工程力學(xué)(運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué))-17A-動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理A

1、TSINGHUA UNIVERSITY 范欽珊教育教學(xué)工作室 FAN Qin-ShanFAN Qin-Shan s s Education & Teaching Studio Education & Teaching Studio 返回總目錄返回總目錄返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSI

2、TYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和，稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，又稱為質(zhì)和，稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，又稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的主矢。即：點(diǎn)系動(dòng)量的主矢。即： iiim vp 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量是自由矢，是度量質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量是自由矢，是度量質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)的基本特征之一。具體計(jì)算時(shí)可

3、采用其在直角坐標(biāo)系的基本特征之一。具體計(jì)算時(shí)可采用其在直角坐標(biāo)系的投影形式。的投影形式。 ,xiixyiiyziiziiipmvpmvpmvTSINGHUA UNIVERSITY 注意到物理學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)注意到物理學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心位矢公式對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)：心位矢公式對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)： rriiiCmmvviiiCmm 式中，式中，rC為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的位矢；為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的位矢； vC為質(zhì)心的速度；為質(zhì)心的速度；m為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量。據(jù)此，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可改寫為：為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量。據(jù)此，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可改寫為： Cmvp TSINGHUA UNIVERSITY 這一結(jié)果表明，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量

4、與質(zhì)這一結(jié)果表明，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。這相當(dāng)于將質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量集中于質(zhì)心一點(diǎn)心速度的乘積。這相當(dāng)于將質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量集中于質(zhì)心一點(diǎn)的動(dòng)量，這也表明，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量描述了質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。的動(dòng)量，這也表明，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量描述了質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。 Cmvp 上述動(dòng)量表達(dá)式對于剛體系也是正確的。上述動(dòng)量表達(dá)式對于剛體系也是正確的。 動(dòng)量所描述的并不是質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)全部，因?yàn)樗荒軇?dòng)量所描述的并不是質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)全部，因?yàn)樗荒苊枋鲑|(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。描述質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERS

5、ITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 兩個(gè)相同的均質(zhì)圓盤，放在光滑水平面上，在圓盤的不同兩個(gè)相同的均質(zhì)圓盤，放在光滑水平面上，在圓盤的不同位置上，各作用一水平力位置上，各作用一水平力F和和F，使圓盤由靜止

6、開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)，使圓盤由靜止開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)F = F，試問哪個(gè)圓盤的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)得快？，試問哪個(gè)圓盤的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)得快？FFABTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 圖示系統(tǒng)中，三個(gè)重物的質(zhì)量分別圖示系統(tǒng)中，三個(gè)重物的質(zhì)量分別為為m1、m2、m3，由一繞過兩個(gè)定滑輪，由一繞過兩個(gè)定滑輪的繩子相連接，四棱柱體的質(zhì)量為的繩子相連接，四棱柱體的質(zhì)量為m4 。如略去一切摩擦和繩子的重量。如略去一切摩擦和繩子的重量。

7、3若將上述系統(tǒng)放在有凸起的地面若將上述系統(tǒng)放在有凸起的地面上，如圖所示，當(dāng)物塊上，如圖所示，當(dāng)物塊1下降下降s時(shí)，系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)對凸起部分的水平壓力。對凸起部分的水平壓力。 求：求： 1系統(tǒng)動(dòng)量的表達(dá)式；系統(tǒng)動(dòng)量的表達(dá)式； 2系統(tǒng)初始靜止，當(dāng)物塊系統(tǒng)初始靜止，當(dāng)物塊1下降下降s時(shí)，時(shí)，假設(shè)物體相對四棱柱體的速度已知，假設(shè)物體相對四棱柱體的速度已知，四棱柱體的速度和四棱柱體相對地面四棱柱體的速度和四棱柱體相對地面的位移。的位移。TSINGHUA UNIVERSITY解解：1. 1. 確定系統(tǒng)的動(dòng)量表達(dá)式。建立確定系統(tǒng)的動(dòng)量表達(dá)式。建立坐標(biāo)系如圖示。根據(jù)坐標(biāo)系如圖示。根據(jù)jivp)()(iyiiix

8、iiiiivmvmm 取四棱柱為動(dòng)系，四棱柱體的速度為取四棱柱為動(dòng)系，四棱柱體的速度為v，各物塊相對四棱柱體的速度為各物塊相對四棱柱體的速度為vr，則，則 vmvmvvmvvmpx43r2r1)()cos(0)(0sin4r32r1mvmmvmpyjip)sin()cos()(31r214321mmvmmvmmmmTSINGHUA UNIVERSITY解解：2. 2. 確定四棱柱體的速度和四棱柱確定四棱柱體的速度和四棱柱體相對地面的位移。體相對地面的位移。 因不計(jì)一切摩擦，系統(tǒng)在水平方向因不計(jì)一切摩擦，系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，即上動(dòng)量守恒，即 1r2r34( cos)()0 xpm vvm

