量子力學的矩陣形式和表象變換考試題優(yōu)秀課件

1、2021/3/291第五章第五章 量子力學的表象變換與量子力學的表象變換與矩陣形式矩陣形式 量子態(tài)的不同表象，量子態(tài)的不同表象， 幺正變換幺正變換 力學量的矩陣表示力學量的矩陣表示 力學量的表象變換力學量的表象變換2021/3/2925.1.1 坐標表象坐標表象通過坐標變換通過坐標變換,以引進量子力學中的以引進量子力學中的表象及表象變換表象及表象變換的概念的概念.表象表象: 量子力學中的量子力學中的態(tài)和力學量的具體表示方式稱為態(tài)和力學量的具體表示方式稱為表象表象.x1x2x1x2A1A1A2A2Ae1e2e1e2O平面坐標系平面坐標系x1和和x2的基矢的基矢e1和和e2，長度為長度為1，彼此正

2、交，即，彼此正交，即)2 , 1,( ),(jiijjiee（1）平面上的任何一個平面上的任何一個矢量矢量都可用它都可用它們來展開們來展開, 2211eeAAA（2）A1和和A2表示矢量表示矢量A在兩個分量坐標上的投影。在兩個分量坐標上的投影。5.1量子態(tài)的不同表象， 幺正變換2021/3/293假設另一個假設另一個x1x2直角坐標系，由直角坐標系，由 原來的坐標系順時針旋轉(zhuǎn)原來的坐標系順時針旋轉(zhuǎn)角角,其基矢為其基矢為e1e2, 滿足滿足)2 , 1,( ), (jiijjiee（1）在此坐標中，矢量在此坐標中，矢量A表示成表示成 2211eeAAA（2） 22112211eeeeAAAAA（

3、3）對上式分別用對上式分別用e1, e2點乘點乘) ()( ) ()(22212122121111eeeeeeeeAAAAAA（4）2021/3/294寫成矩陣的形式21212212211121cossinsincos)()() ()(AAAAAAeeeeeeee（5）2121)(AARAAR（）稱為）稱為變換矩陣元變換矩陣元，是兩個坐標系基矢之間的標積。當，是兩個坐標系基矢之間的標積。當R確定后，任何兩個坐標系之間的關(guān)系也就確定了。確定后，任何兩個坐標系之間的關(guān)系也就確定了。其轉(zhuǎn)置矩陣表示為cossinsincosR（6）x1x2x1x2A1A1A2A2Ae1e2e1e2O2021/3/29

4、5變換矩陣變換矩陣R與其轉(zhuǎn)置矩陣之間的關(guān)系為與其轉(zhuǎn)置矩陣之間的關(guān)系為1RRRR因為因為R=R，（7）2021/3/2965.1.2 Representation Theory (表象理論表象理論) 一個粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)一個粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)(r,t)來描述，來描述， 將將(r,t)稱為稱為坐標表象坐標表象。下面將討論用動量為。下面將討論用動量為變量變量描述波函描述波函數(shù)。數(shù)。 將將(r,t) 還可表示成還可表示成dpxtpcpdxpitpctxpxx)(),( )exp(),()2(1),(2/1在整個動量空間積分。在整個動量空間積分。c(p,t)為展開系數(shù)，為展開系

5、數(shù)， p(r )是動量是動量的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。 ),exp()2(1)(2/1xpixxp（11）（12） 2021/3/297顯然，顯然， c(p,t)描述的粒子態(tài)與描述的粒子態(tài)與(r,t)描述的粒子態(tài)同樣完整。描述的粒子態(tài)同樣完整。 已已知知c(p,t)，就可以求出，就可以求出(r,t)，反之也一樣。即，反之也一樣。即c(p,t)和和(r,t)描述描述的是粒子態(tài)同一個狀態(tài)。因此，將的是粒子態(tài)同一個狀態(tài)。因此，將c(p,t)稱為粒子態(tài)的稱為粒子態(tài)的動量表象。動量表象。 ,)(),()2(1),(2/1dxxtxtpcp如果已知如果已知(r,t) 就可以通過上式得到就可以通過上式得到c(

