不等式的證明（三）范文

1、不等式的證明（三） 第四課時(shí)教學(xué)目標(biāo) 1掌握分析法證明不等式； 2理解分析法實(shí)質(zhì)執(zhí)果索因； 3提高證明不等式證法靈活性. 教學(xué)重點(diǎn) 分析法 教學(xué)難點(diǎn) 分析法實(shí)質(zhì)的理解 教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式 教學(xué)活動(dòng) 導(dǎo)入新課 教師提出問(wèn)題，待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評(píng) 回答和思考教師提出的問(wèn)題 問(wèn)題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？ 問(wèn)題 2能否用比較法或綜合法證明不等式： 點(diǎn)評(píng)在證明不等式時(shí)，若用比較法或綜合法難以下手時(shí)，可采用另一種證明方法：分析法 設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識(shí)的積極性，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)

2、習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式 新課講授 【嘗試探索、建立新知】 教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問(wèn)題供學(xué)生研究，并點(diǎn)評(píng)幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識(shí)體系投影分析法證明不等式的概念 與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知 講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式 問(wèn)題1我們能不能用同樣的思考問(wèn)題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？ 問(wèn)題2當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí)，說(shuō)明了什么呢？ 問(wèn)題3說(shuō)明要證明的不等式成立的理由是什么呢

3、？ 點(diǎn)評(píng)從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立就是分析法的邏輯關(guān)系 投影分析法證明不等式的概念 設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生積極思考、研究建立新的知識(shí)；分析法證明不等式培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識(shí) 【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】 教師板書(shū)或投影例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問(wèn)題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用分析法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用分析法證明不等式必須注意的問(wèn)題 學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問(wèn)題，與教師一道完成問(wèn)題的論證 例1求證 分析此題用比較法和綜合法都很難入手，應(yīng)考慮用分析法 證明： 點(diǎn)評(píng)證明某些含有根式的不等式時(shí)，用綜合法比較困難此例中，我們很難

4、想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過(guò)程，這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思維方法，事實(shí)上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎(chǔ)上，分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此 例2已知： ，求證： 請(qǐng)思考下列證法有沒(méi)有錯(cuò)誤？若有錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處？ 投影證法一：因?yàn)?，所以 、去分母，化為 ，就是 由已知 成立，所以求證的不等式成立 證法二：欲證 ，因?yàn)?只需證 ， 即證 ， 即證 因?yàn)?成立，所以 成立 點(diǎn)評(píng)用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 分析法是“執(zhí)果索因”，它與綜合法的證明過(guò)程恰恰相反用分析法證明時(shí)要注意書(shū)寫格式分析法論證“若

5、a則b”這個(gè)命題的書(shū)寫格式是： 要證命題b為真， 只需證明 為真，從而有 這只需證明 為真，從而又有 這只需證明a為真 而已知a為真，故命題b必為真 要理解上述格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系 投影 例3 證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大 分析設(shè)未知數(shù)，列方程，因?yàn)楫?dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長(zhǎng)為 ，則周長(zhǎng)為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長(zhǎng)為 的正方形邊長(zhǎng)為 ，截面積為 ，所以本題只需證明： 證明： 設(shè)計(jì)意圖：理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系，說(shuō)明分析法在證明不等式中的重要地位掌 握分析法證明不等式，特

6、別重視分析法證題格式及格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系靈活掌握分析法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力 【課堂練習(xí)】 打出字幕，請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問(wèn)題 在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演 【字幕】練習(xí)1求證 2求證： 設(shè)計(jì)意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué) 【分析歸納、小結(jié)解法】 分析歸納例題和練習(xí)的解題過(guò)程，小給用分析法證明不等式的解題方法 與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記 1分析法是證明不等式的一種常用基本方法當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)

7、單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的 2用分析法證明不等式時(shí)，要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式 設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問(wèn)題的能力，掌握分析法證明不等式的方法 小結(jié) 教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí) 與教師一道小結(jié)，并記錄筆記 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式應(yīng)用分析法證明不等式時(shí)，掌握一些常用技巧： 通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開(kāi)方等在使用這些技巧變形時(shí)，要注意遵循不等式的性質(zhì)另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用理解分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面有時(shí)可以用分析法思索，而用綜合法書(shū)寫證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成

8、證明過(guò)程 設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí) 布置作業(yè) 1課本作業(yè)：p17 4、5 2思考題：若 ，求證 3研究性題：已知函數(shù) ， ，若 、 ，且 證明 設(shè)計(jì)意圖：思考題供學(xué)有余力同學(xué)練習(xí)，研究性題供學(xué)生研究分析法證明有關(guān)問(wèn)題 課后點(diǎn)評(píng) 教學(xué)過(guò)程是不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維過(guò)程本節(jié)課在形成分析法證明不等式認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，教師提出問(wèn)題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后開(kāi)拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問(wèn)題解決一個(gè)問(wèn)題解決后，及時(shí)地提出新問(wèn)題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)

9、生的思維由問(wèn)題開(kāi)始，到問(wèn)題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài) 本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合在講與練的互相作用下，使學(xué)生的思維逐步深化教師提出的問(wèn)題和例題，先由學(xué)生自己研究，然后教師分析與概括在教師講解中，又不斷讓學(xué)生練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法 在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，按認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開(kāi)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu) 作業(yè)答案： 思考題： 因?yàn)?，故 ，所以 成立 研究性題：令 ， ，則： ， ， 故原不等式等價(jià)于 由已知有 。所以上式等價(jià)于 ，即 。所以又等價(jià)于 因?yàn)?，上式成立，所以原不等式成立。 不等式的實(shí)際解釋 題目：不等式：

10、是正數(shù)，且 ，則 。可以給出一個(gè)具有實(shí)際背景的解釋：在溶液里加溶質(zhì)則濃度增加，即 個(gè)單位溶液中含有 個(gè)單位的溶質(zhì)，其濃度小于加入 個(gè)單位溶質(zhì)后的溶液濃度，請(qǐng)你仿照此例，給出兩個(gè)不等式的解釋。 分析與解 1先看問(wèn)題中的不等式，建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。 設(shè)地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時(shí)增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有 2 是正數(shù)，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來(lái)解釋：兩個(gè)不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。 3