電動力學 郭碩鴻 第三 電動力學的相對論不變性PPT學習教案

1、會計學1電動力學電動力學 郭碩鴻郭碩鴻 第三第三 電動力學的相對論電動力學的相對論不變性不變性Relativity Theory of Electromagnetic Law回答問題：電磁運動的規(guī)律，比如Maxwells equations和電磁波的波動方程，在不同的慣性系中具有是否有相同的形式？電磁場在不同的參考系中如何變換？第1頁/共35頁 本節(jié)主要是研討電磁規(guī)律的Lorentz協變性，即Maxwells equations表示成四維張量形式。第2頁/共35頁 電荷是洛倫茲標量，即電荷是洛倫茲標量，即 ，但電荷密度與體積有關，但電荷密度與體積有關，必然是一個可變量（設靜止密度為必然是一個可

2、變量（設靜止密度為 ，它是一不變量）。，它是一不變量）。QQ 0系觀察者測量帶電體密度分布為系觀察者測量帶電體密度分布為，體積為，體積為dV，ddQV由長度由長度收縮：收縮：220dd1uVVc 00221uuc 設帶電體與設帶電體與固連，運動速度為固連，運動速度為 ，0, 0ddVV v0220dddd1QQVuVc第3頁/共35頁0uJuu ， 而四維速度而四維速度( ,)uUu ic引入引入4004uJicicU 則可引入四維電流密度則可引入四維電流密度0JU 顯然它是四維矢量，它將顯然它是四維矢量，它將, J統一為整體，滿足洛倫茲變換統一為整體，滿足洛倫茲變換JaJ 具體形式具體形式1

3、1223312()()JJJJJJJc 對對系系( ,)JJic4uUic第4頁/共35頁vvJa J 000100 001000 xxyyzzJJiJJJJiicic第5頁/共35頁0Jt()()yxzJJJicJtxyzict000100001000()()xxiyyzziictict000100 001000 xxyyzzJJiJJJJiicic()?()yxzJJJicJtxyzict 第6頁/共35頁000100001000()()xxiyyzziictict000100 001000 xxyyzzJJiJJJJiicic ()xyzJJJtxyzictJic 000100 0010

4、()()00ixyzictxyzicti()()yxzJJJicJtxyzict 第7頁/共35頁 ()xyzJJJtxyzictJic 000001000100 00100010()0000 0()xyzxyzJiiJxyzictJiiicJJJxyzicttJic 第8頁/共35頁44,Jicxict其中其中:0Jx0Jt所以上式是協變的，在任意一個參考系中成立。第9頁/共35頁22022222201 1 AAJctct 210Act22221ctxx 2000 AJc 由上式得到一個啟發(fā)：若將勢的意義引伸一下，將 的方程一起概括在一個形式統一的方程里。并把 看做空間部分， 看做時間部分，

5、即構成一個四維矢量A.A和ciA第10頁/共35頁( ,)JJ ic),(ciAA0 x22221ctxx 200 AJc 00 iAJicc 210Act0AJ 第11頁/共35頁2xxyyzzxv()cv變換關系),(ciAAciAAAiiciAAAzyxzyx 000100001000第12頁/共35頁ABtAE)()()(433434224241141xAxAicExAxAicExAxAicE211231331232231xAxABxAxABxAxABvvxAxA與當A構成四維矢量時, 都構成四維張量，因此vvvxAxAF也是四維張量第13頁/共35頁vvvAAFxx312411111

6、3124222221234312433333312444444 , AAAAxxxxxAAAAxxxxxA AAAAAAAxxxxxAAAAxxxxx1111123422221123423123433334123444441234 1111, AAAAxxxxAAAAAxxxxAAxxxxAAAAAxxxxAAAAxxxx311211411112131411312222212222123431234344- - - - - -1111,AAAAAAAAxxxxxxxxxAAAAAAAxxxxxxFA AAAAxxxxxAx242324333331243132333431424444414243

7、44 - - - - - - -AAAxxxAAAAAAAAxxxxxxxxAAAAAAAAxxxxxxxx第14頁/共35頁311211411112131411312222212222123431234344- - - - - -1111,AAAAAAAAxxxxxxxxxAAAAAAAxxxxxxFA AAAAxxxxxAx24232433333124313233343142444441424344 - - - - - - -AAAxxxAAAAAAAAxxxxxxxxAAAAAAAAxxxxxxxx)()()(433434224241141xAxAicExAxAicExAxAicE211

8、231331232231xAxABxAxABxAxAB 0000321312213123EciEciEciEciBBEciBBEciBBFv第15頁/共35頁 0000321312213123EciEciEciEciBBEciBBEciBBFv)()()(433434224241141xAxAicExAxAicExAxAicE211231331232231xAxABxAxABxAxAB反對稱張量反對稱張量第16頁/共35頁0EJtEB0000FxJ 0000321312213123EciEciEciEciBBEciBBEciBBFv當=1,2,3，上式表示 021EBJct0E 4上式表示第1