6、p,t)，反過來也成立，反過來也成立。 ,),(),(3232pdtcrdtpr（13）（14）2021/3/298 ,),()(,(3pdtcitcpppr那么在動量表象中，坐標的平均值可以表示為其它觀測量的平均值類似可表示出。 ,),()(,(3pdtcitcpppp2021/3/299如果如果(x,t)描述的狀態(tài)是動量描述的狀態(tài)是動量p的自由粒子的狀態(tài)的自由粒子的狀態(tài) ),exp()(),(tEixtxpp ,) ()()(),(tEiptEipppeppdxxextpc在動量表象中，具有在動量表象中，具有確定動量確定動量p 的粒子波函數(shù)是的粒子波函數(shù)是 函數(shù)。函數(shù)。2021/3/291

7、00, 00,)(xxAxexx例題：一維粒子運動的狀態(tài)是例題：一維粒子運動的狀態(tài)是解：由于波函數(shù)為歸一化，首先要對波函數(shù)進行歸一化解：由于波函數(shù)為歸一化，首先要對波函數(shù)進行歸一化1)(22dxAxedxxx33220224, 141AAdxexAx求求1）粒子動量的幾率分布；）粒子動量的幾率分布； 2）粒子的平均動量）粒子的平均動量)()!1(1001Ndxexx2021/3/29110, 00,4)(3xxxexx )()2(4),(2/13dxxxetpcpx 2 3dxexexpxx )p(1 2 2 2x3)(3dxxexpx)()!1(1001Ndxexx2021/3/2912 )

8、p(1 2)(2x3xpc動量的幾率分布為動量的幾率分布為 )p(1 2)(4x32xppcw動量的平均值為動量的平均值為)()(*xpxpxxexixexixp)1 (2)(4)(33dxexxixpxpx2203)(4)()(2021/3/2913 考慮任意力學量考慮任意力學量Q本征值為本征值為 1, 2, n,對應的正交本對應的正交本征函數(shù)征函數(shù) u1(x), u 2 (x), u n (x) , 則任意波函數(shù)則任意波函數(shù) （x）按）按Q的的本征函數(shù)本征函數(shù)展開為展開為 ),(),(xuatxnnn下標下標n表示能級表示能級，上式兩邊同乘以，上式兩邊同乘以u*m(x), 并積分并積分 ,

9、),()()(dxtxxutamm粒子態(tài)完全由粒子態(tài)完全由an完全集確定，即完全集確定，即能量表象能量表象。（16）（17）3. 能量表象能量表象2021/3/2914dxxuxutatadxtxnmnmmn)()()()(),(*,*2)()()()(*,*tatatatannnmnnmmn1),(2dxtx因為因為1)()(*tatannn所以所以2na是對應力學量是對應力學量Q取取不同能量本征值的不同能量本征值的幾率幾率2021/3/2915).(),.(),(),(321tatatatan數(shù)列可表示成一可表示成一列矩陣的形列矩陣的形式式)()()(21tatatan其共軛矩陣其共軛矩陣

10、為一行矩陣為一行矩陣),.(),.(),(*2*1*tatatan1因為波函數(shù)是歸因為波函數(shù)是歸一化的，表示成一化的，表示成2021/3/2916例題例題1：一維諧振子的能量表象中不同能量本征值的波函數(shù)：一維諧振子的能量表象中不同能量本征值的波函數(shù))21exp(240 xn=0:210Exx)21exp(21221n=1:231E.)21exp(212)21exp(4),(224xxxtx因為系統(tǒng)的波函數(shù)是正交歸一的波函數(shù)，表示為因為系統(tǒng)的波函數(shù)是正交歸一的波函數(shù)，表示為2021/3/2917 直角坐標系中，矢量直角坐標系中，矢量A的的方向方向由由i,j,k三個單位矢量三個單位矢量基基矢矢決定

