大學物理-波動學2

1、已知已知O點振動表達式：點振動表達式：)cos(0tAy波長為yx0uxp波方程任意坐標x處的振動方程xx2處相位落后)2cos(0 xtAy)200 xxxx（處相位落后處比)cos(0tAyX0點的振動方程點的振動方程：)2cos00 xxtAy（如果已知的不是O點振動方程yxou0 x0 xxxx波方程（波方程（X處的振動方程）：處的振動方程）：總結：要寫出波動方程要知道那些條件)cos(0tAy1，某一點，某一點(x0)的振動方程的振動方程,2，寫出坐標為，寫出坐標為x這一點與該點的相位差這一點與該點的相位差兩者間距：2)(20 xx X軸正方向與波的傳播方向的關系軸正方向與波的傳播方

2、向的關系)2cos00 xxtAy（任意坐標x處的振動方程波動方程給出了兩方面信息任意時刻的任意時刻的波形圖波形圖)2cos(01xtAy任意位置的任意位置的振動方程振動方程)2cos(10 xtAy)2cos(0 xtAy)(cos),(0uxtAtxy)(2cos),(0 xtAtxy)2cos(0 xtAy)(2cos),(0 xutAtxy這幾個式子等價這幾個式子等價幾種變形例例1 一橫波，其波動方程為一橫波，其波動方程為)SI(2/)5200(cos2 . 0制xty求振幅、波長、頻率、周期、波速；求振幅、波長、頻率、周期、波速；分別畫出分別畫出t=0, t=0.0025s, t=0

3、.005s時刻的波形時刻的波形解：解：(1)比較法比較法上式與標準形式的波函數(shù)相比上式與標準形式的波函數(shù)相比可得可得：m4 .0, s01.0,m.s40,Hz100,m2 .01TuA)2cos(0 xtAyuY(m)x(m)0.2-0.2t=0t=0.0025st=0.005s2) 首先畫出首先畫出t=0時刻的波形曲線時刻的波形曲線2s005. 04s0025. 021TtTt ，)SI(2/)5200(cos2 . 0制xty例例2一平面簡諧波在介質(zhì)中以速度一平面簡諧波在介質(zhì)中以速度 u=20m/s 自左向右傳播自左向右傳播 . 已知在傳播路徑上的某點已知在傳播路徑上的某點A的振動方程為

4、的振動方程為 y=3cos(4 t- )，一點一點D在在A點右方點右方9m處處 (1) 若取若取x軸方向向左軸方向向左 , 并以并以A為坐為坐標原點標原點 , 試寫出波試寫出波動動方程方程(2) 若取若取x軸方向向右軸方向向右 , 以以A點左點左方方5m處的處的o點為點為x軸原點軸原點 ,重新寫出波重新寫出波動動方程及方程及D點的振動點的振動方程方程 .AyxDuyxuoAD解解 : 該波波速該波波速u=20m/s , 圓頻率圓頻率 =4 s-1 , 則則1)5/(/2mu1)5/(/2mu(1) 可得波方程為可得波方程為)24cos(3xty)5/4cos(3xtPAyxDuxYA=3cos

5、(4 t- )A的振動方程為的振動方程為 y=3cos(4 t- )，(2) 可得波可得波動動方程為方程為5/ )5(4cos3xty)5/4cos(3xty)5/144cos(3tyDxD=14mD5yxuoAPYA=3cos(4 t- )(2) 若取若取x軸方向向右軸方向向右 , 以以A點左方點左方5m處的處的o點為點為x軸原軸原點點 ,重新寫出波重新寫出波動動方程及方程及D點的振動方程點的振動方程 .1)5/(/2mu例例3: 平面簡諧波平面簡諧波 . (a) 表示表示 t=0 時的波形曲線時的波形曲線 . (b) 表示表示 P點點 (x=1m)的振動曲線的振動曲線 . 求求: (1)

6、波動方程波動方程 . (2) x=2m 處質(zhì)元在處質(zhì)元在 t=0.1s時的振動速度時的振動速度 . y/mx/m0.22.00Pt=0Yp(m)t(s)0(a)(b)解解 :由圖由圖 (b) 知知 A=0.2m . T=0.2s 102 . 022Tm2再由圖再由圖(a)0t00y00v2mtyp)210cos(2 . 0y/mx/m0.22.00Pt=0Yp(m)t(s)0(a)(b)任一點任一點x與與P點的點的相相差：差： ) 1(2x) 1(22210cos2 . 0 xty210cos2 . 0 xt10A=0.2m (2) 再求再求 X=2m 處質(zhì)

