圓錐曲線的綜合問題(一)詳細(xì)解析版

1、圓錐曲線的綜合問題 ( 一 ) 詳細(xì) 解析版圓錐曲線的綜合問題（一）最新考綱 1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位 置關(guān)系的思想方法； 2. 了解圓錐曲線的簡單應(yīng) 用；3.理解數(shù)形結(jié)合的思想 .1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線 l 與圓錐曲線 c 的位置關(guān)系時，通常將 直線 l 的方程 axbyc0(a，b 不同時為 0) 代入圓錐曲線 c 的方程 f(x，y)0，消去 y(也 可以消去 x)得到一個關(guān)于變量 x(或變量 y)的一 元方程，axbyc0， 即f（x，y）0消去 y，得 ax2bxc0.(1)當(dāng) a0 時，設(shè)一元二次方程 ax2bxc0的判別式為，則0直線與圓錐曲線 c 相 交

2、；0直線與圓錐曲線 c 相切；0直線與圓錐曲線 c 相離.(2)當(dāng) a0，b0 時，即得到一個一次方程，則 直線 l 與圓錐曲線 c 相交，且只有一個交點(diǎn)，此 時，若 c 為雙曲線，則直線 l 與雙曲線的漸近線 的位置關(guān)系是平行；若 c 為拋物線，則直線 l 與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合 . 2.圓錐曲線的弦長設(shè)斜率為 k(k0)的直線 l 與圓錐曲線 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，a(x ，y )，b(x ，y )，則1 1 2 2|ab| 1k2|x x |1 2 1k2 （x x ）24x x1 2 1 211k2|y1y | 211 （y y ）2 k2 1 24y y .1 2

3、例題精講（考點(diǎn)分析）考點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例 1】 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知橢圓 x2 y2c ： 1(ab0)的左焦點(diǎn)為 f (1，0)， 1 a2 b2 1且點(diǎn) p(0，1)在 c 上.1(1)求橢圓 c 的方程；1(2)設(shè)直線 l 同時與橢圓 c 和拋物線 c ：y21 24x相切，求直線 l 的方程.解 (1)橢圓 c 的左焦點(diǎn)為 f (1，0)，c1，1 1又點(diǎn) p(0，1)在曲線 c 上，10 1 1，得 b1，則 a2 a2 b2b2c22，x2所以橢圓 c 的方程為 y21.1 2(2)由題意可知，直線 l 的斜率顯然存在且不等 于 0，設(shè)直線 l 的方程為

4、 ykxm， x2 y2 1，由2 消去 y，得(12k2 ykxm20.因?yàn)橹本€ l 與橢圓 c 相切，1)x24kmx2m2所以 16k2m214(1 2k2)(2m22)0.整理得 2k2m210. y24x，由 消去 y，得 k2x2 ykxm(2km4)xm20.因?yàn)橹本€ l 與拋物線 c 相切，2所以 (2km4)2 24k2m20，整理得 km1. 2 2k ， k ，綜合，解得 2 或 2m 2 m 2.2 2所以直線 l 的方程為 y x 2或 y x2 2 2.規(guī)律方法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組 成的方程組解的個數(shù)，消元后，應(yīng)注

5、意討論含x2項(xiàng)的系數(shù)是否為零的情況，以及判別式的應(yīng)用 .但對于選擇、填空題要充分利用幾何條件，用數(shù) 形結(jié)合的方法求解 .【訓(xùn)練 1】 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，點(diǎn) m 到 點(diǎn) f(1，0)的距離比它到 y 軸的距離多 1.記點(diǎn) m 的軌跡為 c.(1) 求軌跡 c 的方程；(2) 設(shè)斜率為 k 的直線 l 過定點(diǎn) p(2，1)，若 直線 l 與軌跡 c 恰好有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的 取值范圍.解 (1)設(shè)點(diǎn) m(x，y)，依題意|mf|x|1， （x1）2y2 |x| 1，化簡得 y2 x)，2(|x|故軌跡 c 的方程為 y24x（x0）， 0（x0）.4(2)在點(diǎn) m 的軌跡 c

6、中，記 c ：y214x(x0)；c ：y0(x0).2依題意，可設(shè)直線 l 的方程為 y1k(x2). y1k（x2），由方程組y24x，可得 ky2 4y4(2k1)0.當(dāng) k0 時，此時 y1.把 y1 代入軌跡 c 的 1方程，得 x .4故此時直線 l：y1 與軌跡 c 恰好有一個公共點(diǎn) 1 ，1 . 當(dāng) k0 時，方程的16(2k2k1) 16(2k1)(k1)，設(shè)直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)為(x ，0)，則0由 y1k(x2)，令 y0，得 x 02k1k. k0， 1 ()若 由解得 k1，或 k .x 0， 201所以當(dāng) k1 或 k 時，直線 l 與曲線 c 沒有2 1公共

7、點(diǎn)，與曲線 c 有一個公共點(diǎn)，故此時直線 l2與軌跡 c 恰好有一個公共點(diǎn) .2k2k10， 0，()若 即2k1x00， 0，解集為 .1綜上可知，當(dāng) k1 或 k 或 k0 時，直線 l2與軌跡 c 恰好有一個公共點(diǎn) .考點(diǎn)二弦長問題x2 y2【例 2】 (2016四川卷)已知橢圓 e： a2 b21(ab0) 的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是直角 三角形的三個頂點(diǎn)，直線 l：yx3 與橢圓 e 有且只有一個公共點(diǎn) t.(1)求橢圓 e 的方程及點(diǎn) t 的坐標(biāo)；b2(2)設(shè) o 是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 l平行于 ot，與橢 圓 e 交于不同的兩點(diǎn) a，b，且與直線 l 交于點(diǎn)p.證明：存在常數(shù) ，使

