方程可化為一階差分組 1223101121(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )( )( )( )nnnnnx kx kx kx kxkxkxka x ka x kaxkbu k 18寫成向量方程形式，得1122110121121(1)0100( )0(1)0010( )0( )(1)0001( )0(1)( )( )( )( )1000( )( )nnnnnnnx kx kx kx ku kxkxkx kaaaax kbx kx ky kxkx k 19 或 其中： )()()()() 1(kkykukkcxhGxx0121010000100001nGaaaa000hb 1

9、000c 202差分方程的輸入函數(shù)包含差分方程的輸入函數(shù)包含u(k) u(k+1)， 時時 設系統(tǒng)差分方程為110110()(1)(1)( )()(1)(1)( )nmmy knay kna y ka y kb u kmbu kmb u kb u k .mn 其 中 2122可選擇如下一組狀態(tài)變量 1223101121(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )( )( )( )nnnnnx kx kx kx kxkxkxka x ka x kaxku k 01121( )( )( )( )mmy kb xkb xkb xk2301( )0.0( )mny kbbbX k 個1210121

10、(1)01000(1)00100( )( )(1)00010(1)1nnnx kx kX ku kxkx kaaaa )()()()()() 1(kdukkykukkcxhGxx或：24例：例：已知離散系統(tǒng)的差分方程為： 試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。 解：解：選狀態(tài)變量)(4) 1()() 1(3)2(2)3(kukukykykyky123( )( )( )(1)( )(2)x ky kx ky kx ky k 25則狀態(tài)空間表達式 112233123(1)010( )0(1)001( )0(1)132( )1( )( )410( )( )x kx kx kx kux kx kx ky kx k

11、x k 26脈沖傳遞函數(shù)化為狀態(tài)空間表達式脈沖傳遞函數(shù)化為狀態(tài)空間表達式 線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 它可仿照連續(xù)系統(tǒng)的部分分式法來建立離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。dazazazbzbzbzUzYzGnnnnnnn111111)()()(272.8 MATLAB在狀態(tài)空間分析法中的應用28一、系統(tǒng)的模型 設單輸入單輸出（SISO）連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 nnnnnnnnnasasasasabsbsbsbsUsY 12211012211 )()(G(s)= 29,den, ,num110121nnnnaaaabbbb 在MATLAB中,可用傳遞函數(shù)分子、分母多項式按s的降冪系數(shù)排列的行向量,即 來

12、描述上式所示傳遞函數(shù)G(s)的多項式模型。而由命令函數(shù)tf( )則可建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型TF，其調(diào)用格式為 sys=tf(num,den) 其中, num、den分別是傳遞函數(shù)分子、分母多項式系數(shù)行向量,且系數(shù)均按s的降冪排列。 30 設單輸入單輸出離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 01110111)()(azazazaczczczczUzYnnnnmmmm G(z)= 在MATLAB中,對于離散系統(tǒng)同樣可用tf( ) 命令建立其脈沖傳遞函數(shù)模型，調(diào)用格式為 num=cm,cm-1, ,c1,c0;den=an,an-1, ,a1,a0;sys=tf(num,den,Ts) 其中, Ts 為系統(tǒng)采樣

13、周期。 31另外,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)還可表示成零極點形式,即 G(s)= )()()()(2121nmpspspszszszsk 在MATLAB中，可用傳遞函數(shù)的零點向量、極點向量及增益,即 ;,;,2121kkpppzzznmpz描述傳遞函數(shù)G(s)的零極點模型。而由命令函數(shù)zpk( )則可建立零極點模型ZPK，其調(diào)用格式為 ),(zpksyskpz322. 2. 狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型 r維輸入、m維輸出的MIMO系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 DuCxyBuAxx 式中，x、y、u分別為n1、m1、r1的列向量，A、B、C、D 分別為nn、nr、mn 、mr的常數(shù)矩陣。 33 在MATLAB中,只

14、要按照矩陣輸入方式建立式系統(tǒng)相應的系數(shù)矩陣，即 A=a11,a12, ,a1n;a21,a22, ,a2n; ;an1,an2 ,ann；B= b11,b12, ,b1r;b21,b22, ,b2r; ;bn1,bn2 ,bnr;C= c11,c12, ,b1n;c21,c22, ,c2n; ;cm1,cm2 ,cmm;D= d11,d12, ,d1r;d21,d22, ,d2r; ;dm1,bm2 ,bmr; 即可描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。而由命令函數(shù)ss( )則可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型SS，其調(diào)用格式為 ),(sssysDCBA34 對定常離散系統(tǒng) )()()()()() 1(kkkkkkD

