理學席第講隨機變量數(shù)字特征PPT學習教案

1、會計學1理學席第講隨機變量數(shù)字特征理學席第講隨機變量數(shù)字特征 在前面的課程中，我們討論了隨機變量在前面的課程中，我們討論了隨機變量的分布，隨機變量的分布能夠完整地描述隨的分布，隨機變量的分布能夠完整地描述隨機變量的行為。機變量的行為?，F(xiàn)在我們開始學習隨機變量的數(shù)字特征現(xiàn)在我們開始學習隨機變量的數(shù)字特征討論隨機變量的數(shù)字特征的原因如下：討論隨機變量的數(shù)字特征的原因如下：第1頁/共65頁 在實際問題中，隨機變量的概率分布一般是在實際問題中，隨機變量的概率分布一般是較難確定的。而它的一些數(shù)字特征較易確定，較難確定的。而它的一些數(shù)字特征較易確定，人們只需要知道它的某些數(shù)字特征人們只需要知道它的某些數(shù)字

2、特征. 在在實際應用中，人們有時更關(guān)心概率分布的實際應用中，人們有時更關(guān)心概率分布的數(shù)字特征數(shù)字特征.第2頁/共65頁 此外，對于一些常見分布，此外，對于一些常見分布，如二項分如二項分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等，其中的參數(shù)恰好是分布的其中的參數(shù)恰好是分布的某些某些數(shù)字特征數(shù)字特征.只要能夠確定分布的數(shù)字特征，也就能夠只要能夠確定分布的數(shù)字特征，也就能夠完全確定分布完全確定分布.第3頁/共65頁 在這一章中，我們主要研究以下數(shù)字特征在這一章中，我們主要研究以下數(shù)字特征:數(shù)學期望數(shù)學期望，方差方差, 相關(guān)系數(shù)和矩相關(guān)系數(shù)和矩下面先討論下面先討論數(shù)學期望數(shù)學

3、期望第4頁/共65頁一、離散型隨機變量的數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望 例例1 某車間對工人的生產(chǎn)情況進行考察某車間對工人的生產(chǎn)情況進行考察. 車工車工小馬每天生產(chǎn)的廢品數(shù)小馬每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機變量是一個隨機變量. X的分布律為的分布律為2 , 1 , 0,)(ipiXPi 現(xiàn)觀測現(xiàn)觀測N天天，發(fā)現(xiàn)有，發(fā)現(xiàn)有n0天出現(xiàn)天出現(xiàn)0個廢品，個廢品，有有n1天出現(xiàn)天出現(xiàn)1個廢品，有個廢品，有n2天出現(xiàn)天出現(xiàn)2個廢品。個廢品。求小馬求小馬平均一天平均一天生產(chǎn)的廢品數(shù)生產(chǎn)的廢品數(shù)第5頁/共65頁N天中天中小馬生產(chǎn)的廢品總數(shù)為小馬生產(chǎn)的廢品總數(shù)為210210nnn于是于是小馬小馬平均一天平均

4、一天生產(chǎn)的廢品數(shù)為生產(chǎn)的廢品數(shù)為20210210iiNniNnnnni / N是事件是事件X=i 發(fā)生發(fā)生的頻率，當?shù)念l率，當N 很大時，它很大時，它穩(wěn)定于事件穩(wěn)定于事件X=i 的概率的概率pi第6頁/共65頁20iipi 當試驗次數(shù)當試驗次數(shù)N很大時，隨機變量很大時，隨機變量X的觀測的觀測值的算術(shù)平均值穩(wěn)定于值的算術(shù)平均值穩(wěn)定于因此因此可以作為描述隨機變量可以作為描述隨機變量X 取值的加權(quán)平均狀取值的加權(quán)平均狀況的數(shù)字特征。況的數(shù)字特征。 20iipi第7頁/共65頁定義定義1 設設X是離散型隨機變量，它的分布律是離散型隨機變量，它的分布律為為: P(X=xk)=pk , k=1,2,1)(