11、，決定，大小大小由由Ax,Ay,Az三個分量（基矢的系數(shù)）決定。三個分量（基矢的系數(shù)）決定。在量子力學中，選定一個在量子力學中，選定一個F表象表象，將，將Q的本征函數(shù)的本征函數(shù)u1(x), u2(x), un(x),看作一組看作一組基矢基矢，有無限多個。，有無限多個。大小大小由由a1(t), a2(t), an(t),系數(shù)決定。系數(shù)決定。所以，所以，量子力學中態(tài)矢量所決定的空間是量子力學中態(tài)矢量所決定的空間是無限維的無限維的空間函數(shù)，空間函數(shù)，基矢是正交歸一的波函數(shù)基矢是正交歸一的波函數(shù)。數(shù)學上稱為。數(shù)學上稱為希爾伯特（希爾伯特（Hilbert）空間）空間.常用的表象有坐標表象、動量表象、能量

12、表象和角常用的表象有坐標表象、動量表象、能量表象和角動量表象動量表象總結(jié)總結(jié)2021/3/2918例題例題2 質(zhì)量為質(zhì)量為m的粒子在均勻力場的粒子在均勻力場f(x)=-F(F0)中運動，中運動，運動范圍限制在運動范圍限制在x 0, 試在試在動量表象動量表象中求解束縛態(tài)能級中求解束縛態(tài)能級和本征函數(shù)。和本征函數(shù)。解解： 勢能為勢能為V（x）Fx， 總能量為總能量為FxmPVTH22在動量表象中，在動量表象中，x的的算符表示為算符表示為xpipxex2/ 1)2(1)()()2(1)(2/1xxiexixdpdpxpipxdpdix2021/3/2919dpdFimPFxmPH2222定態(tài)的薛定諤

13、方程定態(tài)的薛定諤方程)()()(22pEpdpdFipmp )6(exp)(3EpmpFiApE可由貝塞爾函數(shù)解可由貝塞爾函數(shù)解出，基態(tài)能級為出，基態(tài)能級為3/1221)(8558. 1mFE2021/3/2920習題習題4.1 求在動量表象中角動量求在動量表象中角動量Lx的矩陣元和的矩陣元和L2x的矩陣元的矩陣元)(yzzyipzpyLyzx解：解：Lx在動量表象中的矩陣元在動量表象中的矩陣元rdrpzpyrrdrLrLpyzppxpxpp3*3*)()()()(rdezyizpypxpipzyx3)(*2/3)()2(1r第第一一項項2021/3/2921rdeypiizpypxpizpz

14、yx3)(2/3*)2(1)(r)()(3*ppzpzpyprdyprr第二項也可以導出，則第二項也可以導出，則Lx的矩陣元的矩陣元rdrzpyprLpyzpxpp3*)()(rdrpzpyrdxxLxLpyzppxpxpp32*2*2)()()()(2021/3/29224. 2算符的矩陣表示算符的矩陣表示設算符設算符F有如下關(guān)系有如下關(guān)系 ：),(),(txtxF在在Q表象中，表象中，Q的本征值分別為的本征值分別為Q1，Q2，Q3，Qn, 對應的本征函數(shù)分別為對應的本征函數(shù)分別為u1(x), u2(x), un(x),.將將 (x,t)和和 (x,t)分別在分別在Q表項中由表項中由Q的本征

15、函數(shù)展開的本征函數(shù)展開 ),(),(xuatxmnm ),(),(xubtxmmm代入上式代入上式，2021/3/2923),(),(txtxF )(xubmmm ),(xuaFmmm兩邊同乘以兩邊同乘以u*n(x), 并在整個空間積分并在整個空間積分 dx )()(*xuxubmmnm )()()(*dxxutaFxummmn利用本征函數(shù)利用本征函數(shù)un(x)的正交性的正交性)( tbbnmnmm )( )()(*tadxxuFxummmn2021/3/2924引進記號引進記號 )()(*dxxuFxuFmnnm )( )(nmtaFtbmmn這就是這就是),(),(txtxF在在Q表項中的

16、表述方式。表項中的表述方式。表示成矩陣的形式：表示成矩陣的形式：)()()()(212221121121tataFFFFtbtb2021/3/2925（23）矩陣矩陣Fnm的共軛矩陣表示為的共軛矩陣表示為 )()(*dxxuFxuFmnnm因為量子力學中的算符都是厄米算符，因為量子力學中的算符都是厄米算符，dxxuxuFdxxuFxuFnmmnnm)()( )()(* )()(*dxxuFxunmmnnmFF*即即將滿足該式的矩陣稱為將滿足該式的矩陣稱為厄米矩陣厄米矩陣2021/3/2926nmmnmnFFF*)( 若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個矩陣元素用它的共軛復數(shù)來代替，若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個矩陣元素