9、vvm vm v123412r()(cos)0mmmm vmm v由此解得由此解得 r432121cosvmmmmmmvTSINGHUA UNIVERSITY2. 確定四棱柱體的速度和四棱柱體確定四棱柱體的速度和四棱柱體相對地面的位移。相對地面的位移。 又因?yàn)橄到y(tǒng)初始靜止，故在水平方向上質(zhì)心守恒。對上式積分，又因?yàn)橄到y(tǒng)初始靜止，故在水平方向上質(zhì)心守恒。對上式積分，得到四棱柱體的位移。得到四棱柱體的位移。 r432121cosvmmmmmmvsmmmmmmx432121cosTSINGHUA UNIVERSITY解解：3.3.確定對凸起部分的作用力，可以確定對凸起部分的作用力，可以采用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定

10、理。采用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 設(shè)物塊相對四棱柱體的加速度為設(shè)物塊相對四棱柱體的加速度為a ar r，由于凸起部分的作用，四棱柱體不動(dòng)，由于凸起部分的作用，四棱柱體不動(dòng)，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，并注意到根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，并注意到 aa re40aaiixcxmama得到得到四棱柱體對于地面凸起部分的水平作用力四棱柱體對于地面凸起部分的水平作用力12coscxmam am aF故，四棱柱體的加速度故，四棱柱體的加速度a a 極易由牛頓定律求出。極易由牛頓定律求出。TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 電動(dòng)機(jī)的外殼和定子的總質(zhì)電動(dòng)機(jī)的外殼和定子的總質(zhì)量為量為 m1 ,質(zhì)心

11、質(zhì)心C1與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸 O1 重合重合 ；轉(zhuǎn)子質(zhì)量為；轉(zhuǎn)子質(zhì)量為 m2 ，質(zhì)心質(zhì)心 O2 與轉(zhuǎn)軸不重合與轉(zhuǎn)軸不重合 ，偏心，偏心距距 O1O2 = e 。若轉(zhuǎn)子以等角速。若轉(zhuǎn)子以等角速度度 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 求：求：電動(dòng)機(jī)底座所受的水電動(dòng)機(jī)底座所受的水平和鉛垂約束力。平和鉛垂約束力。TSINGHUA UNIVERSITY解：解：1、選擇包括外殼、定、選擇包括外殼、定子、轉(zhuǎn)子的電動(dòng)機(jī)作為研子、轉(zhuǎn)子的電動(dòng)機(jī)作為研究對象。究對象。 2、系統(tǒng)所受的外力：、系統(tǒng)所受的外力：定子所受重力定子所受重力m1g;轉(zhuǎn)子所受重力轉(zhuǎn)子所受重力m2g;底座所受約束力底座所受約束力 Fx、Fy、M。FxFyMTSINGHU

12、A UNIVERSITY 2、系統(tǒng)所受的外力、系統(tǒng)所受的外力定子所受重力定子所受重力m1g;轉(zhuǎn)子所受重力轉(zhuǎn)子所受重力m2g;底座所受約束力底座所受約束力 Fx、Fy、M。3、各剛體質(zhì)心的加速度、各剛體質(zhì)心的加速度aC1 aO1=0 ;aC2 aO2e 2(向心加速度向心加速度)FxFyMaO2TSINGHUA UNIVERSITY 3、各剛體質(zhì)心的加速度、各剛體質(zhì)心的加速度aC1=aO1=0 ;aC2=aO2=e2(向心加速度向心加速度),eRxiCixiFameRyiCiyiFam 4、應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理FxFyMaO2xFtemmcos0221gmgmFtemmy21221

13、sin0TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 電動(dòng)機(jī)的外殼和定子的總質(zhì)量為電動(dòng)機(jī)的外殼和定子的總質(zhì)量為 m1,質(zhì)心質(zhì)心 C1與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸 O1 重合重合 ；轉(zhuǎn)子質(zhì)量為轉(zhuǎn)子質(zhì)量為 m2 ，質(zhì)心，質(zhì)心 O2 與轉(zhuǎn)軸不與轉(zhuǎn)軸不重合重合 ，偏心距，偏心距 O1O2 = e。轉(zhuǎn)子以等。轉(zhuǎn)子以等角速度角速度 旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。如果如果底座與基礎(chǔ)之底座與基礎(chǔ)之間沒有螺栓固定，初始條件為間沒有螺栓固定，初始條件為 ：0，vO2x = 0, vO2y=e。電動(dòng)機(jī)跳起的條件；電動(dòng)機(jī)跳起的條件；外殼在水平方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。外殼在水平方向的