9、7頁/共35頁0FFFxxx同理合起來，寫成0BEtB 00BEtB 0000321312213123EciEciEciEciBBEciBBEciBBFv2,3,43,4,1 04,1,2BvEt得到這里,v,取值輪換: =1,v=2,=3 ; v=1，=2，=3 ; =1, =2, v=3，得到0B第18頁/共35頁vvvAAFxx3124111113124222221234312433333312444444 , AAAAxxxxxAAAAxxxxxA AAAAAAAxxxxxAAAAxxxxx1111123422221123423123433334123444441234 1111, A

10、AAAxxxxAAAAAxxxxAAxxxxAAAAAxxxxAAAAxxxx311211411112131411312222212222123431234344- - - - - -1111,AAAAAAAAxxxxxxxxxAAAAAAAxxxxxxFA AAAAxxxxxAx24232433333124313233343142444441424344 - - - - - - -AAAxxxAAAAAAAAxxxxxxxxAAAAAAAAxxxxxxxx第19頁/共35頁1112221234131234334440001001111,001000 xxAixAxFA AAAA AAxxxx

11、xxiAxx23412312344000100,0010000001001111 ,001000iAAiAiAAxxxxiA 000100001000ii11221234312343440000010001001111,001000100000 xAiixAFA AA AaAxxxxxiiAx Fa 第20頁/共35頁 0000321312213123EciEciEciEciBBEciBBEciBB32131221312300 0001 00 00 1000 00iBBEciiBBEciBBEciiiiEEEccc000100001000ii第21頁/共35頁)()( )()(22yzzzyy

12、xxyzzzyyxxEcvBBEcvBBBBvBEEvBEEEE 0000321312213123EciEciEciEciBBEciBBEciBB32131221312300 0001 00 00 1000 00iBBEciiBBEciBBEciiiiEEEccc000100001000ii第22頁/共35頁 由此可以看出：電場和磁場不再彼此獨立，當坐標系變換時, 不是各自獨立地，而是混合地變換。在一慣性系中純粹是電場或磁場的在另一慣性系中必定是電場和磁場的混合，不可能將某一慣性系中的純粹的靜電場變換到另一慣性系中純粹的靜磁場。EB和 如果把電磁場按平行和垂直于相對運動速度的方向分解，則電磁場

13、的變換式可寫成：/2 1()()BBEEBBvEEEvBc 當vc時，上式過渡到非相對論電磁場變換式2 vEEvBBBEc第23頁/共35頁 至此，關于電磁現象的參考系問題完全得到解決，電動力學基本方程式對任意慣性參考系成立。在坐標變換下，勢按四維矢量變換，電磁場按四維張得變換。v例1 求勻速 運動的帶電荷為e的粒子的電磁場。Solution: 設系的原點固定在粒子上，則該粒子相對于系是靜止的，因而只有靜電場，其電磁場強度為301 , 0.4erEBr再設系為實驗室參考系，系隨著粒子相對于系沿x軸的速度 運動，由電磁場變換式則有v第24頁/共35頁)()( )()(22yzzzyyxxyzzz

14、yyxxEcvBBEcvBBBBBvEEBvEEEE301 , 0.4erEBr由于 故得0B 3203032030304141414104rcyveBrzeErczveBryeEBrxeEzzyyxx第25頁/共35頁r現在，必須把 用系中的坐標表示，我們在t=0時刻在系中測量空間的場, 于是, 根據Lorentz變換，我們有 , , xxyyzz所以從系的原點到觀察點的距離 可表示成r1 2222222( )( )yzrxyzx這樣，系中的電場強度為3 20222214( )( )erEyzx第26頁/共35頁3 20222214( )( )erEyzx223 222022221(1)4(

15、1)evcrvvrxcc223 2202221(1)4(1)()evcrvv rrcc 系中的磁場強度為2vBEc第27頁/共35頁03230, 44evrervEEBErcr靜電場30 ()42erEEr靜電場223 2202221(1)4(1)()evcrEvv rrcc 2vBEc2)(cv討論：討論：當vc時，略去 級項，得到v0v r 當 v c 時，在與 方向上（即 ）在與 /的方向上，（即 ）vvrrv2230(1) (0)4verEEcr靜電場第28頁/共35頁 BBEEv第29頁/共35頁.121222EcBFF4、電磁場不變量、電磁場不變量從電磁場張量出發(fā)，我們可以得到一些電磁場的不變量。即18iF FB Ec 利用全反對稱張量，可以由電磁場張量構成另一個不變量第30頁/共35頁cEB 根據這兩個不變量，可得如下結論：a) 若在某一慣性參考系中 ，則在任何慣性系中將同樣有 cEB b) 若在某一慣性參考系中 垂直，那么在任何慣性參考系中， 永遠垂直；BE和EB和cEB EB 真空中的平面電磁波 ，而且 ，這個性質是不隨參考系不同而改變的。.121222EcBFF18iF FB Ec 第31頁/共