17、用它的共軛復數(shù)來代替，得到的新矩陣稱為得到的新矩陣稱為F的共軛矩陣的共軛矩陣nmmnFFFnm的轉(zhuǎn)置矩陣為的轉(zhuǎn)置矩陣為mnnmFF*根據(jù)厄根據(jù)厄米矩陣米矩陣的定義的定義所以所以mnmnFF5112F211251FF例如例如*21*121251)(FFF例如例如2021/3/2927例題例題 （習題（習題4.2）求一維無限深勢阱中粒子的）求一維無限深勢阱中粒子的坐標和坐標和動量動量在能量表象中的矩陣元在能量表象中的矩陣元能量表象能量表象xana2sin122228 anEnxdxamxanxaxdxamxxanaxmn)2sin()2sin(1)2sin()2sin(1xdxaxax2sin12

18、11xdxaxaxax22sin2sin112xdxaxaxax2sin22sin121xdxaxax222sin12021/3/2928xdxamxxanaixpmn)2sin()2sin()(dxxamxanaim)2cos()2sin(22xdxaxaaip2cos2sin2211xdxaxaaip22cos2sin212xdxaxaaip2cos22sin2221xdxaxaaip22cos22sin2222021/3/2929(x)dx)(x)dx)(mnmnuQxuQuxuQmnmQ在自身表象中的矩陣元在自身表象中的矩陣元)()(xuQxQummmQm為為Q在自身空間中的的在自身空

19、間中的的本征值本征值nmmmQuxuQ(x)dx)(mn如如X在坐標空間中在坐標空間中可表示為可表示為) (xxxxmn)(dx(x)(ppppppxp動量動量p在動量在動量空間中表示為空間中表示為結(jié)論：算符在自身的表象中是一個對角矩陣結(jié)論：算符在自身的表象中是一個對角矩陣2021/3/2930一維無限深勢一維無限深勢阱能量表象中阱能量表象中能量的矩陣元能量的矩陣元00002. 1EEEmn一維諧振子能一維諧振子能量表象中能量量表象中能量的矩陣元的矩陣元02500023mnE2021/3/2931 兩個矩陣的和為兩個矩陣的分量之和。設兩個矩陣的和為兩個矩陣的分量之和。設C為兩矩陣之和為兩矩陣之

20、和 Cmn=AmnBmn （42）兩矩陣之積兩矩陣之積kknmkmnBAC矩陣矩陣Fpp是動量空間。矩陣是動量空間。矩陣F（Fmnmn）稱為）稱為對角矩陣對角矩陣（diagonal matrix ）,當當Fmn=1, 稱為單位矩陣（稱為單位矩陣（unit matrix）,表示為表示為I(mn).在動量空間中，在動量空間中，算符算符F的矩陣元的矩陣元dx(x)(ppFxFPP2021/3/29324.3 量子力學公式的矩陣表述量子力學公式的矩陣表述1. 平均值公式平均值公式nnnxutatx)()(),(mmmxutatx)()(),(*dxxutaFxutatxFtxFnnmnmm)()()(

21、)(),(),(*,*)()()()(*,*tdxaxuFxutannmnmmnmnmnmtaFtaF,*)()(2021/3/2933寫成矩陣形式寫成矩陣形式)()().(),.(),(2122211211*2*1tataFFFFtatataFm（51）簡寫為簡寫為FF2021/3/2934例題例題 求一維無限深勢阱中，當求一維無限深勢阱中，當n=1和和n=2 時粒子時粒子坐標坐標的平均值的平均值解：解：xaaxaa22sin12sin1*xdxaxax2sin1211xdxaxaxax22sin2sin112xdxaxaxax2sin22sin121xdxaxax222sin1)()().