14、運(yùn)動(dòng)規(guī)律。TSINGHUA UNIVERSITY解：解：1、選擇包括外、殼、定子、選擇包括外、殼、定子、轉(zhuǎn)子的電動(dòng)機(jī)作為研究對象，分轉(zhuǎn)子的電動(dòng)機(jī)作為研究對象，分析系統(tǒng)的受力：析系統(tǒng)的受力：定子所受重力定子所受重力m1g;轉(zhuǎn)子所受重力轉(zhuǎn)子所受重力m2g; 由于底座與基礎(chǔ)之間沒有螺栓由于底座與基礎(chǔ)之間沒有螺栓固定，所以沒有水平方向約束力，固定，所以沒有水平方向約束力，只有約束力只有約束力Fy、M。FyMTSINGHUA UNIVERSITYFyM 解：解： 2、分析運(yùn)動(dòng)，確定各個(gè)剛、分析運(yùn)動(dòng)，確定各個(gè)剛體質(zhì)心的加速度體質(zhì)心的加速度 定系定系Oxy固結(jié)于地面；固結(jié)于地面；xyOy1x1aO2外殼作平

15、移，其質(zhì)心加速度為外殼作平移，其質(zhì)心加速度為aO1; 轉(zhuǎn)子作平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心加速轉(zhuǎn)子作平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心加速度由兩部分組成：度由兩部分組成： ae=aO1 (牽連加速度，牽連加速度，水平方向水平方向); ar=aO2=e2(相對加速度，指相對加速度，指向向O1)。aO1aO1 動(dòng)系動(dòng)系O1x1y1固結(jié)于固結(jié)于外殼。外殼。TSINGHUA UNIVERSITY 解：解：3、應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定、應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理確定約束力理確定約束力eRyiCiyiFamgmgmFtemmy21221sin0temgmgmFysin2221FyMxyOaO1aO1TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA U

16、NIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTS

17、INGHUA UNIVERSITY 一輛大馬力的汽車，在崎嶇不平的山路上可以暢通無一輛大馬力的汽車，在崎嶇不平的山路上可以暢通無阻。一旦開到結(jié)冰的光滑河面上，它卻寸步難行。同一輛阻。一旦開到結(jié)冰的光滑河面上，它卻寸步難行。同一輛汽車，同樣的發(fā)動(dòng)機(jī)，為何有不同的結(jié)果？不要忘記在汽汽車，同樣的發(fā)動(dòng)機(jī)，為何有不同的結(jié)果？不要忘記在汽車的發(fā)動(dòng)機(jī)中，氣體的壓力是汽車行駛的原動(dòng)力啊。你能車的發(fā)動(dòng)機(jī)中，氣體的壓力是汽車行駛的原動(dòng)力啊。你能解釋清楚嗎？解釋清楚嗎？ TSINGHUA UNIVERSITY 為了某種工程需要，人們想削去為了某種工程需要，人們想削去一座山頭或想拆掉一座樓房而不一座山頭或想拆掉一座樓

18、房而不影響周圍的建筑，往往采用定向影響周圍的建筑，往往采用定向爆破。爆破。 定向爆破時(shí)，為了確保周邊一定范圍以外區(qū)域內(nèi)建定向爆破時(shí)，為了確保周邊一定范圍以外區(qū)域內(nèi)建筑物以及人身安全，必須預(yù)先計(jì)算爆破飛石散落的地筑物以及人身安全，必須預(yù)先計(jì)算爆破飛石散落的地點(diǎn)。你知道爆破飛石散落的地點(diǎn)是根據(jù)什麼計(jì)算出來點(diǎn)。你知道爆破飛石散落的地點(diǎn)是根據(jù)什麼計(jì)算出來的嗎？的嗎？ TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSING

19、HUA UNIVERSITY 不可壓縮的流體在變截面彎不可壓縮的流體在變截面彎管中定常流動(dòng)管中定常流動(dòng)(流量不隨時(shí)間而流量不隨時(shí)間而變化變化)，如圖所示。系統(tǒng)的邊界，如圖所示。系統(tǒng)的邊界由截面由截面1和和2所確定。流體的重所確定。流體的重力為力為W，出口和入口兩截面上，出口和入口兩截面上分別受到相鄰流體壓力分別受到相鄰流體壓力F1和和F2的作用，管壁的總約束力為的作用，管壁的總約束力為FN 。 TSINGHUA UNIVERSITY 以截面以截面1和和2之間的流體為研究對之間的流體為研究對象。設(shè)在象。設(shè)在 t時(shí)間間隔內(nèi)，流體由截時(shí)間間隔內(nèi)，流體由截面面1和和2之間運(yùn)動(dòng)至之間運(yùn)動(dòng)至1 和和2 之