5、kkkpxXE1kkkpx如果如果絕對收斂，絕對收斂，則稱它為則稱它為X的數(shù)學期望的數(shù)學期望 或均值，記為或均值，記為E(X), 即即 若若kkkpx發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱X 的數(shù)學期望的數(shù)學期望不存在。不存在。第8頁/共65頁例例2：已知已知X 的分布如下的分布如下 X100 200 P0.01 0.99 求求E(X)解解:99.020001.0100)(XE第9頁/共65頁2、幾種常見離散型分布的數(shù)學期望、幾種常見離散型分布的數(shù)學期望 1） 兩點分布兩點分布 例例3：設隨機變量設隨機變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p 的兩點的兩點分布，求分布，求E(X)解解:pXPXPXE) 1(1)0(0)(

6、2） 二項分布二項分布 例例4：設隨機變量設隨機變量X b(n,p)，求，求E(X)計算如下計算如下:第10頁/共65頁npqpnpqpknknnpqpknknkkXPkXEnnkknkknnkknk11110)()!()!1()!1()!( !)()(第11頁/共65頁 3）泊松分布泊松分布例例5：設隨機變量設隨機變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分的泊松分 布，求布，求E(X)(見書見書 p114-115 的例的例6)第12頁/共65頁例例6 某人的一串鑰匙上有某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串

7、鑰匙中的某一把去開門鑰匙中的某一把去開門. 若每把鑰匙試開一次若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學期望后除去，求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學期望.解解: 設試開次數(shù)為設試開次數(shù)為X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,nE(X) nknk112)1 (1nnn21n于是于是第13頁/共65頁二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望 設設X是連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為 f (x). 我們的目的是：尋找一個能體現(xiàn)隨機變我們的目的是：尋找一個能體現(xiàn)隨機變量取值的平均的量量取值的平均的量. 為此為此, 只要把前面的求和只要把前面的求和改成積分即可

8、改成積分即可.第14頁/共65頁1、定義、定義 設設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)數(shù) 為為 f (x),如果如果dxxfx)(|有限有限, 則定義則定義X的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為dxxfxXE)()(若若dxxfx)(|則稱則稱 X 的數(shù)學期望不存在的數(shù)學期望不存在第15頁/共65頁 例例7 設設XU(a,b)，求，求E(X) (見書見書 p115 的例的例7)2、常見的連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望、常見的連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望例例8 設設X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，求求E(X)解解:1)(0dxexXEx例例7 設設XU(a,b)，求，求E(X) (

9、見書見書 p115 的例的例7)2、常見的連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望、常見的連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望第16頁/共65頁 例例9 若若X服從服從),(2N，求，求E(X)解解:dxxxXE2)(exp21)(22第17頁/共65頁 例例10 設設X 的概率密度為的概率密度為 其他, 010,101,1)(xxxxxf求求E(X)0110)1 ()1 ()()(dxxxdxxxdxxxfXE解解:第18頁/共65頁三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 1. 問題的提出：問題的提出： 設已知隨機變量設已知隨機變量X的分布，我們需要的分布，我們需要計算的不是計算的不是X的數(shù)學期望，而是的數(shù)學

10、期望，而是X的某個函的某個函數(shù)的數(shù)學期望，比如說數(shù)的數(shù)學期望，比如說g(X)的數(shù)學期望的數(shù)學期望. 那么應該如何計算呢？那么應該如何計算呢？第19頁/共65頁 一種方法是，因為一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，也是隨機變量，故應有概率分布，它的分布可以由已知的故應有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來的分布求出來. 一旦我們知道了一旦我們知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照數(shù)學期望的定義把就可以按照數(shù)學期望的定義把Eg(X)計算出計算出來來.第20頁/共65頁例例11：某商店對某種家用電器的銷售采用先某商店對某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方式，記該種電器的使用壽命使用后付

11、款的方式，記該種電器的使用壽命為為X（以年計），規(guī)定：（以年計），規(guī)定： X 1， 一臺付款一臺付款1500元元 1 X 2 ，一臺付款，一臺付款2000元元 2 3，一臺付款一臺付款3000元元設設X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為1/101/10的指數(shù)分布，求該商店的指數(shù)分布，求該商店一臺電器的平均收費一臺電器的平均收費(見書見書 p112-113 的例的例4)第21頁/共65頁下面的基本公式指出，答案是肯定的下面的基本公式指出，答案是肯定的. 那么是否可以不先求出那么是否可以不先求出g(X)的分布的分布而只根據(jù)而只根據(jù)X的分布直接求得的分布直接求得Eg(X)呢？呢？ 使用上述方法必須先求出隨機變量