22、(),.(),(2122211211*2*1tataxxxxtatataxm2021/3/29352. The Eigenvalue Problem 在量子力學中最重要的問題是找算符的本征值和本征函數(shù)。在量子力學中最重要的問題是找算符的本征值和本征函數(shù)。首先，算符首先，算符F的本征函數(shù)滿足的本征函數(shù)滿足)()(xxF（54）（55）)()()()(212122211211tatatataFFFF0)()(2122211211tataFFFFFnn2021/3/29360)()(nnmnmntaaF有有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零非零解的條件是其系數(shù)行列式為零0)det(knknaA（60）這

23、是一個線性齊次代數(shù)方程組這是一個線性齊次代數(shù)方程組0212222111211nnnnnnFFFFFFFFF這是一個這是一個久期（久期（secular）方程）方程。將有。將有 1， 2 . n n個解個解,就是就是F的本征值。的本征值。2021/3/2937例題：例題： 求算符求算符x在下面波函數(shù)中的本征值在下面波函數(shù)中的本征值, -a,a區(qū)間區(qū)間解：解：200*11xaxa則,1)()()()(0*22*11atatatata011dxxxxxaa521252adxxxxx522152adxxxxx02222dxxxxx2021/3/29380000551111052520aaaaaa0115

24、2520055aaaa該行列式有解的條件是其系數(shù)行列式為零該行列式有解的條件是其系數(shù)行列式為零102254a兩個本征值分別為兩個本征值分別為552a2021/3/29393.矩陣形式的薛定諤方程矩陣形式的薛定諤方程The Schrdinger Equation in Matrix Form薛定諤方程薛定諤方程Hti（77）不顯含時間的波不顯含時間的波函數(shù)的函數(shù)的能量表象能量表象nnEH（78）波函數(shù)根據(jù)哈密頓本征函數(shù)展開波函數(shù)根據(jù)哈密頓本征函數(shù)展開nnnxutatx)()(),(（79）代入薛定諤方程代入薛定諤方程)()()(xutaHxutainnnnnn（80）2021/3/2940兩邊同

25、乘以兩邊同乘以mu并積分并積分)()(taHttaimmnnm（81）（82）)()()()()(*tadxxuHxudxxuxutainnnmnmnn)()()()(212221121121tataHHHHtatadtdiHdtdi簡寫為簡寫為H， 均為矩陣元。均為矩陣元。2021/3/2941例題例題： 求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)線性諧振子線性諧振子的總能量為的總能量為222212xmmpHx解法一：在動量表象中，解法一：在動量表象中，x的算符表示為：的算符表示為：dpdix則則H算符算符表示為表示為2222222dpdmmpH定態(tài)的薛定定

26、態(tài)的薛定諤方程寫為諤方程寫為)()(21)(222222pEcpcdpdmpcmp2021/3/2942c（p）是動量表象中的本征函數(shù)）是動量表象中的本征函數(shù)0)()2(1)(2222222pcmpEmpcdpdm仿照一維諧振子坐標空間的求解方法可解出仿照一維諧振子坐標空間的求解方法可解出c(p)。解法二解法二 ,)(),()2(1),(2/1dxxtxtpcp ,)()2(1),(22212/1dxexHeNtpcxpinxnx2021/3/2943 ,)()2(),()21(2/122dxxHeNtpcnxpixnx當n0時， 1)2(),()21(2/10022dxeNtpcxpixx

27、2)2(),()21(2/11122xdxeNtpcxpixx2021/3/2944討論從一個表象變換到另一個表象的一般情況。討論從一個表象變換到另一個表象的一般情況。設算符設算符A的正交歸一的本征函數(shù)的正交歸一的本征函數(shù)1(r ) ， 2(r )， n(r );設算符設算符B的正交歸一的本征函數(shù)的正交歸一的本征函數(shù) 1(r ) ， 2(r )， n(r );)()(rrnnnAA（64）)()(rrBB（66）1. Unitary Transformation（幺正變換）（幺正變換）dVFrFnmmn)(（65）算符算符F在在A表象中表象中dVFrF)(（67）算符算符F在在B表象中表象中2

