濾波試驗(yàn)報(bào)告

1、信號(hào)采樣與恢復(fù)過程中的混疊及其濾波一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?1) 理解連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣與恢復(fù)過程；(2) 掌握采樣序列的頻域分析和濾波，信號(hào)的恢復(fù)，掌握Shannon采樣定理；(3) 學(xué)會(huì)利用 MATLAB 軟件分析信號(hào)采樣、濾波與恢復(fù)的過程。(4) 學(xué)會(huì) FIR 濾波器的簡(jiǎn)單設(shè)計(jì)方法二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：給定原始信號(hào)如下式所示：f (t) 1 0.5sin 2 f1t 0.2sin 2 f2t ，其中， f1, f2是信號(hào)原始頻率(本實(shí)驗(yàn)中為自選常數(shù)， f1為低頻， f2 為高頻)。確定一個(gè) 采樣頻率 fs對(duì) f (t)進(jìn)行采樣，再將采樣得到的序列進(jìn)行 DFT，畫出過程中各信號(hào)的圖形。 進(jìn)行頻域高、低頻濾波

2、，再反變換得出處理后恢復(fù)出來的信號(hào)。將實(shí)驗(yàn)過程中得到的圖 形與理論圖形進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)不同點(diǎn)并加以解釋。三、實(shí)驗(yàn)過程：先選定 f1=50hz、 f2 70Hz ，則原始信號(hào)表示為：f(t) 1 0.5sin(2 50t) 0.2sin(2 70t)1、原信號(hào)時(shí)域截?。阂?yàn)樵谟?jì)算機(jī)中只能計(jì)算離散的點(diǎn)列， 若要用 MATLAB 處理圖形， 只能先對(duì)信號(hào)進(jìn) 行截取和采樣。本實(shí)驗(yàn)選定矩形截取窗口的寬度為原信號(hào)周期的m倍，m 為正整數(shù)。所以畫出截取后的信號(hào)圖像為圖 1 截?cái)嗪蟮男盘?hào)圖像原信號(hào)中低頻為 50Hz，高頻為 70Hz，取采樣頻率 fs為3倍的 f2 ，即fs 3 70Hz 210Hz 。50和7

3、0的最大公約數(shù)為 10，所以原信號(hào)的最小正周期為 1/10s，這 。里取 m為3（即取窗口函數(shù)的寬度為 3/10s），相應(yīng)的采樣點(diǎn)數(shù) Nc=140 0.3 42，所以窗口 函數(shù)為1 0 t 0.3s0 其他其圖像如圖 2所示， 其傅立葉變換圖像如圖 3所示，其公式如下：)e j /2 ，其中 0.3sFtsin(0.50.5圖 2 窗函數(shù)圖 3 窗函數(shù)傅里葉變換（ CTFT ）時(shí)域截取的過程就是原函數(shù) f t 在時(shí)域乘以 t ，而在頻域 F 與 sin(0.5 )e j /2 做卷積0.5 運(yùn)算后再乘以系數(shù) 1/ 2 ，而在實(shí)際計(jì)算機(jī)仿真過程中，只要選好信號(hào)橫坐標(biāo)的范圍就完成了截取信 號(hào)的過程

4、， 本實(shí)驗(yàn)中取信號(hào)橫坐標(biāo)為 0,0.3) ，截取后的 CT信號(hào)的傅里葉變換圖像如圖 4所示， 其圖像 在頻域坐標(biāo)軸上向正負(fù)無窮延展。圖4 截取后的 CT信號(hào)( 0 s,0.3 s) )的CTFT Fj2、截?cái)嘈盘?hào)的時(shí)域采樣截?cái)嗪蟮男盘?hào)就可以在時(shí)域上進(jìn)行采樣，采樣函數(shù)為 (t nTS) ，截?cái)嗪蟮男盘?hào) fj t 乘以(n nTS ) ，所以在頻域相當(dāng)于 1/2 Fj與 s ( n s) 進(jìn)行卷積，其得到的圖像為周期的，其圖像與離散采樣信號(hào)的 DTFT 形式相同。以上為 CT信號(hào)的分析，對(duì)于離散信號(hào)，為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)的處理方式，我們需要采用DFT 和IDFT進(jìn)行計(jì)算求解。采樣后的離散信號(hào)圖像為下圖所

