第02講運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、第二講 運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)的分解：固定坐標(biāo)，瞬時(shí)坐標(biāo) （1、2、3、4、5）速度和加速度的關(guān)聯(lián)性 （6、7、8、9）相對(duì)運(yùn)動(dòng)ACABBCvvv兩線交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) （12、13）矢量投影法 （14、15）（10、11） 1.轟炸機(jī)在h高處以v0沿水平方向飛行，水平距離為L(zhǎng)處有一目標(biāo)。(1)飛機(jī)投彈要擊中目標(biāo)，L應(yīng)為多大？(2)在目標(biāo)左側(cè)有一高射炮，以初速v1發(fā)射炮彈。若炮離目標(biāo)距離D，為要擊中炸彈，v1的最小值為多少？(投彈和開(kāi)炮是同一時(shí)間)。 3(1)炸彈飛行時(shí)間2htg(2)在地面參照系中，炮彈和炸彈做的都是曲線運(yùn)動(dòng)，不易研究我們可以取炸彈為參照物，只要炮彈的合速度指向飛機(jī)即可在炸彈參照系中，不用考慮g

2、，炮彈有一水平向左的速度v0和v1，要v0和v1的合速度沿BA方向，而且又要v1最小，顯然要v1垂直于BA，此時(shí)由v0t=L可得02hLvgv1取這個(gè)最小值的條件是炸彈尚未落地，即炮彈的飛行時(shí)間要小于炸彈飛行時(shí)間將L代人，即： sin001022220v hv hvvhLD2hhvDgcos222200hLDhLD2htvvLDg220ghDv2hD(3)若*炸彈平拋炮彈斜拋可解得最后炮彈恰好擊中它，此時(shí)v1最小。在地面系中則只能在炸彈剛落地時(shí)，min222202200220gghDhDv2h2hDvv hghDv2hD2hhvDg(sin )/1t2h/g2vgsincos/21D2vg/(

3、)221vg2hhD/() ()/220vg2hhDD 2.燈掛在離地板高h(yuǎn)、天花板下H-h處。燈泡爆破，所有碎片以同樣大小的初速度v0朝各個(gè)方向飛去，求碎片落到地面上的半徑R。(可認(rèn)為碎片與天花板的碰撞是彈性的，與地面是完全非彈性的。) 若H =5m，v0=10m/s，g = 10m/s2,求h為多少時(shí)，R有最大值并求出該最大值。 3(1)假設(shè)碎片不會(huì)碰頂，應(yīng)有此時(shí)時(shí)，可見(jiàn)，當(dāng)配方()22022 vghtg()()222222000222 vghv1gtv2ghR4gg()2 4222201g tvgh thR4(2)若h不滿足上述要求，則以角飛出的碎片將撞擊天花板，飛行軌跡發(fā)生變化此時(shí)，拋

4、得最遠(yuǎn)的碎片應(yīng)該是未撞擊天花板而最高點(diǎn)恰好和天花板相切的碎片這時(shí)有由以上三式可解得： 即以上假設(shè)要求(3)因?yàn)?所以最后的結(jié)果是當(dāng)h=375m時(shí)，R有最大值1299m求極值，可得當(dāng) h = 3.75m時(shí)R有極大值下面再考慮碎片碰頂?shù)那闆r此時(shí)所以在不碰頂時(shí)，h越大R越大h可取的最大值是 3.一質(zhì)量為的小球自離斜面上處高為的地方自由落下。若斜面光滑，小球在斜面上跳動(dòng)時(shí)依次與斜面的碰撞都是完全彈性的，欲使小球恰能掉進(jìn)斜面上距點(diǎn)為的處小孔中，則球下落高度應(yīng)滿足的條件是什么？（斜面傾角為已知）解：取如圖所示的x-y坐標(biāo)，小球第一次彈起的速度為v0ax= g sin, ay = -gcosv0 x= v0

5、 sin,v0y= v0cos 相鄰兩次與斜面的碰撞之間的時(shí)間0022cos2t = cosoyyvvvagg小球在x方向上作勻加速運(yùn)動(dòng)，第一次彈起的距離220114sin2oxvxvta tg 以后每碰一次，都比前一次增加2204sinxvxatg 因此 n 次碰撞下行的總距離111111202.1112.1221sinSxxxxxxnxn nnxnxnxxn nvg 又20241 sinSvghhnNn n 4.速度v0與水平方向成角拋出石塊，石塊沿某一軌道飛行。如果蚊子以大小恒定的速率v0沿同一軌道飛行。問(wèn)蚊子飛到最大高度一半處具有多大加速度？空氣阻力不計(jì)。解：蚊子作勻速率運(yùn)動(dòng)，因此只有