12、函使用上述方法必須先求出隨機變量函數(shù)數(shù)g(X)的分布，有時是比較復雜的的分布，有時是比較復雜的 .第22頁/共65頁 2、設、設X是一個隨機變量，是一個隨機變量，Y=g(X) （1） 設設X 為離散型隨機變量為離散型隨機變量, 且其分布律且其分布律為為 P(X= xk)=pk ，k=1, 2 ,。若。若 絕對收斂，絕對收斂，則則Y 的數(shù)學期望存在，且的數(shù)學期望存在，且 kkkpxg)( )()()( kkkpxgXgEYE第23頁/共65頁 （2） 設設X 為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量, 其概率密度為其概率密度為 f (x)，且，且 Y= g(X)也是連續(xù)型隨機變量。也是連續(xù)型隨機變量。若

13、若 絕對收斂，絕對收斂，則則Y Y 的數(shù)學期望存在，且的數(shù)學期望存在，且 dxxfxg)()( )()()()( dxxfxgXgEYE(定理證明超出課程范圍定理證明超出課程范圍,特殊情況證明見書特殊情況證明見書p116)第24頁/共65頁例例12: 設設X b(n , p), Y = e= eaX X, ,求求E（Y）。解解:nankknkaknknkknnkakqpeqpeCqpCeYE)()()(00第25頁/共65頁例例13: 設設X U0, , Y =sinX, ,求求E（Y）。解解:21sin)(sin)(0dxxdxxfxYE第26頁/共65頁類似地，利用上面的方法也可以考類似地

14、，利用上面的方法也可以考慮多維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望慮多維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望第27頁/共65頁3、已知二維隨機變量（、已知二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分）的聯(lián)合分 布，求函數(shù)布，求函數(shù)Z=g(X,Y)的數(shù)學期望的數(shù)學期望 （1） 設二維離散型隨機變量設二維離散型隨機變量(X, Y)的聯(lián)的聯(lián)合分布律為合分布律為 , 2 , 1.),(jiyYxXPpjiijjiijjipyxg,),( 絕對收斂，則絕對收斂，則Z的數(shù)的數(shù)學學若若 期望存在，而且有期望存在，而且有 ),()()(,jiijjipyxgX,YgEZE第28頁/共65頁 （2） 設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量(X,

15、Y)的聯(lián)的聯(lián)合密度為合密度為 f (x, y), Z= g(X,Y)也是連續(xù)型隨機也是連續(xù)型隨機變量變量 絕對收斂，則絕對收斂，則 Z 的數(shù)學期望存在，而且有的數(shù)學期望存在，而且有 若若 ),(),( dxdyyxfyxg ),(),(),()E( dxdyyxfyxgYXgEZ第29頁/共65頁四、數(shù)學期望的性質(zhì)四、數(shù)學期望的性質(zhì) 1. 設設C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C; 2. 若若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(kX)=kE(X); 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 一般地，一般地，隨機隨機變量線性組合的數(shù)學期望，變量線性組合的數(shù)學期望，等于隨機變量數(shù)學期望的線性組合，

16、即等于隨機變量數(shù)學期望的線性組合，即 ).(2211nnXaXaXaE).(.)()(2211nnXEaXEaXEa=第30頁/共65頁 4. 設設X、Y獨立，則獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y);niiniiXEXE11)(推廣：設推廣：設X1，Xn獨立獨立, 則則有有注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y獨立獨立第31頁/共65頁(5) 若隨機變量只取非負值，即若隨機變量只取非負值，即 X 0,又又E(X)存在，則存在，則E(X) 0.推論：若推論：若X Y, E(X)，E(Y)都存在，則都存在，則 E(X) E(Y)特別地，若特別地，若a X b，且

17、，且 a，b為常數(shù)，則為常數(shù)，則E(X)存在，且存在，且 a E(X) b 第32頁/共65頁五、數(shù)學期望性質(zhì)的應用五、數(shù)學期望性質(zhì)的應用Example 14 設一批同類型的產(chǎn)品共有設一批同類型的產(chǎn)品共有N件，其中件，其中次品有次品有M 件。今從中任取件。今從中任取n(假定假定n N-M)件，記件，記這這n件中所含的次品數(shù)為件中所含的次品數(shù)為X，求，求E(X )答案:NnMXE)(第33頁/共65頁Example 15 設設X 的概率密度為的概率密度為其中其中a, b為常數(shù)，且為常數(shù)，且E（X）=3/5。求。求a, b 的的值。值。其它010)(2xbxaxf答案:56,53ba第34頁/共6