8、得|pt| 并求的值.2|pa| pb|，(1)解由已知，a 2b，則橢圓 e 的方程為x22b2y2 1.x2 y2 1，由方程組 2b2 b2 得 3x2 yx3，0.12x(18 2b2)方程的判別式為 24(b23)，由0，得b23，此時方程的解為 x2，所以橢圓 e 的方程為 y2 1.點(diǎn) t 的坐標(biāo)為(2，1).3x26(2) 證明1由已知可設(shè)直線 l的方程為 y x2 13 31331 1m(m0)，y xm，由方程組 2 可得 yx3，2mx2 ，32my1 .3 2m 2m 8所以 p 點(diǎn)坐標(biāo)為2 ，1 .|pt|2 m29.設(shè)點(diǎn) a，b 的坐標(biāo)分別為 a(x ，y )，b(

9、x ，y ).1 1 2 2x2 y2 1，6 3由方程組 可得 3x2y xm， 24mx(4m212)0.方程的判別式為 16(92m2)，由0，解得3 2 3 2mb0)a2 b22的一個頂點(diǎn)為 a(2，0)，離心率為 .2直線 yk(x1)與橢圓 c 交于不同的兩點(diǎn) m，n. (1)求橢圓 c 的方程；10(2)當(dāng)amn 的面積為 時，求 k 的值.3a2，c 2解 (1)由題意得 ，a 2a2b2 c2.x2 y2解得 b 2，所以橢圓 c 的方程為 1.4 2(2)由yk（x1）， x2 y2 1，4 2得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn) m，n 的坐標(biāo)分別為(x ，y )

10、，(x ，y )，1 1 2 2則 y k(x 1)，y k(x 1)，1 1 2 24k2 2k24x x ，x x ，1 2 12k2 1 2 12k2所以|mn| （x x ）22 1（y y ）2 2 1 （1k2）（x x ）24x x 1 2 1 22 （1k2）（46k2 ）12k2又因?yàn)辄c(diǎn) a(2，0)到直線 yk(x1)的距離 d|k|1k2，1 |k| 46k2所以amn 的面積為 s |mn|d ，2 12k2|k| 46k2 10由 ，解得 k1.12k2 3能力提高x2 y211.已知橢圓 1(0b2)的左、右焦點(diǎn)分4 b2別為 f ，f ，過 f 的直線 l 交橢圓

11、于 a，b 兩點(diǎn)， 1 2 1若|bf |af |的最大值為 5，則 b 的值是( ) 2 2a.1 b. 2c.32d. 3解析由橢圓的方程，可知長半軸長為 a2，0 由橢圓的定義，可知 |af |bf |ab| 4a2 28，所以|ab|8(|af |bf |)3.2 2由橢圓的性質(zhì)，可知過橢圓焦點(diǎn)的弦中，通徑最 2b2短，即 3，可求得 b23，即 b 3. a答案 d12.(2016四川卷)設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，p 是以 f為焦點(diǎn)的拋物線 y22px(p0)上任意一點(diǎn)，m 是線段 pf 上的點(diǎn)，且|pm|2|mf|，則直線 om 的 斜率的最大值是( )a.33b.23c.22d.1解析

12、如圖所示，設(shè) p(x ，y )(y 0) ，0 0 0則 y22px ，0 0y2即 x .0 2p設(shè) m(x，y)，由pm2mf，p 200000x x 2 x， 得 y y 2（0y）， 0解之得 xpx y ，且 y .3 3y y 2p直線 om 的斜率 k x y 2p2p y2p y 002p2又 y 2 2p，當(dāng)且僅當(dāng) y 2p 時取等號. 0 y 002p 2 2k ，則 k 的最大值為 . 2 2p 2 2答案 c13.設(shè)拋物線 y28x 的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線為 l，p 為拋物線上一點(diǎn)， pal，a 為垂足 .如果直線 af 的斜率為 3，那么|pf|_.解析直線 af 的方程

13、為 y 3(x2)，聯(lián)立y 3x2 3， x2，得 y4 3，所以 p(6，4 3).由拋物線的性質(zhì)可知 |pf|628.答案 814.已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點(diǎn)為 f，直線 y4 與 y 軸的交點(diǎn)為 p，與 c 的交點(diǎn)為 q，且 5|qf| |pq|.4(1) 求 c 的方程；(2) 過 f 的直線 l 與 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，若 ab 的垂直平分線 l與 c 相交于 m，n 兩點(diǎn)，且 a， m，b，n 四點(diǎn)在同一圓上，求 l 的方程.解 (1)設(shè) q(x ，4)，代入 y2082px 得 x .0 p8 p p 8所以|pq| ，|qf| x .p 2 0 2 pp 8

14、 5 8由題設(shè)得 ，解得 p2(舍去 ) 或 p 2 p 4 p2.所以 c 的方程為 y24x.(2)依題意知 l 與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè) l 的方 程為 xmy1(m0).代入 y2 4x 得 y24my4m0.設(shè) a(x ，y )，b(x ，y )，則 y y 4m，y y 1 1 2 2 1 2 1 2 4.故 ab 的中點(diǎn)為 d(2m21，2m)，|ab| m21| y y |4(m2 1 21).1又 l的斜率為m，所以 l的方程為 x ym2m23.將上式代入 y24x，并整理得 y24 y4(2m2 m3)0.4設(shè) m(x ，y )，n(x ，y )，則 y y ， 3 3 4 4 3 4 my y 4(2m2 3 43)