7、元在處質(zhì)元在 t=0.1s時的振動速度時的振動速度X=2mst1 . 0sm/28. 622210cos2 . 0ty210cos2 . 0t210cos2 . 0 xty210sin2ttyv例例4 沿沿X軸負方向傳播的平面簡諧波在軸負方向傳播的平面簡諧波在 t=2s 時刻的波形曲時刻的波形曲線如圖所示線如圖所示 , 設波速設波速 u=0.5m/s . 求原點求原點 o 的振動方程的振動方程 . t=2s21uY(m)x(m0.5-0.5解解:m2smu/5 . 0所以所以T = 4s 5 . 0A秒時的相位：22121cos5 . 0tyo23動力學方法動力學方法依據(jù)各領域的基本原理得到依

8、據(jù)各領域的基本原理得到振動的動力學方程振動的動力學方程+解微分解微分方程方程描述振動的運動方程描述振動的運動方程研究振動現(xiàn)象研究振動現(xiàn)象依據(jù)各領域的基本原依據(jù)各領域的基本原理得到理得到波動的動力學波動的動力學方程方程波動的運動方程波動的運動方程（波動方程）（波動方程）求解求解第三節(jié)，波的動力學方程 輕質(zhì)、柔弦的橫波動力學方程輕質(zhì)、柔弦的橫波動力學方程 T221T1x+dxxxy如圖，由牛頓定律有如圖，由牛頓定律有221122sinsintydsTT 0coscos1122 TT微振動時微振動時1coscos21 022222xyutyTu)sin(sin12T取任意無窮小段弦取任意無窮小段弦作

9、為研究對象作為研究對象)(tgTd)(dxdyTd)(cos0uxtAy)(sin0uxtAtyv質(zhì)量為質(zhì)量為 的媒質(zhì)其動能為（坐標為的媒質(zhì)其動能為（坐標為X處）：處）：m221tymWk)(sin210222uxtVA)(sin212102222uxtVAtymWp略去推導過程略去推導過程)(sin0222uxtAVWWWpk任一質(zhì)元總機械能隨時間周期性的變化22AV0能量的輸入過程能量的輸入過程0能量輸出的過程能量輸出的過程)(sin0222uxtAVWWWpk能量密度：單位體積內(nèi)的總機械能)(sin0222uxtAwwwpk 定義：平均能量密度（對時間平均定義：平均能量密度（對時間平均)

10、dtuxtATwT)(sin102202 2221AVWw即即)(sin0222uxtAVWWWpk 能流，能流密度能流能流 單位時間內(nèi)通過某一截面的單位時間內(nèi)通過某一截面的能量稱為波通過能量稱為波通過該截面的能流，或叫能通量。該截面的能流，或叫能通量。PStuW能流為：能流為：設波速為設波速為 u，在，在 時間內(nèi)通過垂時間內(nèi)通過垂直于波速方向截面直于波速方向截面 的能量的能量:SttuSuwSutWP)(sin0222uxtASuw平均能流)(sin0222uxtASupdtuxtASuTpT)(sin102202 w2221AwSuPwSuP 平均能平均能流流2221ASuwSuP通過垂直

11、于波動傳播方向的單位面積的平均能流通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能流稱為稱為平均能流密度，通常稱為平均能流密度，通常稱為能流密度能流密度wuSPI2221Aw uA2221能流密度是矢量，其方向與波速方向相同能流密度是矢量，其方向與波速方向相同uAI2221波的強度波的強度能流密度例例1 一等幅平面簡諧波，在直徑一等幅平面簡諧波，在直徑d= 0.14m的圓柱管的空的圓柱管的空氣中進行氣中進行,波的強度波的強度I=0.009w/m2 頻率為頻率為300Hz，波速為，波速為300m/s。試求：波中平均能量密度和最大能量密度；在。試求：波中平均能量密度和最大能量密度；在管中兩個相鄰同相面間的