6、法向加速度a石子飛行高度220sinH2vg在 / 2 處的速度： vx=v0cos vy= gH飛行方向= 1tanyxvv可得 tantg= 2 g的法向分量 an = g cos 這就是石子此時(shí)的法向加速度，因此有coscos2222xy0vvvgHg可以得到蚊子的向心加速度20nva 5.快艇系在湖面很大的湖的岸邊（湖岸線可以認(rèn)為是直線），突然快艇被風(fēng)吹脫，風(fēng)沿著快艇以恒定的速度沿與湖岸成 的角飄去。你若沿湖岸以速度行走或在水中以速度游去，（1）人能否趕上快艇？（2）要人能趕上快艇，快艇速度最多為多大？3（兩種解法）原解：設(shè)人先在岸上跑t1，再在水中游t3（如圖）,如果t30 ，故當(dāng)

7、0.49t1t22.59t1 時(shí)能追上。 原解 ：用矢量圖解：從O點(diǎn)開(kāi)始，過(guò)了t1秒，人到A點(diǎn)，艇到B點(diǎn)。將人在水中的速度沿OB和AB兩個(gè)方向分解，并使其沿OB方向的分量v2恰好等于v0，那么人和艇在OB方向上相對(duì)靜止，靠v2人就一定能追上艇。(關(guān)鍵是上述分解能否進(jìn)行)OABAED在下圖中 故有120AEOAvvOBv 要求20vv 有 AE=v1(定值) 再看角，顯然，v0越大，越大，但太大了，v2就可能夠不到EC，因此，要求v2能夠上EC的最大的角。在直角 中，由于AEC1242vv，故max=30 0max222.8km/hcos45vv=60-15=45 2v故（即v0）的最大值為：v

8、1t1v2(t-t1)vmt利用費(fèi)馬原理可知。最省時(shí)的追趕路線是sinsin012v90v可得=300。在位移中用正弦定律由()sinsin1 11100v t2 ttt= 3t4515可得sin/./m1 10mv tv t453 2v2 2m s2 83m s代入可得只要船速v0vm，總可以追上。又解： 6.已知：如圖所示裝置，v1，求v2OABCOABC因?yàn)镺點(diǎn)圍繞A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，所以V的方向垂直于OA，于是由O、B兩點(diǎn)速度關(guān)聯(lián)有：cos()01v90v同樣，由O、C兩點(diǎn)速度關(guān)聯(lián)有：)2v cos(v由以上兩式可解得：cos()sin()21vv 7.如圖所示，合頁(yè)構(gòu)件由兩菱形組成，邊長(zhǎng)

9、分別為L(zhǎng)和L，若頂點(diǎn)以勻加速度水平向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BC垂直于OC時(shí)，A點(diǎn)速度恰為v，求此時(shí)節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)C的加速度各為多大?思考：如果是在OC和BC成一般角的時(shí)候呢？ 2233BAaaa 因?yàn)镺B的長(zhǎng)度總是OA長(zhǎng)度的2/3，所以02233BAvvv0232Bcvvv2cvaCOC點(diǎn)的速度沿CB方向： C點(diǎn)的向心加速度: a/a3a/a222/939AcvaaaaaL C點(diǎn)的切向加速度 和向x方向投影之和等于 ，可求出。 8.一根長(zhǎng)為l的薄板靠在豎直的墻上。某時(shí)刻受一擾動(dòng)而倒下，試確定一平面曲線 f (x,y) = 0，要求該曲線每時(shí)每刻與板相切。(地面水平)。 設(shè)某一時(shí)刻，A、B兩端的速度分別為vA和