5、示圖 5 采樣后的信號(hào)對(duì)上述有限的離散信號(hào)求 DTFT ，可以得到其在頻域的表現(xiàn)形式，對(duì)離散角頻率取0,6.28 之間的 629個(gè)樣點(diǎn)，計(jì)算其 DTFT ，并畫出圖像如下圖6 有限采樣信號(hào)的 DTFT 頻譜 如果對(duì)上述頻譜圖進(jìn)行采樣，則相應(yīng)的，離散采樣信號(hào)將進(jìn)行周期延拓，如果在頻域進(jìn)行采樣， 并保證在一個(gè)主周期中，有 N個(gè)采樣點(diǎn)，則離散采樣信號(hào)將以 N為離散周期進(jìn)行延拓。如果令 N Nc 63,則其相當(dāng)于原始周期信號(hào)的采樣。利用 DFT，我們可以完成這個(gè)過程， DFT公式為X(ej2 k/N)N11j 2 nk/NxngeNn0其類似于 DTFS 公式，特點(diǎn)是隱含周期性，就得到了離散的頻譜，其

6、頻譜與連續(xù)周期信號(hào)的頻譜 在形式上極為相似，只要保證 N Nc ，頻譜賦值在數(shù)值上相同。其圖像如下：圖7 離散信號(hào)的 DFT 離散頻譜3、設(shè)計(jì)離散濾波器并進(jìn)行濾波。目前，只進(jìn)行了低通濾波。目標(biāo)：濾除 70Hz 的高頻成分，保留直流分量和 50Hz 的低頻成分。方法：采用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 濾波器。采用海明窗。具體步驟：1)、取通帶截止頻率為p 21f ，取阻帶起始頻率為fsst 2p st2取阻帶衰減不小于 -50db。2)、求理想濾波器的沖擊響應(yīng)。(3)、選擇窗函數(shù)(4)、確定 N 值。hd(ej1 hd (n)(n本實(shí)驗(yàn)取海明窗海明窗帶寬： V5)、確定 FIR 濾波器的 h(n)ejt

7、)sin c(nw(n)6.6h(n)0.540.46cos 2nN1RN(n)/ N，V2 ( st p) / s ，所以求得 N 為35hd(n)w(n)6)、求 H(ej ) 經(jīng)過計(jì)算，得到的濾波器的單位沖擊響應(yīng)和濾波器的頻譜圖如下圖所示圖8 濾波器單位沖擊響應(yīng)圖9 數(shù)字濾波器的頻譜圖 下面進(jìn)行濾波，把 離散信號(hào)的 DFT 離散頻譜函數(shù)和數(shù)字濾波器的頻譜函數(shù)對(duì)應(yīng)相乘，進(jìn)行了 頻域?yàn)V波。濾波后的離散頻譜如下圖所示圖 10 濾波后的離散頻譜圖 利用 IDFT 進(jìn)行反變換得到濾波后的離散信號(hào)，其圖像如下4、圖 11 IDFT 后的離散信號(hào)離散信號(hào)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)（插值）（1） 利用理想插值函數(shù)進(jìn)行