28、021/3/2945確定確定Fmn與與F之間聯(lián)系的轉(zhuǎn)換矩陣之間聯(lián)系的轉(zhuǎn)換矩陣。將算符將算符B的本征函數(shù)的本征函數(shù) (x)用算符用算符A的本征函數(shù)的本征函數(shù) n(x)展開。展開。nnnS兩邊同乘以兩邊同乘以 并積分得并積分得mmnnnmSdx（69）（68）mmmS*dxSnn同理同理dxSmm*2021/3/2946nnmnnnnmmdVFSSdxSFSFmmnnmnSFSFm（70）dVFrF)()()(mmSS（71）應用厄密共軛矩陣性質(zhì)應用厄密共軛矩陣性質(zhì)nmmnLL2021/3/2947得到算符在兩個表象中的變換矩陣得到算符在兩個表象中的變換矩陣nmnmnmSFSF)( )()()(,

29、簡寫為簡寫為SFSFAB這就是力學量這就是力學量F從從A表象變換到表象變換到B表象的變換公式。表象的變換公式。（72）2021/3/2948dVSSdVnnnmmmmmmmmmSSSSSS)(因為因為和和都是正交歸一都是正交歸一的波函數(shù)，的波函數(shù)，nnnS（68）mmmS*mnmnnmSS,2021/3/2949S與與S+的積等于單位矩陣。即的積等于單位矩陣。即SS+I, S+S-1（74） 將滿足上式的矩陣稱為將滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣幺正矩陣, 由幺正矩陣表示的變換稱幺正矩陣表示的變換稱為為幺正變換幺正變換.物理意義物理意義: 在不同的表象中在不同的表象中幾率是守恒的幾率是守恒的。如果一

30、個粒子在態(tài)。如果一個粒子在態(tài)n中的幾率為中的幾率為1， 在態(tài)在態(tài)n中的幾率為中的幾率為 Sn 2,那么那么, S1 2, S2 2, Sn 2,給出粒子在態(tài)給出粒子在態(tài)n中出現(xiàn)的幾率分布。下面的式子必定成立。中出現(xiàn)的幾率分布。下面的式子必定成立。12nnnnnSSS（75）2021/3/2950例題：例題： 求轉(zhuǎn)動矩陣求轉(zhuǎn)動矩陣R( ）的特征值、特征矢量和幺正變換矩陣）的特征值、特征矢量和幺正變換矩陣.cossinsincos)(R解：設在解：設在A表象中表象中B表象中特征矢為表象中特征矢為21bbB本征值為本征值為 2121cossinsincosbbbbiiee21,代入原方程，求代入原方

31、程，求解解b1、b2 2021/3/2951121, 1,121iBbib歸一化當ieieiBibb121, 1221歸一化變換矩陣變換矩陣iiBBS112121iiS11212021/3/2952下面討論態(tài)矢量下面討論態(tài)矢量 u(x,t)從從A表象變換到表象變換到B表象的公式表象的公式)()(),(xtatxunnn)()(),(xtbtxudxtxuSxmmm),()(*)(*taSmmm)(taSmmmb=S+adxtxuxtb),()()(*mmmS*2021/3/2953總結(jié)：幺正變換的性質(zhì)總結(jié)：幺正變換的性質(zhì)1）幺正變換不改變算符的本征值）幺正變換不改變算符的本征值設算符設算符F在

32、在A表項中的本征值方程為表項中的本征值方程為aaAFa為態(tài)矢為態(tài)矢aSSFSbSFSbFAAB111)()(將將F和和a從從A表象變換到表象變換到B表象表象SFSFAB1在B表象象中因為b=S+a S1abaSaSaFSA111bbFB2021/3/29542）幺正變換下，）幺正變換下， 矩陣的矩陣的跡跡（trace) 不變。用不變。用TrF表示，定義表示，定義為矩陣的對角單元之和。那么為矩陣的對角單元之和。那么TrFA=TrFB, 矩陣的積不依賴于特別的表象矩陣的積不依賴于特別的表象。2021/3/29555.4 狄喇克符號狄喇克符號 在經(jīng)典力學中，體系的運動規(guī)律與所選取的坐標是無在經(jīng)典力學