10、vB,那么有 因?yàn)橐笄€處處與桿相切，則桿上該切點(diǎn)C的速度方向一定是沿桿方向的設(shè)C點(diǎn)離A端的距離為a，x、y方向的分速度分別為vA和vy，那么應(yīng)該有 因此該曲線的參數(shù)方程為 曲線的直角坐標(biāo)方程由有 9.一三角板兩直角邊分別長(zhǎng)a、b。開(kāi)始時(shí)斜面靠在y軸上，板面垂直于墻，然后A、B分別沿y軸和x軸運(yùn)動(dòng)。求斜邊完全與 x 軸重合時(shí)，C點(diǎn)所經(jīng)的路程。 BabCAyxO(1)任意時(shí)刻，A、B、C、O四點(diǎn)共圓，因此有是一個(gè)定值，即C點(diǎn)始終在 y=tanx 直線上運(yùn)動(dòng) (2)由關(guān)聯(lián)速度可知，C點(diǎn)的速度vC和B點(diǎn)的速度vB沿BC的分量必須相等同理，vC和vA沿AC的分量也必須相等因此，當(dāng)BC也垂直于x軸時(shí)，

11、vC=O這個(gè)位置就是C點(diǎn)由向上運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)而向下運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)所以C點(diǎn)經(jīng)過(guò)的總路程 COBCAB ()()()2222S2abaab2 abab 10.一只船以4m/s的速度船頭向正東行駛，海水以3m/s的速度向正南流，雨點(diǎn)以10m/s的收尾速度豎直下落。求船中人看到雨點(diǎn)的速度1.列式水人地水雨地雨人VVVV水地地水VV,人水水人VV2。作圖：如右圖3。計(jì)算smBCDCBD/5432222smBDABAD/555102222smV/55雨人方向可用BDC和ADB來(lái)表示A 11。一滑塊p放在粗糙的水平面上，伸直的水平繩與軌道的夾角為，手拉繩的另一端以均勻速度v0沿軌道運(yùn)動(dòng)，求這時(shí)p的速度和加速度。 2s

12、in10vvntPaaaPQPQvvv地地cos0vv解：由于水平面很粗糙，不沿繩方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此P的速度一定沿繩的方向那么P的速度在Q系中，P有一個(gè)垂直于PQ的速度 現(xiàn)取Q為參照系因?yàn)镼無(wú)加速度，所以P在Q系中的加速度等于P在地面系中的加速度sin22201nvvall因?yàn)楹苄?，所?cos=1，sin=，因此cossincos200lvtvat以上的at，對(duì)自學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)，很容易通過(guò)求導(dǎo)得出因此tvtvtvtvatsinsincoscossinsinsinsin0001sinsincossin1 2444222000p22vvvalll 12. 如下圖，v1、v2、

13、已知，求交點(diǎn)的v0.2解1：在AAO中算出OA在OBB中算出OB（=AO）在中算出解：速度疊加法令1不動(dòng)，交點(diǎn)在1上的速度 v2A=v2/sin;令2不動(dòng)，交點(diǎn)在2上的速度v1A=v1/sinAAvvv210220121 22cos/sinvvvv v 13兩個(gè)半徑為R的圓環(huán)，一個(gè)靜止，另一個(gè)以速度v0自左向右穿過(guò)。求如圖的角位置（兩圓交點(diǎn)的切線恰好過(guò)對(duì)方圓心）時(shí)，交點(diǎn)A的速度和加速度。 012xvv02sinAvv解：A沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)，其x方向分量又A在水平方向勻速運(yùn)動(dòng)ax = 0,可將a分解在切向at和法向an，有：22024 sinAnvvaRR20sin4 sinn3avaRcossinn

14、taa0( 也可用微元法求vA) 14.纏在軸上的線被繞過(guò)滑輪后，以恒定速度拉出。這時(shí)線軸沿水平平面無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。求線軸中心點(diǎn)的速度隨線與水平方向的夾角的變化關(guān)系。線軸的內(nèi)、外半徑分別為和。解：軸上A點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)：一個(gè)是O點(diǎn)的平動(dòng)（速度為v），另一個(gè)是圍繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，速度為 r，因?yàn)檩喓偷孛嬷g無(wú)滑動(dòng)，所以有 Rv即 AvRr 將上式投影到AB線的方向上， 0vvcosr將 = v/R 代入，可求得 0cosRvvrR特殊地，當(dāng) RcosrR即 r)/R-(Rcos時(shí)， 0vv 有 15.一個(gè)半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右做加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)在半圓柱體上擱置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)(如圖)當(dāng)半圓柱體的速度為v時(shí)，桿與半圓柱體接觸點(diǎn)P與柱心的連線與豎直方向的夾角為，求此時(shí)豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度和加速度2(1)取半圓柱體作為參照系在此參照系中，P點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，即V桿柱的方