15、uCxyHuGxx在按常數(shù)矩陣輸入方式建立系數(shù)矩陣G，H，C，D 后,同樣調(diào)用 ),(sssyssTDCHG則可建立離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。其中, Ts 為系統(tǒng)采樣周期。 35二、 系統(tǒng)模型的轉換 MATLAB提供了模型轉換函數(shù),可以完成系統(tǒng)數(shù)學模型的相互轉換,利用ss2tf( )函數(shù)可由系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式求其傳遞函數(shù)(陣)。 對SISO系統(tǒng), ss2tf( )的調(diào)用格式為 num,den=ss2tf(A,B,C,D) 執(zhí)行以上語句,可實現(xiàn)將描述為(A,B,C,D)的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中各系數(shù)矩陣轉換為傳遞函數(shù)模型中分子、分母多項式系數(shù)行向量num、den。 36 對多輸入系統(tǒng), ss2tf(

16、)的調(diào)用格式為 num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu) 其中,iu用于指定變換所使用的輸入量, iu默認則為單輸入情況。 37 與ss2tf( )類似,應用MATLAB函數(shù)ss2zp( )可由系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式求其零極點模型的參數(shù)(z,p,k)。 對SISO系統(tǒng), ss2zp( )的調(diào)用格式為 z,p,k=ss2zp(A,B,C,D) 而對多輸入系統(tǒng),其調(diào)用格式為 z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) 382. 傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間表達式的變換傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間表達式的變換 利用MATLAB函數(shù)tf2ss( )、zp2ss( )可分別由多項式形式、零極點形式的傳遞函數(shù)求其狀

17、態(tài)空間模型中的各系數(shù)矩陣。其調(diào)用格式分別為 A，B，C，D=tf2ss(num,den)A,B,C,D=zp2ss(z, p, k) 上面兩條語句分別由已知的(num,den)、(z, p,k)經(jīng)模型轉換返回狀態(tài)空間表達式中各系數(shù)矩陣(A,B,C,D) 。 39三、 系統(tǒng)的非奇異變換與標準型狀態(tài)空間表達式 MATLAB中函數(shù)ss2ss( )可實現(xiàn)對系統(tǒng)的非奇異變換。其調(diào)用格式為 GT=ss2ss(G,T) 其中G、GT分別為變換前、后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，T為非奇異變換陣。 或為 At,Bt,Ct,Dt =ss2ss(A,B,C,D,T) 其中, (A,B,C,D) 、(At,Bt,Ct,Dt)

18、 分別為變換前、后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣, T為非奇異變換陣。 40 MATLAB提供了標準型狀態(tài)空間表達式的實現(xiàn)函數(shù)canon( ) ,其調(diào)用格式為 G1=canon(sys, type) 41 若系統(tǒng)模型sys為對應狀態(tài)向量x的狀態(tài)空間模型,可應用函數(shù)canon( )將其變換為在新的狀態(tài)向量 下的標準型狀態(tài)空間表達式,其調(diào)用格式為 xG1,P=canon(sys, type) 其中，sys為原系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，P是返回的非奇異變換陣，滿足 Pxx 關系?；驗?At,Bt,Ct,Dt,P=canon(A,B,C,D, type) 其中, (A,B,C,D)為對應x的原系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣,(At,Bt,Ct,Dt)則為對應新狀態(tài)向量 (仍滿足 )的標準型狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣。 xPxx 42 以上函數(shù)canon( ) 調(diào)用中的字符串type確定標準型類型, 它可以是模態(tài)（modal）標準型,也可以是伴隨（companion）標準型形式。 43本章總結本章總結1、介紹了有關狀態(tài)空間描述的基本概念（介紹了有關狀態(tài)空間描述的基本概念（狀態(tài)變量、狀狀態(tài)變量、狀 態(tài)矢量、狀態(tài)空間、狀態(tài)方程、輸出方程、狀態(tài)空間態(tài)矢量、