20、間。在之間。在t瞬時(shí)，其動(dòng)量為瞬時(shí)，其動(dòng)量為p，在，在t t瞬時(shí)，瞬時(shí)，動(dòng)量為動(dòng)量為p ，則在，則在 t時(shí)間間隔內(nèi)動(dòng)量時(shí)間間隔內(nèi)動(dòng)量的改變量為的改變量為 1 21 21 22 21 11 2()()pppvvvvvviiiiiiiiiiiimmmmmmTSINGHUA UNIVERSITY注意到研究的是定常流動(dòng)，故有注意到研究的是定常流動(dòng)，故有 )()(211122212121iiiiiiiiiiiimmmmmmvvvvvvppp 2121iiimmvvi又因由又因由1 1至和至和2 2至均是非常小的質(zhì)量微團(tuán)，故有至均是非常小的質(zhì)量微團(tuán)，故有 212 21 1pvviiiimmm vv TSI

21、NGHUA UNIVERSITY將此式等號兩側(cè)同除以將此式等號兩側(cè)同除以 t t ，并對，并對 t t取極限，則有取極限，則有 212 21 1pvviiiimmm vv )(dd12vvpmqtTSINGHUA UNIVERSITY式中式中)(dd12vvpmqt為質(zhì)量流量，表示單位時(shí)間內(nèi)流入或流出的質(zhì)量；為質(zhì)量流量，表示單位時(shí)間內(nèi)流入或流出的質(zhì)量；2211vAvAqm 為流體的密度；為流體的密度；A1 和和A2分別為入口和出口處的橫截面面分別為入口和出口處的橫截面面積；積；v1 和和v2分別為入口和出口處的速度。分別為入口和出口處的速度。 TSINGHUA UNIVERSITY)(dd12

22、vvpmqt根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理微分形式的表達(dá)式，有根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理微分形式的表達(dá)式，有 N212FFFWFvv)(1mq這就是應(yīng)用于定常流體的動(dòng)量定理。解題時(shí)只要根據(jù)需要列出這就是應(yīng)用于定常流體的動(dòng)量定理。解題時(shí)只要根據(jù)需要列出投影方程即可。投影方程即可。 TSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 水流以體積流量水流以體積流

23、量qV通過內(nèi)徑通過內(nèi)徑為為d1管道，由內(nèi)徑為管道，由內(nèi)徑為d2噴嘴噴噴嘴噴出，管道內(nèi)的壓力為出，管道內(nèi)的壓力為p1，水流，水流的密度為的密度為 。管道與噴嘴之間。管道與噴嘴之間通過法蘭用通過法蘭用6個(gè)螺栓相連。個(gè)螺栓相連。 求：求：每個(gè)螺栓的受力。每個(gè)螺栓的受力。 解：解：分析以噴嘴的左右截面分析以噴嘴的左右截面(11和和22)為邊界所包含的質(zhì)為邊界所包含的質(zhì)量流根據(jù)體積流量與速度和管道橫截面積的關(guān)系，有量流根據(jù)體積流量與速度和管道橫截面積的關(guān)系，有qv1122TSINGHUA UNIVERSITY 解：解：分析以噴嘴的左右截面分析以噴嘴的左右截面(11和和22)為邊界所包含的質(zhì)量流根據(jù)為邊界所包含的質(zhì)量流根據(jù)體積流量與速度和管道橫截面積的體積流量與速度和管道橫截面積的關(guān)系，有關(guān)系，有qv1122TSINGHUA UNIVERSITY 解：解：分析噴嘴內(nèi)質(zhì)量流的受力分析噴嘴內(nèi)質(zhì)量流的受力p1A1管道內(nèi)的質(zhì)量流對管道內(nèi)的質(zhì)量流對11截截 面的壓力；面的壓力；p2A2 噴嘴右側(cè)大氣對噴嘴右側(cè)大氣對22截面截面 的壓力的壓力p2A2 0；FN噴嘴內(nèi)壁對質(zhì)量流的約束噴嘴內(nèi)壁對質(zhì)量流的約束 力，沿著噴嘴的軸線方向。力，沿著噴嘴的軸線方向。FTFNTSING