33、中，體系的運動規(guī)律與所選取的坐標是無關(guān)的，坐標是為了處理問題方便才引進的。關(guān)的，坐標是為了處理問題方便才引進的。同樣，在量子力學中，粒子的運動規(guī)律與選取的表象無關(guān)，同樣，在量子力學中，粒子的運動規(guī)律與選取的表象無關(guān)，表象的選取是為了處理問題方便。表象的選取是為了處理問題方便。 在經(jīng)典力學中，常用矢量的形式討論問題，并不指明坐在經(jīng)典力學中，常用矢量的形式討論問題，并不指明坐標系。標系。 同樣，量子力學中描述態(tài)和力學量，也可以不用坐標系。同樣，量子力學中描述態(tài)和力學量，也可以不用坐標系。這樣一套符號稱為這樣一套符號稱為狄喇克符號狄喇克符號。2021/3/29561.右矢右矢 (ket) 和左矢（和

34、左矢（bra） 左矢左矢 表示右矢的表示右矢的共軛共軛，例如，例如 ，表示為表示為的共的共軛態(tài)矢。軛態(tài)矢。 的共軛態(tài)矢。的共軛態(tài)矢。 量子體系的一切可能的態(tài)構(gòu)成一個量子體系的一切可能的態(tài)構(gòu)成一個Hilbert空間，空間， Hilbert是一個以復量為基的一個有限的或無限的、完全的矢量空間是一個以復量為基的一個有限的或無限的、完全的矢量空間。 2.標積標積在在Hilbert空間中。一個標積空間中。一個標積(scalar product)定義為一對函數(shù)定義為一對函數(shù)和和的乘積。的乘積。標積記為標積記為 一個量子態(tài)用右矢一個量子態(tài)用右矢 來表示。例如用來表示。例如用 表示波函數(shù)表示波函數(shù)描述描述的狀

35、態(tài)。的狀態(tài)。2021/3/2957標積運算規(guī)則：標積運算規(guī)則：)(dV)(dV . 1*)dVbdVa)dVb(aor baba . 22*1*21*2121若若 0，則稱，則稱正交。正交。若若 1，則稱，則稱 為歸一化態(tài)矢。為歸一化態(tài)矢。mnmnmd . 3n*表示態(tài)矢是正交歸一的完備系表示態(tài)矢是正交歸一的完備系2021/3/2958例題例題：軌道角動量：軌道角動量l=r p，證明在，證明在lz的任何一個本征的任何一個本征態(tài)下，態(tài)下，lx和和ly的平均值為零的平均值為零證明證明：設：設 m為為lz=的本征態(tài)，屬于本征值狀態(tài)為的本征態(tài)，屬于本征值狀態(tài)為m mzmmmzmlml,因為對易關(guān)系因為

36、對易關(guān)系xyzzylillll態(tài)下求平均值在mmyzmmzymxllllli2021/3/29590mymmymlmlm類似地，利用對易類似地，利用對易關(guān)系關(guān)系yzxxzlillll可以證明可以證明0,yml態(tài)下在2021/3/2960|A在在Q表象中的分量為表象中的分量為a1(t), a2(t),., 和和| B在同一個表象在同一個表象Q中的標記中的標記nanAnnAnnnnbnBnnBnnnnaBnAnnBABnnn*)(.)()().)()(21*2*1*tatatbtbabnnn2021/3/29653. 算符在具體表象中的狄喇克表示方法算符在具體表象中的狄喇克表示方法設算符設算符F存

37、在如下關(guān)系存在如下關(guān)系AFB將態(tài)矢將態(tài)矢A、B分別在分別在Q表象中展開表象中展開AnnAnBnnBnAnnFBnnnn用用|m左乘上式，再利用正交性左乘上式，再利用正交性AnnFmBnnmnn2021/3/2966AnnFmBmnnFmFmn則則稱為算符稱為算符F在在Q表象中的矩表象中的矩陣元陣元nnmnmaFtb)(nmFnnABmmB)(*2021/3/2967例題例題 薛定諤方程薛定諤方程EH表示為表示為Hti兩邊左乘以兩邊左乘以，計算，計算x, p，x2，p2的平的平均值及均值及 x、 p。),(2aamx解：因為解：因為),(2aamip)111()(11nnnnCnaaCnx)11