18、5頁 一個實際例子一個實際例子.例例16：某水果商店，冬季每周購進一批蘋某水果商店，冬季每周購進一批蘋果。已知該店一周蘋果銷售量果。已知該店一周蘋果銷售量X(單位單位:kg)服從服從U1000,2000。購進的蘋果在一周內(nèi)。購進的蘋果在一周內(nèi)售出，售出，1kg獲純利獲純利1.5元；一周內(nèi)沒售出，元；一周內(nèi)沒售出，1kg需付耗損、儲藏等費用需付耗損、儲藏等費用0.3元。問一周元。問一周應購進多少千克蘋果，商店才能獲得最大應購進多少千克蘋果，商店才能獲得最大的平均利潤。的平均利潤。 (答案答案: 一周應購進一周應購進1833千千克蘋果克蘋果)第35頁/共65頁下面我們再給出數(shù)學期望應用的另一個例子

19、下面我們再給出數(shù)學期望應用的另一個例子.教材第教材第113頁的頁的例例5請看請看（抽驗（抽驗N個人的血的兩種方法）個人的血的兩種方法）第36頁/共65頁 前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均，是隨望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征機變量的一個重要的數(shù)字特征. 但是在一些場合，僅僅知道隨機變量但是在一些場合，僅僅知道隨機變量取值的平均是不夠的取值的平均是不夠的.學習方差的原因如下學習方差的原因如下:第37頁/共65頁 例如，某零件的真實長度為例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量乙兩臺儀器各

20、測量10次，將測量結(jié)果次，將測量結(jié)果X用坐用坐標上的點表示如圖：標上的點表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認為哪臺儀器好一些呢？劣，你認為哪臺儀器好一些呢？a 乙儀器測量結(jié)果乙儀器測量結(jié)果 a甲儀器測量結(jié)果甲儀器測量結(jié)果較好較好測量結(jié)果的測量結(jié)果的均值都是均值都是 a因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近第38頁/共65頁又如又如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：炮彈，其落點距目標的位置如圖：你認為哪門炮射擊效果好一些呢你認為哪門炮射擊效果好一些呢

21、?甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近因為乙炮的彈著點較集中在中心附近 . 中心中心中心中心第39頁/共65頁 為此需要引進另一個數(shù)字特征為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度散程度.這個數(shù)字特征就是我們下面要介紹的這個數(shù)字特征就是我們下面要介紹的方差方差第40頁/共65頁4-2 方方 差差一一. 方差的概念方差的概念設隨機變量設隨機變量X的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為E(X),若若E(X-E(X)2存在存在, 則稱它為則稱它為X 的方差（此時，也的方差（此時，也稱稱X的方差存

22、在），記為的方差存在），記為D(X)或或Var(X),即即 D(X)=E(X-E(X)2 定義定義稱稱D(X) 的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根 D X（ ）為為X的的標準差或均方差標準差或均方差，記為，記為 (X). 第41頁/共65頁若若X的取值比較分散，則方差較大的取值比較分散，則方差較大 .刻劃了隨機變量的取值相對于其數(shù)學期望刻劃了隨機變量的取值相對于其數(shù)學期望的離散程度的離散程度 .若若X的取值比較集中，則方差較小；的取值比較集中，則方差較??；D(X)=EX-E(X)2 方差方差第42頁/共65頁注意：注意： 1) D(X) 0，即方差是一個非負實數(shù)。，即方差是一個非負實數(shù)。2）當）當X 服

23、從某分布時，我們也稱某分布的方差服從某分布時，我們也稱某分布的方差 為為D(X)。3)方差是刻劃隨機變量取值的分散程度的一個方差是刻劃隨機變量取值的分散程度的一個 特征。特征。第43頁/共65頁 方差的計算公式方差的計算公式 (1) 若若X為離散型隨機變量，其分布律為為離散型隨機變量，其分布律為 pi = P(X=xi), i=1, 2, . , 且且D(X )存在，則存在，則 )()(2iiipXExXD 由定義可知，方差是隨機變量由定義可知，方差是隨機變量X的函數(shù)的函數(shù) g(X)=X-E(X)2的的數(shù)學期望數(shù)學期望 .第44頁/共65頁（2）若）若X為連續(xù)型隨機變量，其概率密為連續(xù)型隨機變