12、波帶中含有的波的平均能量管中兩個相鄰同相面間的波帶中含有的波的平均能量 解：由公式解：由公式uwI 波的平均能量密度波的平均能量密度)J.m(10335uIw)J.m(106235 wwm)(sin0222uxtAw2221Aw )J.m(10335uIw)J.m(106235 wwm因為兩個相鄰同相面間的距離為波長因為兩個相鄰同相面間的距離為波長 sWuTw22duTw) J (6210. 472224 rS2114 rS2211rArA球面簡諧波的波動方程：球面簡諧波的波動方程：rtrAy2cos001r2r1S2S球面簡諧波的波動方程uswp111uswp2222221AwwSuP 1，

13、媒質(zhì)中任一波面上的各點，都是發(fā)射子波的新波，媒質(zhì)中任一波面上的各點，都是發(fā)射子波的新波源。源。 波的衍射及惠更斯原理 波的衍射現(xiàn)象波的衍射現(xiàn)象2，其后任意時刻，這些子波的包絡面就是新的波陣，其后任意時刻，這些子波的包絡面就是新的波陣面。面。這些波行進的最前方的點組成的曲面這些波行進的最前方的點組成的曲面第六節(jié)第六節(jié) 波的疊加波的疊加 t時刻波面時刻波面 t+ t時刻波面時刻波面波的傳播方向波的傳播方向平面波平面波t+ t 時刻波面時刻波面u t波傳播方向波傳播方向t 時刻波面時刻波面球面波球面波t + t 惠更斯原理的應用惠更斯原理的應用 二 波的干涉 1、波的疊加原理幾列波同時通過某一媒質(zhì)時

14、，各自的特點幾列波同時通過某一媒質(zhì)時，各自的特點（頻率、波長、振幅）可以保持不變。好（頻率、波長、振幅）可以保持不變。好象在傳播過程中沒有遇到其它波一樣。象在傳播過程中沒有遇到其它波一樣。在幾列波相遇處，任意質(zhì)元的振動等于各列波在幾列波相遇處，任意質(zhì)元的振動等于各列波單獨單獨傳傳播時在該處引起振動合成播時在該處引起振動合成。這種波動傳播過程中出現(xiàn)的各分振動獨立地參與疊加這種波動傳播過程中出現(xiàn)的各分振動獨立地參與疊加的事實稱為的事實稱為波的疊加原理或波的獨立性原理波的疊加原理或波的獨立性原理波的干涉：相干條件波的干涉：相干條件 相干條件：相干條件： 兩波源具有兩波源具有相同的頻率相同的頻率 具有

15、具有恒定的相位差恒定的相位差 振動方向相同振動方向相同 滿足相干條件的波源滿足相干條件的波源稱為稱為相干波源相干波源 波疊加時在空間出現(xiàn)穩(wěn)定的振動加強和減弱分布波疊加時在空間出現(xiàn)穩(wěn)定的振動加強和減弱分布的現(xiàn)象的現(xiàn)象不滿足此條件的不不滿足此條件的不在我們的研究之列在我們的研究之列1r2r1S2Sp有兩個頻率振動方向相同的波源有兩個頻率振動方向相同的波源 其振動表達式為其振動表達式為)2cos(11011rtAy)2cos(22022rtAy)cos(101010tAy)cos(202020tAy傳播到傳播到 P 點引起的振動為：點引起的振動為：波的干涉：定量分析)2cos(11011rtAy)2

16、cos(22022rtAy在在 P 點的振動為同方向同頻率振動的合成點的振動為同方向同頻率振動的合成)cos(21tAyyy1r2r1S2Sp定量分析cos22122212AAAAA其中：其中：)(2)(121020rr cos22121IIIII 相干加強的條件：相干加強的條件：,.3 ,2, 1 ,0,2kk21maxAAAA2121max2IIIIIIcos22121IIIIIcos22122212AAAAA其中：其中：)(2)(121020rr 相干加強干涉相消的條件：干涉相消的條件：,.3 , 2 , 1 , 0,) 12()(2)(121020kkrr|21minAAAA2121min2IIIIIIcos22122212AAAAA其中：其中：)(2)(121020rr 相干相消)(2)(121020rr 當兩相干波源為同相波源時，相干條件寫為稱稱 為波程差為波程差,.3 , 2 , 1 , 0,12kkrr,.3 , 2 , 1 , 0,2) 12(12kkrr相干加強相干加強干涉相消干涉相消 解解: : 15m20mPAB例例1 如圖所示，如圖所示，A、B兩點為同一介質(zhì)兩相干波源。其頻兩點為同一介質(zhì)兩相干波源。其頻率皆為率皆為100