38、1()(22nnnnCnaaCnp0)111(1nnnnnCnxnx利用正交性，同樣得到利用正交性，同樣得到0p2021/3/2982),12()(2222122naaCaamx),12()(2222222naaCaampx利用正交性，得到利用正交性，得到0, 022nannan)21(22nmnxnx)21(22nmnpnp2021/3/2983)21()(222nmxxx)21()(222nmppp)21( npx對于基態(tài)，對于基態(tài)，n=0，剛好是測不準關(guān)系的下限，剛好是測不準關(guān)系的下限2021/3/29844. Interpretation of and +我們知道諧振子的能量是等間隔的

39、我們知道諧振子的能量是等間隔的, n所具有的能量大于所具有的能量大于n, 將該能量分成將該能量分成n份，一份稱為份，一份稱為聲子聲子(phonons), 那么將那么將n稱為稱為n聲聲子態(tài)子態(tài)(n-phonon state), n中表示聲子數(shù)中表示聲子數(shù),0零聲子態(tài)零聲子態(tài)(zero-phonon state)，稱為，稱為真空真空. 11 ,1nnnannna（66）解釋解釋: 如果如果 作用于波函數(shù)作用于波函數(shù), 則湮滅則湮滅(annihilate)了一個聲子了一個聲子, 因因而稱為而稱為湮滅算符湮滅算符; +作用于函數(shù)作用于函數(shù), 則產(chǎn)生一個聲子則產(chǎn)生一個聲子, +產(chǎn)生算符產(chǎn)生算符. 202

40、1/3/2985由于由于nnnNN稱為聲子數(shù)算符稱為聲子數(shù)算符(phonon number operator), （67）諧振子波場中的量子正是聲子諧振子波場中的量子正是聲子. 如果與光子相類比的話如果與光子相類比的話, 就更清就更清楚了楚了. |3 Annihilation of a phonon +2 |1 Creation of two ohonons諧振子的能級和聲子的湮滅、產(chǎn)生示意圖諧振子的能級和聲子的湮滅、產(chǎn)生示意圖En/7/25/23/21/2x2021/3/2986計算計算a,a+, a,a+a, a+,a+a2021/3/29875.6力學量隨時間的演化力學量隨時間的演化厄米

41、算符 L其平均值為dVLL（1） 因為因為波函數(shù)和算符都是時間相關(guān)波函數(shù)和算符都是時間相關(guān)的，的， 則平均值則平均值也是時間相關(guān)的。也是時間相關(guān)的。dVtLLtdVtLLdtd)(（2）第一項表示算符第一項表示算符L的瞬時偏導數(shù)的平均值，的瞬時偏導數(shù)的平均值， 第二項積分則利用第二項積分則利用（3）HitHit ,應用算符應用算符H的厄密性得到的厄密性得到H =E 2021/3/2988dVLHidVtLLdtd,（4）簡化為簡化為,LHitLLdtd（5）結(jié)論：結(jié)論： 平均值隨時間的變化就等于平均值隨時間的變化就等于 的平均值的平均值。LdtLd /若若 L 不顯含時間，即不顯含時間，即0t

42、L（6）,LHiLdtd0,HL如果如果則則0dtLd2021/3/29896.2 Ehrenfests Theorem考慮坐標、動量的時間導數(shù)都不顯含時間，則下式成立考慮坐標、動量的時間導數(shù)都不顯含時間，則下式成立 ,xHidtxd,xxpHidtpd對其它分量， 有類似的成立。為了考察它們的對易性，我們考慮粒子在一個勢壘中，其哈密頓量為),()(21222zyxVpppmHzyx2021/3/2990)(21,(21,22xxxxpxipxpmxpmxHxVipzyxVpHxx),(,xV-dtp d ,xmpdtxdx位置和動量之間的關(guān)系與經(jīng)典力學中位置和動量之間的關(guān)系與經(jīng)典力學中的坐標與動量之間的關(guān)系一致。的坐標與動量之間的關(guān)系一致。 ,xHidtxd,xxpHidtpdmpipxpippximxxxxx)(2122021/3/2991xxxFmpdtxdxV-dtp d ,x形式與經(jīng)典的牛頓方程相似。形式與經(jīng)典的牛頓方程相似。對三維的位置和動量，有對三維的位置和動量，有)()(V-dtd ,rrrpvprFVmdtd這就是這就是Ehrenfests theorem )(dtd 22rprFdtdm2021/3/29926.3 Laws of Conse