24、量，其概率密度為度為f(x)，且，且D(X)存在，則存在，則 （3）若隨機變量的方差）若隨機變量的方差D(X)存在，存在，則則 )()(-()(2dxxfXExXD22)()()(EXXEXD證明如下證明如下:第45頁/共65頁2222222)()()()()(2)()()(2)()(XEXEXEXEXEXEXEXXEXEXEXEXD第46頁/共65頁例例2：設設X b(n,p)，求，求D(X)npXXEXEXXEXE)1()()1()(2解解:3.常見分布的方差常見分布的方差 例例1：設設X b(1, p)，求，求D(X)pqqpqpXDpXE22)1 ()0()()(解解:第47頁/共65

25、頁22222220)1()()1()!()!2()!2()1()!( !)1()1()1(pnnqppnnqpknknpnnqpknknkkqpCkkXXEnknnkkknnkkknnkkknnpqnpnppnnXEXEXD2222)()1()()()(從而從而:第48頁/共65頁例例3：設設X ( )，求，求D(X) 答案答案:)(XD例例4：設設X Ua,b，求，求D(X) 答案答案:12)()(2abXD例例5：設設X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，求的指數(shù)分布，求D(X)。 答案答案:21)(XD第49頁/共65頁例例6：設設 X N( , 2)，求，求D(X) (見書見書 p12

26、6 例例7)XZ2)(XD)(XE服從服從)1 ,0(N從而從而, 0)(ZE1)(ZD利利用用ZX計算得計算得:第50頁/共65頁例例7: 設設X 的概率密度為的概率密度為a為未知常數(shù)為未知常數(shù), 求求a, E(X 2). 83)(2)(xaexf提示提示:2222) 3(exp221228) 3(exp1222adxxadxxa從從而而221a第51頁/共65頁例例8: 設設X 的概率密度為的概率密度為 .0,bexfx5 x)(其中其中b為未知常數(shù)為未知常數(shù), 求求b，E(X 2)55exp555exp100bdxxbdxxb提示提示:從而從而 b=5 第52頁/共65頁二二. 方差的性

27、質(zhì)方差的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1: 若若X=C，C為常數(shù)，則為常數(shù)，則 D(X)=0 第53頁/共65頁性質(zhì)性質(zhì)2: 若若C為常數(shù)為常數(shù),隨機變量隨機變量X的方差存在，則的方差存在，則CX的方差存在，且的方差存在，且 D(CX) = C 2D(X)性質(zhì)性質(zhì)3: 若若D(X), D(Y )存在，則存在，則 D(X Y)= D(X )+ D(Y) 2E(X-EX)(Y-EY)證明如下證明如下:第54頁/共65頁)()(2)()()()(2)()()()()()()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD第55頁/共65頁性質(zhì)性質(zhì)4：若隨機變量若隨機變量

28、X,Y相互獨立，它們的方差都相互獨立，它們的方差都存在，則存在，則X Y的方差也存在，且的方差也存在，且 D(X Y)=D(X)+D(Y)證明提示證明提示: 若隨機變量若隨機變量X,Y相互獨立，則相互獨立，則 0)()()(2)()()()()()()(2)()()()(2)()(2YEXEXYEYEXEYEXEYEXEXYEYEXEXYEYXEXYEYEYXEXE第56頁/共65頁推論推論1: 若隨機變量若隨機變量X1,X2,Xn相互獨立，它們的相互獨立，它們的方差都存在，則方差都存在，則X1+X2+.+Xn的方差存在，且的方差存在，且 n1in1iii)D(X)XD(推論推論2: 若隨機變量若隨機變量X1, X2 , Xn獨立同分布，它們獨立同分布，它們的方差都存在，則的方差都存在，則X1+X2+.+Xn的方差存在，且的方差存在，且)()(11 niiXnDXD第57頁/共65頁性質(zhì)性質(zhì)5: D(X)=0 P(X= C)=1， 這里這里C=E(X)xC1P(X= x)(證明略證明略)第58頁/共65頁 例例9：設隨機變量設隨機變量X 的方差的方差D(X)存在存在, 且且D(X) 0令令)()(XDXEXX其中其中E(X)是是X的數(shù)學期望，求的數(shù)學期望，求 ).D(X)(和XE (標準化標準化隨機變量隨機變量