8、插值，其插值函數(shù)圖像如下圖 12 理想插值函數(shù)插值效果如下圖所示圖 13 原始信號(hào)復(fù)原圖但是，上述插值在物理世界中，無法實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樗且蚬覟闊o窮信號(hào)。 與此同時(shí)，通過觀察發(fā)現(xiàn)，在復(fù)原圖像的邊緣誤差較大，原因是因?yàn)樗〉碾x散 信號(hào)點(diǎn)為有限個(gè)， 所以存在誤差， 當(dāng)在邊界進(jìn)行插值時(shí)， 邊界另一邊沒有信號(hào)值， 所以誤差較大，當(dāng)采樣點(diǎn)為無窮個(gè)時(shí)，理論上可以精確復(fù)原原圖像，但這在現(xiàn)實(shí) 生活中，無法實(shí)現(xiàn)。（2） 一階線性插值，其插值函數(shù)圖像如下圖 14 一階線性插值函數(shù)插值效果如下圖所示圖 15 原始信號(hào)復(fù)原圖一階線性插值插值誤差較大， 但基本反映出了圖像的形態(tài)， 其在物理上可以實(shí)現(xiàn)。 通過觀察，上述復(fù)

9、原圖在邊緣出也存在較大誤差，原因同上，同時(shí)因?yàn)椴逯岛瘮?shù) 具有延時(shí)效果，所以復(fù)原信號(hào)在實(shí)間上有延遲，最直觀就是比理想復(fù)原圖向后移 動(dòng)了一小段距離。5、參數(shù)調(diào)整 通過上面的實(shí)驗(yàn)， 我對(duì)信號(hào)采樣與復(fù)原過程有了一定的了解， 下面通過參數(shù)調(diào)整來加深理解。1）窗函數(shù)為整數(shù)倍周期，否則無法復(fù)原為原圖像m=3，這里取調(diào)整截?cái)嘈盘?hào)所用窗函數(shù)的寬度，使其不等于周期的整數(shù)倍。之前取m=1.5。得到的結(jié)果如下，這是因?yàn)?，利?DFT 在計(jì)算周期延拓離散信號(hào)的頻譜的時(shí)候，在時(shí)域延拓后的圖像與原圖像已經(jīng)不一樣了。(2)、對(duì)于最高頻率分量幅值不為零或不趨于零的信號(hào)，采樣頻率要嚴(yán)格大于兩倍最大 頻率上述實(shí)驗(yàn)中采樣頻率取值為

10、3 倍的信號(hào)最大頻率分量，下面取 fs 2 70Hz 140Hz ，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下通過觀察發(fā)現(xiàn)，頻譜中沒有 70Hz對(duì)應(yīng)的成分，這是因?yàn)橐?2 倍的頻率來采樣 Asin( t )這 樣的諧 波， 得到的 離散 點(diǎn)無法 反映 該信號(hào) 的全 部特征 ，在 這里對(duì) 該信 號(hào)的采 樣， 全部在t k / ,k 0,1,2,3. 時(shí)刻， 當(dāng)0時(shí)， 所有的采樣值都為零， 就如上圖所示， 當(dāng) 取其他值時(shí)，0.5sin 2 f1t 0.2sin(2 f2t 0.2)將會(huì)在頻域發(fā)生混疊。 這里取0.2 ，改變題干， 令 f (t) 1得到的結(jié)果，如下所以，對(duì)于最高頻率分量幅值不為零或不趨于零的信號(hào)，采樣頻率要嚴(yán)格大于兩倍最大 頻率。( 3) 采樣數(shù)對(duì)于不同實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。1)通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，提高窗函數(shù)寬度，即在采樣頻率不變的情況下提高采樣點(diǎn)數(shù)，對(duì)信號(hào) 復(fù)原效果提高不大。2)通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)， 在窗函數(shù)寬度不變的情況下， 提高采樣頻率能顯著提高信號(hào)復(fù)原效果， 但在信號(hào)邊緣的誤差無法得到顯著改善。(4)欠采樣時(shí)，高頻分量會(huì)關(guān)于采樣頻率反折而變?yōu)榈皖l分量。例如取fs 0.7 70Hz 49Hz 時(shí)，50Hz 和 70Hz 的分 量都關(guān)與采樣頻率進(jìn)行了反折。結(jié)果如下四、實(shí)驗(yàn)總結(jié)和體會(huì)（一）此次計(jì)算機(jī)模擬仿真實(shí)驗(yàn)，主要是做了以下一些工作：1、模擬了連續(xù)信號(hào)采樣和復(fù)原的過程。2、變換